ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN NGUN BÌNH MỘT SỐ TÍNH CHẤT CHỌN LỌC VỀ HỆ ĐỘNG LỰC RỜI RẠC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - năm 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN NGUYÊN BÌNH MỘT SỐ TÍNH CHẤT CHỌN LỌC VỀ HỆ ĐỘNG LỰC RỜI RẠC Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH VŨ NGỌC PHÁT Thái Nguyên - năm 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mục lục Lời nói đầu Một số kí hiệu dùng luận văn Chương Cơ sở toán học 1.1 Phương trình vi phân sai phân 1.2 1.3 Chương 2.1 Lý thuyÕt ổn định Lyapunov Các định lý bổ ®Ị bỉ trỵ 11 ổ ổ n định ổn định hoá hệ rời rạc n định hệ rời rạc 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.2 ổ 2.2.2 æ n định hệ rời rạc tuyến tính n định hệ rời rạc phi tuyến Bài toán ổn định hoá ổ 15 16 18 25 25 n định hoá hệ tuyến tính n định ổn định hoá bền vững hệ có trễ 3.1 Sự ổn định hoá bền vững hệ có trễ 3.2 Sự ổn định bền vững ổn định hoá bền vững hệ có trƠ víi nhiƠu phi tun 15 n định hệ rời rạc tuyến tính có trễ n định hoá hệ rời rạc 2.2.1 Chương ổ ổ ổ 15 27 32 32 37 Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời nói đầu Lý thuyết định tính hệ động lực hướng cứu quan trọng lý thuyết phương trình vi phân sai phân nghiên Trong lý thuyết đó, tính ổn định tính chất tiêu biểu, có nhiều ứng dụng thực tế, quan tâm nghiên cứu thập kỷ gần Được bắt đầu nghiên cứu từ cuối kỷ XIX nhà toán học V.Lyapunov đến đà trở thành hướng nghiên cứu thiếu lý thuyết hệ thống ứng dụng Các công trình Luapunov có nhiều kết ý tưởng xuất sắc có giá trị tảng cho nghiên cứu sau có ý nghĩa đặt móng cho toàn lý thuyết định tính phương trình vi phân thường Hai phương pháp ông đề xuất phương pháp mũ Lyapunov (phương pháp thứ nhất) phương pháp hàm Lyapunov (phương pháp thứ hai hay phương pháp trực tiếp) hai cách tiếp cận nghiên cứu ổn định Đến năm 60 thÕ kû XX, cïng víi sù ph¸t triĨn cđa lý thuyết điều khiển, người ta bắt đầu nghiên cứu tính ổn định hệ điều khiển Bài toán nghiên cứu tính ổn định hệ điều khiển gọi toán ổn định hoá Bài toán ổn định cho hệ rời rạc trọng lý thuyết định tính hệ động lực toán quan Bài toán từ trước nhận quan tâm nhiều nhà toán học nước, kể số tác Ladas, Agarwal, Gabasov and Kirillova, Myskis, Hoàng Hữu Đường, Nguyễn Khoa Sơn, Vũ Ngọc Phát, Nguyễn Văn Minh, Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, ba chương phần tài liệu tham khảo Chương 1: Cơ sở toán học Chương 2: ổ n định ổn định hóa hệ rời rạc Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 3: ổ n định ổn định hóa bền vững hệ có trễ Chương trình bày số kiến thức đại số tuyến tính, phương trình vi phân sai phân, số bổ đề định lý quan trọng Chương trình bày phương pháp nghiên cứu ổn định Lyapunov số kết kinh điển cho hệ tuyến tính Đồng thời trình bày số tiêu chuẩn ổn định hóa đà có hệ điều khiển rời rạc tuyến tính dạng x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k), k ∈ Z+ , (1) theo hai hướng khác Một kết nghiên cứu theo hướng bất đẳng thức ma trận kết lại nghiên cứu dựa tính điều khiển cặp ma trận hệ số [A, B] Chương trình bày số nghiên cứu xét hệ rời rạc tuyến tính không ch¾n (uncertain) cã trƠ x(k + 1) = (A + Da Fa (k)Ea )x(k)+(B + Db Fb (k)Eb )x(k − h) +(C + Dc Fc (k)Fc )u(k) k ∈ Z+ , (2) hệ rời rạc không chắn cã trƠ víi nhiƠu phi tun x(k + 1) =(A + Da Fa (k)Ea )x(k) + (B + Db Fb (k)Eb )x(k − h) (3) + f (k, x(k), x(k − h)), k ∈ Z+ , x(k + 1) =(A + Da Fa (k)Ea )x(k) + (B + Db Fb (k)Eb )x(k − h) + (C + Dc Fc (k)Ec )u(k) + f (k, x(k), x(k − h), u(k)), k Z+ , (4) x(k) Rn biÕn tr¹ng A, B, C, Da , Ea , Db , Eb , Dc , Ec thÝch hỵp, Fa (k), Fb (k), Fc (k) số chiều thích hợp thoả mÃn f (.) thái, u(k) Rm biến điều khiển, ma trận cho trước với số chiều ma trận không chắn chưa biết với k Fa (k) k≤ 1, k Fb (k) k≤ 1, k Fc (k) k≤ 1, lµ hµm phi tun ViƯc nghiên cứu tính ổn định hóa bền vững hệ (4) việc mở rộng nghiên cứu tính ổn định bền vững hệ (2) tính ổn định hoá bền vững hệ (3) Khó khăn phải tìm điều khiển ngược u(k) = h(x(k)) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn để hệ (2) (4) ổn định hoá được, mà đà biết điều thực với hệ rời rạc có trễ Mặt khác điều kiện đặt cho hàm f (.) trở ngại trình nghiên cứu, đà giả thiết điều kiện tăng trưởng cho hƯ (3) f (.) f (.), tøc lµ lµ hµm cã tÝnh chÊt k f (k, x, y) k≤ a k x k +b k y k, ∀(k, x, y) ∈ Z+ × Rn × Rn , a, b số dương cho trước, hệ (4) f (.) lµ hµm cã tÝnh chÊt k f (k, x, y, z) k≤ a k x k +b k y k +c k z k, ∀(k, x, y, z) Z+ ìRn ìRn ìRm , a, b, c số dương cho trước Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình nghiêm khắc GS.TSKH Vũ Ngọc Phát, này, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc Thầy Em xin cảm ơn thầy cô ĐH Thái Nguyên Viện Toán học đà tận tình giảng dạy em suốt trình học cao học Tôi xin cảm ơn Trường ĐH Kinh tế học trường ĐH Kinh tế & & QTKD QTKD Thái Nguyên, khoa Khoa Thái Nguyên, khoa Toán trường ĐHSP Thái Nguyên, khoa Sau Đại học trường ĐHSP Thái Nguyên đà quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho thực kế hoạch học tập Xin cảm ơn người thân, đồng nghiệp, bạn bè đà cổ vũ động viên suốt trình làm luận văn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mét sè kÝ hiÖu dïng luËn văn ã Z+ không âm; tập Rn tất số nguyên không gian véc tơ chuẩn véc tơ ã AT k k; Rnìr không ã Sp(A) R+ tập tất số n chiều với kí hiệu tích vô hướng (n ì r) không gian ma trận ma trận chuyển vị ma trËn A = AT ; I ©m; A; Ma trận A thực , chiều gọi đối xứng ma trận đơn vị tập tất giá trị riêng A ã max (A) = max{Reλ : λ ∈ Sp(A)}; λmin (A) = min{Reλ : Sp(A)} ãk A k chuẩn ma trận A, định nghĩa k A k= ( n P n P |aij |2 ) i=1 j=1 • A Ax, x ≥ 0, ∀x ∈ Rn ; A Ax, x ≥ 0, x Rn Ax, x > Ma trận gọi xác Ma định trận không với âm, gọi kí hiệu xác A 0, định dương x 6= S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn nÕu Chương Cơ sở toán học 1.1 Phương trình vi phân sai phân Xét phương trình vi phân ( x˙ = f (t, x), t ∈ I = [t0 , t0 + b], x(t0 ) = x0 , x ∈ Rn , t0 ≥ 0, ®ã f (t, x) : I × D −→ Rn , D = {x ∈ Rn :k x − x0 k≤ a} Nghiệm (i) (ii) (1.1) x(t) (1.1) hàm khả vi liên tục thoả mÃn (t, x(t)) I ì D, x(t) thoả mÃn phương trình vi phân (1.1) Giả sử hàm f (t, x) liên tục I ì D, nghiệm x(t) cho dạng tích phân sau Zt x(t) = x0 + f (s, x(s))ds t0 Trong trường hợp hệ (1.1) có dạng ( x = Ax + g(t), t ≥ 0, (1.2) x(t0 ) = x0 , t0 ≥ 0, víi A lµ ma trËn hằng, g(t) : [0, ) Rn hàm khả tích, người ta chứng minh (1.2) tồn nhÊt nghiƯm cho bëi c«ng thøc Cauchy sau x(t) = eA(t−t0 ) x0 + Zt eA(t−s) g(s)ds (1.3) t0 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Đối với hệ không dừng ( x˙ = A(t)x + g(t), t ≥ 0, x(t0 ) = x0 , t0 0, A(t) hàm liên tục theo t (1.4) k A(t) k m(t), hàm khả tích hệ (1.4) có nghiệm với m(t), g(t) Nghiệm biểu diễn qua ma trận nghiệm hệ nhÊt x˙ = A(t)x, (1.5) lµ Zt x(t) = Φ(t, t0 )x0 + Φ(t, s)g(s)ds, t0 Φ(t, s) d (i) Φ(t, s) = A(t)Φ(t, s), t ≥ s, dt (ii)Φ(t, t) = I ma trận nghiệm hệ (1.5) thỏa mÃn Bên cạnh hệ phương trình vi phân ta xét hệ sai phân tương ứng, xét hệ x(k + 1) = f (k, x(k)), k = 0, 1, 2, ®ã f (.) : Z+ × Rn −→ Rn x(0) = x0 cho trước (1.6) Khi với trạng thái ban đầu hệ có nghiệm xác định công thức truy håi x(1) = f (0, x0 ), x(2) = f (1, f (0, x(0))), Khác với hệ vi phân, tồn nghiệm hệ (1.6) đơn giản, không cần điều kiện liên tục tính Lipschitz hàm f (.) Trường hợp hệ (1.6) tuyến tính d¹ng x(k + 1) = A(k)x(k) + g(k), k ∈ Z+ , với điều kiện ban đầu x(0) = x0 (1.7) tuú ý vµ d·y g = {g(0), g(1), , g(k − 1), }, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn nghiÖm x(k) bước k>0 cho công thức Cauchy x(k) = F (k, 0)x0 + k−1 X F (k, s + 1)g(s), s=0 F (k, s) ma trận nghiệm hệ tuyến tính x(k + 1) = A(k)x(k), k ∈ Z+ F (k, s) Ta cã thĨ biĨu diƠn c«ng thøc cđa nh sau F (k, s) = A(k − 1).A(k − 2) A(s), k ≥ s ≥ 0, F (k, k) = I Nếu A(.) ma trận F (k, s) = Ak−s , k ≥ s ≥ nghiệm hệ tuyến tính dừng với thời gian rời rạc k1 X k x(k) = A x0 + Aks1 g(s) s=0 Để đánh giá nghiệm phương trình sai phân người ta thường dùng bất đẳng thức quan trọng sau Định lý 1.1.1 Z+ (Bất đẳng thức Gronwall rời rạc [3]) dÃy số không ©m, z(k) ≤ C + k−1 X Cho z(k), a(k) : Z+ C thoả mÃn điều kiÖn a(s)z(s), k = 1, 2, , z(0) ≤ C s=0 Khi ®ã k−1 Y z(k) ≤ C (1 + a(s)), k = 1, 2, s=0 1.2 Lý thuyÕt æn định Lyapunov Xét hệ thống mô tả phương trình vi phân (1.1) trên, giả sử hàm số f (.) thoả mÃn điều kiện toán Cauchy có nghiệm, dạng tích phân nghiệm cho Zt x(t) = x0 + f (s, x(s))ds t0 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn Gi¶n íc ta ®ỵc X + 50 I AP −1 + CQ < ∗ − 16 I + QT EcT Ec Q (3.9) Do − I + QT EcT Ec Q = −0.1667 < 0, 0.1654 nên (3.9) tương đương với X+ 1 + (AP −1 + CQ)( I − QT EcT Ec Q)−1 (AP −1 + CQ)T < 50 (3.10) Thay số vào, ta có (3.10) tương đương với −0, 2522 < 0 −0, 2686 Bất đẳng thức cuối hiển nhiên đúng, theo Định lý 3.1 ta có hệ (3.7) ổn định tiệm cận 3.2 Sự ổn định bền vững ổn định hoá bền vững hệ có trễ với nhiễu phi tuyến Định lý 3.2.1 Xét hệ x(k + 1) =(A + Da Fa (k)Ea )x(k) + (B + Db Fb (k)Eb )x(k − h) + f (k, x(k), x(k − h)), k = 0, 1, 2, , (3.11) x(k) ∈ Rn ; A, B, Da , Ea , Db , Eb ma trận với số chiều thích hợp; Fa (k), Fb (k) ma trận không ch¾c ch¾n víi sè chiỊu thÝch + n n n hợp thoả mÃn k Fa (k) k 1, k Fb (k) k≤ 1; f (k, x, y) : Z ×R ìR R hàm có tính chất k f (k, x, y) k≤ a k x k +b k y k, ∀(k, x, y) ∈ Z+ × Rn ì Rn , a, b số dương cho trước Khi hệ (3.11) ổn định tiệm cận tồn số ma trận đối xứng xác định dương > 0; > hai P, Q thoả mÃn điều kiện sau: P −1 + (Da DaT + Db DbT ) + 2δI A B < 0, ∗ −P + Q + −1 EaT Ea + 2δI −1 T ∗ ∗ −Q + Eb Eb + 2δI (3.12) 37 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn λµ2 + 2λµ(k A k + k Da kk Ea k) − δ < 0, [λµ2 + λµ(k A k + k Da kk Ea k) + λµ(k B k + k Db kk Eb k)]2 − [λµ2 + 2λµ(k A k + k Da kk Ea k) − δ][λµ2 + 2λµ(k B k + k Db kk Eb k) − δ] < 0, (3.13) (3.14) = max (P ); = max{a, b} Chứng minh Đặt = B + Db Fb (k)Eb ; A˜ =A + Da Fa (k)Ea ; B T ˜ A˜ P A˜ − P + Q A˜T P B M= ˜T P A ˜T P B ˜ −Q , B B ®ã P, Q ma trận thoả mÃn (3.12) Nhận xét M 0, > thoả mÃn điều kiện: 1 BR1 EbT X+2δI AP −1 +CQ 0 √ √ −1 P −1 EaT −1 QT EcT ∗ −P −1 +2δI P −1 −1 ∗ ∗ −R +2δI 0 ∗ ∗ ∗ −I+2δI 0 ∗ ∗ ∗ ∗ −I+2δI ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −I+−1 Eb R−1 EbT +2δI