Hệ Đếm Và Ứng Dụng Trong Toán Phổ Thông.pdf

Docment BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ THỊ THẢO HỆ ĐẾM VÀ ỨNG DỤNG TRONG TOÁN PHỔ THÔNG Chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp Mã số 60 46 40 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN[.]

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ THỊ THẢO HỆ ĐẾM VÀ ỨNG DỤNG TRONG TỐN PHỔ THƠNG Chun ngành : Phương pháp Toán sơ cấp Mã số : 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Tạ Duy Phượng THÁI NGUYÊN - 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.Lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC Trang Lời nói đầu .2-3 Chương Hệ đếm …… .4 §1 Khái niệm hệ đếm với số …… .4 §2 Qui tắc đổi biểu diễn số từ hệ đếm số sang hệ số khác §3 Đổi biểu diễn số từ hệ đếm số sang hệ đếm số khác 11 §4 Sử dụng máy tính đổi biểu diễn số từ hệ đếm số k1 sang hệ đếm số k2 ………………… …… .22 §5 Tính toán số học hệ đếm số 30 §6 Thực tính tốn số học máy tính .38 §7 Sử dụng phép chia để đổi biểu diễn số từ hệ đếm số k1 sang hệ đếm số k2 ………………… …… .43 §8 Sơ lược ứng dụng hệ đếm máy tính điện tử .46 Chương Ứng dụng hệ đếm tốn phổ thơng… 52 §1 Tính chất chia hết 52 §2 Sử dụng hệ đếm giải toán 65 Kết luận .94 Tài liệu tham khảo 95 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn LỜI NĨI ĐẦU Có thể nói hệ đếm lí thuyết toán học xuất nhu cầu thực tiễn sống, hình thành phát triển song hành với phát triển văn minh nhân loại Trong sống ta phải sử dụng hệ đếm (cơ số 10) để tính tốn Hệ đếm số 2, với hệ đếm số 10, số 8, sở làm việc máy tính điện tử Lí thuyết hệ đếm (cơ số bất kì) cịn liên quan đến nhiều lĩnh vực khác tốn học: lí thuyết chia hết, tốn rời rạc, phương trình nghiệm nguyên phương trình hàm, qui nạp tốn học, tốn trị chơi, Mặc dù hệ đếm đóng vai trị quan trọng sống hàng ngày học tập, kiến thức hệ đếm cịn quan tâm giảng dạy trường phổ thơng Vì phần lớn học sinh sử dụng thành thạo ứng dụng hệ đếm (máy tính điện tử, máy ảnh số, máy nghe nhạc, ) khơng có kiến thức sơ đẳng hệ đếm Thí dụ, phần lớn học sinh biết sử dụng máy tính điện tử khoa học để làm phép tốn, khơng phép tốn số học, mà cịn phép tốn cao cấp (lấy modulo, tính theo cơng thức truy hồi ), khơng hiểu chế thực tính tốn máy Luận văn Hệ đếm ứng dụng toán phổ thơng có mục đích trình bày kiến thức hệ đếm số ứng dụng hệ đếm giải tốn phổ thơng (các tiêu chuẩn chia hết hệ đếm bất kì, phương pháp hệ đếm giải lớp tốn thi vơ địch quốc gia quốc tế) Luận văn gồm hai chương Chương trình bày kiến thức hệ đếm tính tốn máy: Khái niệm hệ đếm, đổi biểu diễn số từ hệ đếm số sang hệ đếm số khác, tính tốn số học hệ đếm số bất kì; Sử dụng máy tính khoa học (Caculator, Vianacal Vn-570MS, Casio fx570MS, Casio fx-570ES, ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn phần mềm tính tốn Maple để đổi biểu diễn số từ hệ đếm số sang hệ đếm số khác tính tốn số học hệ đếm số Cuối chương trình bày sơ lược ngun lí trao đổi thơng tin máy tính điện tử Chương trình bày hai ứng dụng hệ đếm tốn phổ thơng Một số tính chất chia hết hệ đếm số 10 mở rộng sang cho hệ đếm số §1 Chương Điều cho phép nhìn lại qui tắc tiêu chuẩn chia hết hệ đếm số 10 ứng dụng để giải số toán chia hết Ứng dụng hệ đếm giải toán minh họa nhiều toán thi học sinh giỏi Quốc gia Quốc tế §2 Chương, qua ta thấy rõ mối quan hệ hệ đếm với vấn đề khác tốn phổ thơng (phương trình hàm, phương trình nghiệm ngun, dãy truy hồi, ) Những thi vô địch có [7] [8] khơng trình bày Vì vậy, kết hợp § với [7] [8], số lượng tốn đủ nhiều để coi Hệ đếm phương pháp giải tốn gặp phương trình hàm, phương trình nghiệm nguyên, Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học PGS TS Tạ Duy Phượng Xin tỏ lòng cám ơn chân thành tới Thầy Tác giả xin cám ơn chân thành tới Trường Đại học Khoa học Thái Nguyên, nơi tác giả nhận học vấn sau đại học Và cuối cùng, xin cám ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp cảm thông, ủng hộ giúp đỡ suốt thời gian tác giả học Cao học viết luận văn Hà Nội, ngày 18 tháng năm 2009 Tác giả Đỗ Thị Thảo Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Chương HỆ ĐẾM §1 Khái niệm hệ đếm với số 1.1 Mở đầu Trong sống hàng ngày thường sử dụng số hệ đếm thập phân Tất số hệ thập phân tạo nên từ chữ số từ đến Hệ đếm thập phân, hay gọi hệ đếm số 10 (decimal system, viết tắt Dec máy tính điện tử khoa học–Scientific Calculator, thường dịch máy tính cầm tay họăc máy tính bỏ túi máy tính Calculator cài đặt Window) Hệ đếm thập phân xuất Ấn độ vào kỷ sau công nguyên Đến năm 1202 nhờ tác phẩm Liber Abaci L Fibonacci, nhà toán học thương gia người Ý, khoa học Ả rập hệ đếm số 10 truyền bá vào châu Âu Với phát minh nghề in vào kỉ 15 10 chữ số có hình dạng cố định Các số viết hệ thập phân gồm phần: Phần nguyên phần thập phân ngăn cách dấu phẩy dấu chấm Máy tính điện tử nước giới sử dụng dấu chấm, Việt nam sử dụng dấu phẩy Hệ đếm thập phân sử dụng 10 ký tự 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Hệ đếm thập phân hệ đếm theo quy tắc vị trí Giá trị ký tự giống hồn tồn khác đứng vị trí khác nhau: gặp 10 thêm nấc (đủ 10 thêm đơn vị vào hàng bên trái nó), hay cịn gọi hệ thập tiến Do tính thập tiến người ta biết chữ số đứng bên trái 10 lần chữ số đứng bên phải hai chữ số Điều khác với hệ La Mã Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Người ta cố lý giải hệ đếm thập phân lại đa số nước giới sử dụng đến Có nhiều lý giải đưa hai bàn tay có 10 ngón, ta dễ dàng đếm 10 ngón tay Và đứa trẻ tập đếm chúng thường đếm đầu ngón tay Ngồi hệ đếm thập phân liệu cịn có hệ đếm khác hay khơng? Chúng ta nhìn lại chút hệ đếm với số khác mà nước, dân tộc giới sử dụng Hệ đếm số 60 người Babilon xuất sớm ngày dùng để đo góc thời gian: Một độ có 60 phút, phút có 60 giây,… Tại người Babilon lại thích sử dụng hệ đếm số 60 đến vậy? Cho đến có nhiều giả thuyết khác vấn đề Một giải thích hiểu biết người Babilon hệ mặt trời: Người Babilon quan sát thấy chu kì trái đất quay quanh mặt trời 360 ngày Có giả thuyết cho 60 có nhiều ước số: 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 nên thực phép chia thu nhiều số chẵn (nguyên) Còn số 10 có ước nên thực phép chia thu nhiều số lẻ (phân số) Để biểu diễn số hệ đếm số 60 ta phải sử dụng 60 ký tự Và hệ đếm chữ số đứng bên trái 60 lần chữ số đứng bên phải hai chữ số giống Hệ đếm số Thời cổ đại tộc nguyên thủy thường dùng hệ đếm số 5, tương ứng với việc đếm năm ngón tay Ở hệ đếm thì thêm nấc (đủ thêm đơn vị vào hàng bên trái nó) Như hệ đếm số người ta phải sử dụng ký tự 0, 1, 2, 3, Và giống hệ đếm khác, chữ số đứng bên trái lần chữ số đứng bên phải hai chữ số giống Hiện người Trung Quốc người Nhật Bản cịn dùng bàn tính gẩy dựa hệ đếm số Hệ đếm số 20 Có dân tộc dùng 10 ngón chân 10 ngón tay để đếm 20 họ thêm nấc (đủ 20 thêm đơn vị vào hàng bên Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn trái nó) Chính mà có hệ đếm số 20 Hệ đếm người Maia cổ sử dụng Cho đến ngày Đan Mạch Pháp người ta sử dụng hệ đếm số 20 Với họ 60 hiểu lần 20; 80 hiểu lần 20 (quatre vingts-quatre=bốn, vingt=20 tiếng Pháp); 90 hiểu lần 20 rưỡi; 93 hiểu thêm vào lần 20 rưỡi Cách nói đơn vị trước nói hàng chục trước kỷ 18 phổ biến châu Âu, Đức sử dụng Ở hệ đếm số 20 ta phải sử dụng 20 chữ số, chữ số từ đến người ta đưa vào chữ thay cho giá trị số từ 10 đến 19 Và giống hệ đếm chữ số đứng bên trái 20 lần chữ số đứng bên phải chữ số giống Trong đo lường người ta sử dụng nhiều hệ đếm khác Hệ đếm số 12 sử dụng nhiều nước giới ngày sử dụng nhiều Anh, nhiều nơi giới sử dụng hệ đếm số 12 Một thước Anh 10 tấc Anh mà 12 tấc Anh Chúng ta hay dùng đơn vị inch, 18 inch thước tấc mà thước Anh tấc Anh Ở Anh người ta dùng đơn vị “tá” gồm 12 chiếc, 12 “tá” gọi “rá” Có lẽ người Trung Quốc sử dụng hệ đếm số 12 hệ đếm số 60 (chu kì 12 giáp,…) Tùy theo yêu cầu thực tế mà người ta lại dùng hệ đếm với số Hệ đếm số hay hệ đếm nhị phân (binary system, viết tắt Bin máy tính khoa học máy tính Caculator cài đặt Window) Khi máy tính điện tử xuất hiện, người ta sử dụng hệ đếm nhị phân Đó hệ đếm sử dụng hai ký tự Mỗi ký tự đứng bên trái hai lần ký tự đứng bên phải ký tự Việc sử dụng hệ đếm nhị phân với hai ký tự gần với logic mệnh đề nhận hai giá trị sai tương ứng với giá trị Nó tương ứng với việc mạch Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn điện hai trạng thái đóng mở Phép đếm nhị phân với phép toán logic sở hoạt động máy tính Do có hai ký tự nên việc biểu diễn số hệ đếm số dài, máy tính cịn sử dụng hệ đếm số hệ đếm số 16, thuận tiện biểu diễn số ước 16 Hệ đếm số hay hệ bát phân (octal system, viết tắt Oct máy tính khoa học máy tính Caculator) Đây hệ đếm sử dụng ký tự 0, 1, 3, 4, 5, 6, Mỗi ký tự đứng bên trái lần ký tự đứng bên phải hai ký tự giống Hệ đếm số 16 (hexadecimal system, viết tắt Hex máy tính khoa học Caculator) Nếu sử dụng 10 ký tự từ đến hệ đếm thập phân chưa đủ để biểu diễn số hệ đếm số 16 Vì người ta đưa thêm vào ký tự: A, B, C, D, E, F tương ứng với 10, 11, 12, 13, 14, 15 Như hệ đếm ta sử dụng 16 ký tự: 0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F Mỗi ký tự đứng bên trái 16 lần ký tự đứng bên phải hai ký tự giống Thực hệ đếm số 16 có Trung Quốc từ xưa, thời trước cân Trung Quốc có tới 16 lạng (bên tám lạng bên nửa cân, nhau) Hệ đếm số 24 dùng đếm số ngày Hệ đếm số 30 đếm số ngày tháng Hệ đếm số (hệ tam phân) gồm ba chữ số 0, 1, hay 0, 1, Hệ đếm số dùng để đếm số tháng q Có dân tộc sử dụng hệ đếm số thời gian dài Với số lớn họ dùng từ vài nhiều Do tính chất đối xứng nên hệ đếm số có nhiều tính chất thú vị tiện dụng nghiên cứu, số phịng thí nghiệm đặc biệt người ta sử dụng máy tính mà thiết kế dựa số Tuy nhiên loại máy tính sử dụng rộng rãi Hệ đếm số đếm số ngày tuần,… Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Như khái quát rằng: đếm viết số theo số hay quy tắc Từ ta hiểu số viết theo số k có nghĩa gì? Giá trị thập phân bao nhiêu? 1.2 Hệ đếm với số Định nghĩa Cho b số hữu tỷ dương, k số tự nhiên, b có dạng b = bn × k n + bn−1 × k n−1 + + b1 × k + b0 × k + b−1 × k −1 + b−2 × k −2 + + b− m × k − m ( ≤ b ≤ k − 1;b i n ) ≥ 0; i = −m, n b số viết hệ đếm số k là: b = (bnbn−1 b1b0 b−1b−2 b− m ) k , k số hệ đếm, bi (i = − m; n) chữ số b , bn bn −1 b1b0 phần nguyên, b−1b−2 b− m phần lẻ (được gọi phần phân) Thí dụ (2354.12)10 = × 103 +3 × 102 +5 × 101 +4 × 100 +1 × 10-1 +2 × 10-2 ;  20671  (2354.12)6 = × 63 +3 × 62 +5 × 61 +4 × 60 +1× 6-1 +2 × 6-2 =   ;  36 10 (3576587612356123)9 = × 915 +5 × 914 +7 × 913 +6 × 912 +5 × 911 +8 × 910 +7 × 99 +6 × 98 +1 × 97 +2 × 96 +3 × 95 +5 × 94 +6 × 93 +1 × 92 +2 × 91 +3 × 90 = (751732772433382)10 ; (3576587612356123)12 =3 × 1215 +5 × 1214 +7 × 1213 +6 × 1212 +5 × 1211 +8 × 1210 + × 129 +6 × 128 +1 × 127 +2 × 126 +3 × 125 +5 × 124 +6 × 123 +1× 122 +2 × 121 +3 × 120 = (53447355208631113)10 ; Từ thí dụ ta thấy hai số viết chữ số hệ đếm số khác giá trị thập phân hoàn toàn khác nhau, ta dễ dàng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn chứng minh số viết hệ đếm với số lớn giá trị thập phân lớn Và số chữ số giống đứng vị trí khác có giá trị hồn tồn khác Như viết số dù hệ đếm số bao gồm hai phần: phần nguyên phần phân (hay gọi phần lẻ), hai phần ngăn cách với dấu “,” dấu “.” Phần đứng bên trái dấu “,” “.” gọi phần nguyên, phần đứng bên phải dấu “,” “.” gọi phần lẻ hay phần phân Nếu số có phần lẻ khơng cần dùng dấu “,” “.” số gọi số nguyên Nếu số b viết hệ đếm số 10 khơng cần viết số kèm theo Vấn đề đặt ta có số b viết hệ đếm số k ta chuyển sang hệ đếm với số khác hay không? Làm để đổi biểu diễn từ hệ đếm số sang hệ đếm số khác? §2 Qui tắc đổi biểu diễn số từ hệ đếm số sang hệ đếm số khác Việc chuyển biểu diễn số từ hệ đếm số sang hệ đếm số khác dựa định lý sau Định lý 2.1 Cho b k số tự nhiên Khi tồn số tự nhiên a, r với ≤ a < b; ≤ r < k , cho b = ka + r Nếu b chia hết cho a r = Chứng minh Nếu b < k a = 0; ≤ r = b < k Nếu b ≥ k Theo tiên đề Archimedus tồn số a cho ka ≤ b ≤ (a + 1)k Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn F1 = ( 0.373737 ) R = 37 37 3R + = = 21 ; R1 ( R1 − 1) + ( R1 − 1) R1 − R1 − F2 = ( 0.737373 ) R = 73 73 7R + = = 21 R1 ( R1 − 1) + ( R1 − 1) R1 − R1 − 1 Tương tự, hệ số R2 , ta có F1 = ( 0.252525 ) R = 25 25 2R + ; = = 22 R2 ( R2 − 1) + ( R2 − 1) R2 − R2 − F2 = ( 0.525252 ) R = 52 52 5R + = = 22 R2 ( R2 − 1) + ( R2 − 1) R2 − R2 − 2 Suy ra: F1 + F2 = F1 + F2 = Vậy ta có: 3R1 + 7 R1 + 10 R1 + 10 10 + = = 2 R1 − R1 − R1 − R1 − R2 + 5R2 + R2 + 7 + = = R22 − R22 − R22 − R2 − R1 − R2 − = hay R1 − 10 R2 + = 10 Mặt khác, F1 − F2 = 3R1 + 7 R1 + 4R − −4 − = − 21 = R1 − R1 − R1 − R1 + R2 + 5R2 + 3R − −3 − = − 22 = R2 − R2 − R2 − R2 + F1 − F2 = Suy R1 − R2 − = hay 3R1 − R2 − = Giải hệ phương trình R1 − 10 R2 + = 0; 3R1 − R2 + = ta R1 = 11 R2 = Vậy R1 + R2 = 19 Đáp án e) đáp án Bài toán 18 (Thi trắc nghiệm học sinh giỏi tốn tồn nước Mỹ, 1981) Trong hệ đếm số 8, cho số phương ab3c , a ≠ Vậy c (chọn năm đáp số): a) 1; b) 2; c) 3; d) 4; e) Không xác định cách 81 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Giải Cách Đặt n = ( ab3c )8 với n = ( de )8 Khi n = ( 8d + e ) = 82 d + 8.2de + e2 Chứng tỏ số ab3c chữ số (trong hệ số 8) tổng chữ số hàng chục e (trong hệ số 8) chữ số đơn vị ( 2de )8 Chữ số đơn vị ( 2de )8 chẵn nên chữ số hàng chục e phải lẻ Ta có tất khả sau e số 8: e e2 1 11 20 31 44 61 Vậy chữ số hàng chục e lẻ e Trong hai trường hợp, chữ số hàng đơn vị e Thử trường hợp, n ( 33)8 ; ( 73)8 ; ( 45)8 Bình phương số tương ứng (1331)8 ; ( 6631)8 ( 2531)8 Cách Ta có n = ( ab3c )8 = a.83 + b.82 + 3.8 + c Nếu n số chẵn, n = 4k chia hết cho Do số dư n chia cho hay Nếu n lẻ, tức n = 2k + Khi n = ( 2k + 1) = 4k + 4k + = 4k ( k + 1) + Vì k ( k + 1) ln chẵn nên n = 4k ( k + 1) + chia cho ln có số dư Như vậy, trường hợp, số c 0, hay Nếu c = n = ( ab30 )8 = a.83 + b.82 + 3.8 = ( p + 3) vơ lí khơng phải số phương Nếu c = n = ( ab34 )8 = a.83 + b.82 + 3.8 + = ( 8q + ) vơ lí khơng có số phương lẻ có dạng 8q + 82 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Vậy c = Suy n = ( ab31)8 n nhận ba giá trị ( 33)8 ; ( 73)8 ; ( 45 )8 Bình phương số tương ứng (1331)8 ; ( 6631)8 ( 2531)8 Bài tốn 19 (Vơ địch Anh, 1982) Một số tự nhiên n ∈ N bội 17, có biểu diễn hệ đếm số chứa chữ số Chứng minh biểu diễn có khơng chữ số Và có chữ số 0, n chẵn Giải Vì biểu diễn số n có ba chữ số (các chữ số cịn lại 0) nên n có dạng n = (10 010 010 )2 = 2k + 2l + 2m , k , l , m số tự nhiên, k < l < m Giả sử n hệ số có chữ số Vì n có chữ số nên có nhiều chữ số, n ≤ 11100000 = 27 + 26 + 25 Chứng tỏ m ≤ Nhưng 2i với i = 0,1,2, ,7 đồng dư với 1, 2, 4, 8, -1, -2, -4, -8 theo mod 17 Xem xét tất trường hợp (tổng ba từ số 1, 2, 4, 8, -1, -2, -4, -8 bội 17), ta đến kết luận: Số n = 2k + 2l + 2m với ≤ k < l < m ≤ chia hết cho 17 Vậy muốn n chia hết cho 17 số chữ số biểu diễn số n phải có chữ số Nếu số chữ số biểu diễn số n m = 29 ≡ 2(mod17) Khi n khơng thể số lẻ, n số lẻ n có dạng n = (1 1)2 = 2m + 2l + 2k hay k = Do (2 m ) ( ) + 2k = 29 + 20 ≡ 3(mod17) , nghĩa 2l ≡ −3(mod17) Điều xảy với l = 1, 2, ,7,8 Vô lí Vậy n phải số chẵn Chọn m = , l = , k = ta có 83 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn n = (1000100010 )2 = 29 + 26 + = 512 + 64 + = 578 = 17 × 34 chia hết cho 17 Bài tốn 20 Tìm số k hệ đếm có số nhỏ 100 để số 2101k số phương Giải Số 2101k số phương nghĩa tồn số n cho 2101k = 2k + k + = (2k − k + 1)( k + 1) = n2 Do (2k − k + 1) + ( k + 1) = 2(k + 1) số chẵn nên 2k − k + k + phải chẵn lẻ ( ) Vì 2k − k + = (k + 1)(2k − 3) + hay = 2k − k + − (k + 1)(2k − 3) nên ước số chung lớn 2k − k + k + phải ước Nếu hai số 2k − k + k + lẻ ước số chung lớn chúng 1, (2k − k + 1)( k + 1) = n (2k − k + 1)(k + 1) = n2 = p q 2k − k + = p , k + = q Do k < 100 nên cho q giá trị từ đến 10 ta q 10 k = q2 − 15 24 35 48 63 80 99 2k − k + 16 121 436 2k − k + 11 1129 2416 4561 7876 12721 19504 20.8 33.6 49.1 67.5 88.7 112.7 139.5 Như vậy, có hai giá trị k = , 21013 = 64 = 82 k = , 21018 = 1089 = 332 thỏa mãn điều kiện đầu 84 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Nếu hai số 2k − k + = p k + = 2q chẵn ước số chung lớn (2k − k + 1)( k + 1) = n chúng (2k − k + 1)(k + 1) = 4n12 = p q 2k − k + = p , k + = 2q Do k = 2q − Do k < 100 nên cho q giá trị từ đến ta không thêm nghiệm q k = 2q − 17 31 49 71 97 2k − k + 46 281 946 2377 5006 9361 2k − k + 6,7 16,7 30,5 48,7 70,7 96,7 p= Nhận xét Bằng máy tính, ta kiểm tra khẳng định, khoảng k < 10000 có hai giá trị k = k = thỏa mãn điều kiện đầu Ta đặt Câu hỏi Tìm tất số k để số 2101k số phương? Bài tốn 21 (Victor Thébault) Tìm mối quan hệ ba số tự nhiên a , k , k ′ số a hệ đếm số k k ′ biểu diễn dạng số có ba chữ số chữ số Sử dụng kết nhận được, xét k = 10 Giải Phải tìm a1, a2 , a3 cho a = ak = ( a1a2 a3 )k a = ak′ ′ = ( a1′a2′ a3′ )k ′ , ai′ , i = 1,2,3 hốn vị a1, a2 , a3 , nghĩa 85 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn a1k + a2k + a3 = a1′k ′2 + a′2 k ′ + a3′ (1) Với k , k ′ cố định biểu thức viết dạng pa1 + qa2 + ra3 = , (2) p, q, r hàm nhận giá trị nguyên số tự nhiên k , k ′ Thí dụ, a1′ = a3 , a′2 = a1 , a3′ = a2 (1) có dạng a1k + a2k + a3 = a3k ′2 + a1k ′ + a2 (2) có hệ số p = k − k ′, q = k − 1, r = − k ′2 Phương trình (2) có vơ số nghiệm dạng a1 = n3q nr nr nq n p nq − ; a2 = − ; a3 = − , ( p, q ) ( p, r ) ( q , r ) ( p, q ) ( p , r ) ( q, r ) (2’) ( a, b ) ước chung dương lớn hai số a b , n1 , n2 , n3 số ngun Ngồi ra, theo định nghĩa số, ta cịn có điều kiện ≤ a1, a2 , a3 < k , k ′ (3) Có thể kiểm tra số a1 , a2 , a3 có thỏa mãn đồng thời hai điều kiện (2’) (3) hay không phương pháp thử trực tiếp Với k = 10 : Tất nghiệm biết cho bảng sau Các số mà chữ số (hàng trăm) (biểu diễn hệ đếm số đó) khơng đưa vào bảng 26510 = 5267 28310 = 23811 37110 = 17316 82510 = 25819 91910 = 19926 31610 = 6317 37010 = 30711 91310 = 39116 55110 = 15521 96110 = 19126 15810 = 1859 19110 = 11913 78210 = 27818 91210 = 219 21 91210 = 219 21 22710 = 2729 77410 = 47713 44110 = 14419 51110 = 11522 91210 = 19226 44510 = 5449 83410 = 43814 51810 = 18519 91010 = 19026 91310 = 31916 19610 = 16911 26110 = 12615 88210 = 28819 91110 = 19126 91310 = 19326 86 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Trong bảng trên, có hai số thú vị 91210 = 21921 = 19226 91310 = 39116 = 19328 Bài toán liên quan đến nhiều vấn đề khác tốn học Thí dụ, a1a1′ khơng phải số phương, tồn vơ số cặp k , k ′ để (2) (3) đồng thời thỏa mãn Thật vậy, giả sử phương trình Pell ( p, q ) cặp nghiệm nghiệm nguyên x − a1a1′ y = thì, theo cơng thức nghiệm tổng qt phương trình Pell, số k n+1 , k n′ +1 hệ đếm tính theo cơng thức  kn+1 = ( p + a1a1′q ) kn + 2a1′ pqkn′ = ( pqa′2 + q a1′a2 ) ;   2  kn′ +1 = 2a1 pqkn + ( p + a1a1′q ) kn′ = ( pqa2 + q a1a2′ ) (4) thỏa mãn (2), k n , k n′ thỏa mãn (4) Như vậy, (4) sinh dãy (vô số) số ki , ki′ thỏa mãn (2’) (3), số i0 Dãy nói chung khơng chứa tất nghiệm Nếu ta cho thêm quan hệ hai số k , k ′ ta nhận được, nhiều đường, nghiệm (2) phụ thuộc tham số Thí dụ, chọn k ′ = 2k + , a1′ = a2 , a2′ = a3 , a3′ = a1 phương trình (1) trở thành a1k + a2k + a3 = ( 2k + 1) a2 + ( 2k + 1) a3 + a1 (5) Suy ( a1 + a2 ) ≡ ( mod k ) Do ≤ a1, a2 < k nên a1 + a2 = k Thay a1 = k − a2 vào phương trình (5) ta ( k − a2 ) k + a2k + a3 = ( 2k + 1) a2 + ( 2k + 1) a3 + ( k − a2 ) Ước lượng số hạng đồng dạng, ta đến k − = ( 5k + 3) a2 + 2a3 Suy 2a3 − 2a2 = ( k − 1) − 5(k + 1)a2 (6) 87 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn hay 2a3 − 2a2 ≡ 0(mod( k + 1)) , tức 2a3 − 2a2 = m( k + 1) với m nguyên Vì ≤ a2 , a3 < k nên −2k < 2a3 − 2a2 < 2k Vậy 2a3 − 2a2 = m(k + 1) với m = 0, ±1 Thay vào (6) ta m = (k − 1) − 5a2 hay k = + 5a2 − m với m = 0, ±1 Vậy (với m = ): k = + 5a2 ; a3 = a2 ; a1 = 4a2 + 1, a2 bất kì; (với m = ): k = 5a2 ; a3 = a2 + ; a1 = 4a2 , a2 số lẻ Khi m = −1 k = 5a2 + 2a3 = 2a2 − (5a2 + 1) = −3a2 + < nên loại Tương tự, chọn k ′ = k + 1, ( a1a2a3 )k = ( a3a1a2 )k ta có nghiệm riêng k = 4a2 + ; a1 = 3a2 + ; a3 = 3a2 + , a2 Nếu chọn k ′ = 2k − 1, ( a1a2a3 )k = ( a2a3a1 )k ′ ta có nghiệm riêng k = 5a2 − 2a3 − ; a1 = 4a2 − ; a2 > 2a3 ; a3 ( a1a2a3 )k = ( a2a3a1 )k ′ Nếu chọn k ′ = k + 1, ta có nghiệm riêng k = 3a1 + a3 + 1; a2 = 2a1 + a3 + 1, a1, a3 Nếu chọn k ′ = 2k , ( a1a2a3 )k = ( a2a3a1 )k ′ ta có nghiệm riêng k = a2 + ; a1 = a2 + , a1 , a3 < k Nếu chọn k ′ = k + , ( a1a2a3 )k = ( a3a2a1 )k ′ ta có nghiệm riêng k = 2a3 + 1; a1 = a3 + , a2 = , a3 Nếu chọn k ′ = nu + , ( a1a2a3 )k = ( a3a2a1 )k ′ ta có nghiệm riêng k = nv + ; a1 = u , a2 = 2uv , a3 = v , u, v, n số nguyên { } thỏa mãn hệ bất đẳng thức u > v ; kv > max u − 1;2uv − 2.4 Dãy nhị phân Một dãy n số hạng ( x1 , x2 , , xn ) mà xi gọi dãy nhị phân độ dài n 88 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Nhiều toán dãy nhị phân liên quan mật thiết với hệ đếm số Dưới số thí dụ Bài tốn 22 (Vơ địch Canada, 1991) Tìm tổng tất số nguyên dương có n chữ số n chữ số viết hệ đếm số Giải Ta cần tìm tổng tất số có dạng ( a1a2 a2 n )2 với a1 = có n chữ số 0, n-1 chữ số Do chữ số bên trái ( a1 = 1) nên 2n − chữ số cịn lại phải có n chữ số n − chữ số Như có tất ( 2n − 1)! số thỏa mãn điều n ! × ( n − 1)! kiện đầu Nếu a2 = 2n − chữ số cịn lại có n chữ số n-2 chữ số nên có ( 2n − )! số mà có a n ! × ( n − )! = a2 = 2n − chữ số lại có n chữ số n − chữ số Tương tự ta xét a3 = 2n − chữ số cịn lại có n chữ số n − chữ số nên có ( 2n − )! số mà có n ! × ( n − )! a1 = a3 = 1và × n -2 chữ số cịn lại có n chữ số n − chữ số Quá trình tiếp tục ta thu kết S = ∑ ( a1a2 a2 n )2 = ∑(a 2×n −1 + a2 22×n− + a3 22×n−3 + + a2n ) = 22×n−1 × ∑ a1 + 22×n−2 × ∑ a2 + 22×n−3 × ∑ a3 + ∑ a2×n = 22×n−1 × ( 2n − 1)! + ( 2n − )! × 22×n−2 + 22×n−3 + + ( ) n ! × ( n − 1)! n ! × ( n − )! 89 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn = 22×n−1 × ( 2n − 1)! + ( 2n − )! × 22×n−1 − ( ) n ! × ( n − 1)! n ! × ( n − )! Bài tốn 23 (Vơ địch Hàn Quốc, 1997) Một từ mã hóa chữ số, chữ số Gọi x y hai từ có ba vị trí chữ số khác Chứng minh tổng số tất từ khác với hai từ x y vị trí chữ số 38 Bài tốn 24 (Dự tuyển vơ địch Quốc tế lần thứ 34, 1993) Gọi S n số dãy ( x1 , x2 , , xn ) với xi ∈{0,1} , khơng có sáu cụm phần tử liên tiếp Thí dụ, (1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0 ) khơng chấp nhận có sáu cụm giống (1,0,0 ) Chứng minh lim Sn = ∞ n→∞ Bài tốn 25 (Vơ địch Trung Quốc, 2002) Giả sử M n = {0.a1a2 an−11 ∈ {0,1} ,1 ≤ i ≤ n − 1} tập số thập phân hệ đếm số 10 Gọi Tn S n tương ứng số phần tử M n tổng tất phần tử M n Sn n→+∞ T n Tính lim Bài tốn 26 (Vơ địch tốn tồn nước Mỹ, 1996; Vơ địch Trung Quốc, 1997) Gọi an số dãy nhị phân độ dài n không chứa số hạng liên tiếp 0, 1, dãy Gọi bn số dãy nhị phân độ dài n không chứa số hạng liên tiếp 0, 0, 1, 1, 1, 0, (theo thứ tự thế) dãy Chứng minh với số nguyên dương ta có bn+1 = 2an Bài tốn 27 (Dự tuyển vơ địch Quốc tế lần thứ 42, 2001) 90 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Dãy nhị phân a = ( x1, x2 , , x2 n ) gọi dãy cân chứa n số n số Hai dãy nhị phân a b gọi láng giềng ta dịch chuyển vị trí a đến vị trí khác b Thí dụ, n = , hai dãy a = 01101001và b = 00110101 láng giềng chuyển số vị trí thứ sáu (hoặc thứ bảy tính từ bên trái) a sang vị trí đầu dãy b Chứng minh tồn tập hợp S gồm không C2nn dãy cân n +1 cho dãy cân độ dài 2n láng giềng dãy cân S Bài toán 28 (Peter Ulgar) Những đoạn thẳng ba chữ số số 1110001011 cho phép nhận tất số ba chữ số hệ đếm số 2, số nhận lần Với số tự nhiên n cho trước ta xây dựng dãy tương tự gồm hữu hạn số theo cách sau Đầu tiên viết liên tiếp n chữ số 1, sau lần dịch chuyển kí tự sang bên phải, ta viết vào chỗ trống chữ số 0, số n chữ số số nhận theo cách làm chưa gặp trước đây, viết số ngược lại Chứng minh dãy số xây dựng theo cách từ 2n + n − kí tự có tính chất hoàn toàn tương tự dãy số số nói phần đầu n = 2.5 Một số toán khác hệ đếm sử dụng hệ đếm để giải Bài tốn 29 (Vơ địch Bungaria, 1968) Chứng minh số Cnk lẻ hai số tự nhiên k n thỏa mãn điều kiện: vị trí biểu diễn số k chữ số 1, vị trí biểu diễn n số 91 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Bài tốn 30 (Vơ địch Châu Á-Thái Bình dương lần thứ 6, 1994) Chứng minh rằng, với số tự nhiên n > , tồn lũy thừa 10 mà viết hệ số có n chữ số, tồn lũy thừa 10 mà viết hệ số có n chữ số, không tồn hai dạng Bài tốn 31 (Dự tuyển vơ địch Quốc tế lần thứ 34, 1993) Gọi a, b, n số nguyên dương, b > b n−1 a Chứng minh biểu diễn n theo số b phải chứa n chữ số khác Bài tốn 32 (Vơ địch Nhật bản, 1996) Cho số thực q thỏa mãn 1+ < q < Với số n viết hệ nhị phân n = 2k + ak −1 2k −1 + + a1 + a0 , ∈ {0,1} , i = 0,1, , n ta định nghĩa pn sau: pn = q k + ak −1q k −1 + + a1q + a0 Chứng tỏ tồn vô hạn số ngun k cho khơng có số ngun l để p2 k < pl < p2 k +1 Bài tốn 33 (Chọn đội tuyển Hồng Kơng thi IMO, lần 2, 1997) Với số nguyên dương n , ta gọi f ( n) số nguyên k lớn cho 2k chia hết n g (n) tổng chữ số biểu diễn nhị phân n Chứng minh với số nguyên dương n ta có 1) f ( n!) = n − g (n) ; 2) C2nn = ( 2n )! chia hết cho n!n! n lũy thừa Bài toán 34 (Dự tuyển vô địch Quốc tế lần thứ 41, 2000) Hàm số f xác định tập hợp số nguyên không âm nhận giá trị tập hợp số nguyên không âm, thỏa mãn điều kiện sau với n ≥ : 1) f (4n) = f (2n) + f ( n) ; 2) f (4n + 2) = f (4n) + 1; 3) f (2n + 1) = f (2n) + 92 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Chứng minh với số nguyên dương m , số số nguyên n với ≤ n < 2m f (4n) = f (3n) f (2m+1 ) Bài tốn 35 (Dự tuyển vơ địch Quốc tế lần thứ 34, 1993) Tồn hay không hàm f từ tập số nguyên dương vào cho với n ta có:  f (1) = 2;   f ( f ( n)) = f ( n) + n;  f (n) < f ( n + 1)  Bài toán 36 (Dự tuyển vô địch Quốc tế lần thứ 39, 1998 Canada đề nghị) Cho a0 , a1 , a2 , dãy tăng số nguyên không âm cho số ngun khơng âm biểu diễn dạng + 2a j + 4ak , i, j , k số ngun phân biệt Tính a1998 Bài tốn 37 (Dự tuyển vô địch Quốc tế lần thứ 34, 1993) Một tập hữu hạn T số nguyên dương phân biệt gọi DS-tập với số nguyên thuộc T chia hết tổng tất số nguyên dương T Chứng minh tập hữu hạn số nguyên dương tập DS-tập Bài tốn 38 (Vơ địch Ba Lan, 1979) Cho số tùy ý a1, a2 , , am ∈ N Chứng minh rằng: 1) Tồn gồm n < 2m số mà tất tập hợp có tổng khác nhau, đồng thời tổng có mặt tất số a1, a2 , , am 2) Tồn gồm n ≤ m số mà tất tập hợp có tổng khác nhau, đồng thời tổng có mặt tất số a1, a2 , , am 93 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn KẾT LUẬN Từ nội dung hai chương luận văn trình bày ta thấy đưa lý thuyết hệ đếm tập từ đơn giản đến phức tạp vào nội dung học tập trường phổ thông Điều làm tăng khả tư tốn học mà cịn thúc đẩy trình nghiên cứu, học tập thực hành máy tính học sinh Hơn biết hệ đếm với số 2, số số 16 sở hoạt động máy vi tính Vì trang bị cho em kiến thức hệ đếm giúp em hiểu hiểu sâu sắc kiến thức tin học toán học Việc giải tốn phát biểu thơng qua ngơn ngữ hệ đếm khơng phải vấn đề q khó khăn trang bị đầy đủ kiến thức hệ đếm Mặt khác ta thấy việc suy nghĩ, tư để đưa đến cách giải tốn phù hợp với trình độ em học sinh phổ thơng Đồng thời hệ đếm xem phương pháp để giải toán phương trình hàm, đặc biệt tốn phương trình hàm tập số tự nhiên Những tốn hệ đếm kích thích khám phá tìm tịi giải tốn, giúp học sinh nâng cao tư sáng tạo học tập 94 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Stephen Barnett, Discrete Mathematics: Numbers and Beyond, Addison Wesley Longman, Singapore, 1998, pp 124 [2] Hoàng Chúng, Số học - Bà chúa toán học, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội, 1997 [3] Phạm Huy Điển, Đinh Thế Lục, Tạ Duy Phượng, Hướng dẫn thực hành tính tốn chương trình Maple V, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội, 1998 [4] Phạm Huy Điển, Hà Huy Khối, Mã hóa thơng tin: Cơ sở tốn học ứng dụng, Nhà xuất Đại học Quốc Gia, Hà Nội, 2004 [5] Hà Huy Khối, Nhập mơn Số học thuật tốn, Nhà xuất Khoa học, Hà Nội, 1996 [6] Hà Huy Khoái, Phạm Huy Điển, Số học thuật toán: Cơ sở lý thuyết Tính tốn thực hành, Nhà xuất Đại học Quốc Gia, Hà Nội, 2003 [7] Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên), Trần Nam Dũng, Vũ Đình Hịa, Đặng Huy Ruận, Tạ Duy Phượng, Một số ứng dụng giải tích đại số, hình học, số học toán rời rạc (Tài liệu bồi dưỡng giáo viên hè 2008), Đại học khoa học tự nhiên, Hà Nội, 2008, trang 131 241 [8] Tạ Duy Phượng, Hệ đếm ứng dụng (trong sách Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Giải tốn máy tính điện tử), Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội, 2007, trang 96 [9] Các trang WEB, tạp chí Tốn sách tuyển tập thi Olympic 95 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn