SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH BÌNH PHƯỚC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2018-2019 MƠN THI: TỐN Ngày thi: 06/03/2019 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể giao đề ĐỀ THI CHÍNH THỨC Câu (5,0 điểm) 1) Cho biểu thức x P 3 x 3 a) Rút gọn P : x 1 x x x 1 x x 8 x 1 x 2 2 5.1 b) Tính giá trị biểu thức P 2) Cho x, y số thực thỏa mãn: x y 1 Tìm giá trị nhỏ P 2 x x y 1 y x 1 y Câu (5,0 điểm) Giải phương trình x x x x xy x y 6 2 x y 8 Giải hệ phương trình: P : y x Tìm giá trị m để đường thẳng d : y 2 x m Cho hàm số cắt đồ thị hàm số P hai điểm phân biệt A x1 , y1 ; B x2 , y2 thỏa mãn y1 y2 x1 x2 12 Câu (5,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), D điểm cạnh AB, D A, B Gọi M , N trung điểm CB, CA Đường thẳng MN cắt (O) hai điểm P, Q( P, Q thuộc cung CB CA) Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP cắt BC I I B Các đường thẳng DI AC cắt K a) Chứng minh tứ giác CIPK nội tiếp b) Chứng minh PK QC QB.PD c) Đường thẳng AP cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP G G P Đường thẳng AD IG cắt BA E Chứng minh D di chuyển BA AE khơng đổi Câu (2,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD với AB a, AD b Trên cạnh AD, AB, BC , CD lấy điểm E , F , G, H cho tạo thành tứ giác EFGH Gọi c chu vi tứ 2 giác EFGH Chứng minh c 2 a b Câu (3,0 điểm) 1) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: y y x 2) Chứng minh với số nguyên n chẵn thì: n 20n 96 chia hết cho 48 ĐÁP ÁN Câu 1a) Điều kiện xác định : x 10 , đặt a x 1,0 a 3 , đó: a 3a 1 a2 P : a a a a a a a a a 3a 1 : a a a a a a 3 3a 3a a 2a : : a a a a 3 a a a a 3 a a 3 3a 3 x a 2a 2a x b) Ta có: 1 2 1 1 1 1 x 32 1 1 P 1 1 1 2 2 3 2 1 2 2 14 Vậy 2.Ta có: P 2 x x3 y 1 y x 1 y 2 x x3 y x3 xy y y x x y y x y x y x y x y x y x y 1 x y x y x y x y x xy y Do 2 y x x xy y x y 2 2 2 2 x y2 x y 1 x y xy 1 x y x y 1 mà 1 x y 1 x y P x y Dấu " " xảy 1 x y Vậy giá trị nhỏ P Câu x Điều kiện P 1 x x 3x x x x x x 3 x x 3x x 3 x x x x 3 x x x x x 5(tm) x x 15 0 x ( ktm) Vậy phương trình có nghiệm x 5 Ta có xy x y 6 x y y 4 2 2 x 1 y 8 x 1 y 8 Đặt a x 1; b y ta có hệ phương trình: x 1 y 4 (*) 2 x y ab 4 ab 4 2 a b 2ab 8 a b 16 ab 4 a 2 x 2 x 1 ab 4 a b b y y 4 a b 4 ab 4 a x x a b a b b y y 0 S 1;4 ; 3;0 Nghiệm hệ phương trình Phương trình hoành độ giao điểm d P x 2 x m hay x x m 0 (1) d P cắt hai điểm phân biệt (1) có hai nghiệm phân biệt ab 4 * 2 a b 8 ' 1 m 1 m 2 Do A, B thuộc P nên y1 x1 ; y2 x2 Theo đề ta có: x1 x2 4 y1 y2 x1 x2 12 x1x2 x1x2 12 x1 x2 x1 x2 2 x x m Theo hệ thức Viet ta có: Nếu x1 x2 4 m 4 m 3(ktm) Nếu x1 x2 m m 4(tm) Vậy m 4 giá trị cần tìm Câu K C I P M Q N J G B D E A a) Tứ giác BDIP nội tiếp suy PIK 180 PID PBA Mà tứ giác CPBA nôi tiếp PCK 180 PCA PBA PIK PCK suy tứ giác CIPK nội tiếp b) Tứ giác CIPK nội tiếp tứ giác PBDI nội tiếp, suy PKI PCI PK PD PK PC PDI PBI PKD PCB g g 1 PC PB PD PB Mà tứ giác CPBQ nội tiếp suy QPB BCQ hay MPB MCQ mặt khác PMB CMQ (đối đỉnh) nên MPB MCQ g g PB MP QC MC (2) MCP MQB ( g g ) Chứng minh tương tự MB MC PC MP (3) QB MB PB PC PC QB (4) QC QB PB QC Từ (2) (3) kết hợp PK QB PK QC QB.PD PD QC Từ (1) (4) c) Do tứ giác BDGI tứ giác CPBA nội tiếp, suy PGI PBI AD KD PBC PAC PGI PAC IG / /CA (5) AE KI Trên BC lấy J cho KPI CPJ Tứ giác CIPK nội tiếp , có: IPK 180 KCI BCA không đổi CB CJ không đổi (6) Suy J điểm cố định KI PK KD KD CB PKD PCB ( g g ) (7) PKI PCJ ( g g ) CJ PC CB KI CJ Lại có AD Từ (5), (6), (7) suy AE không đổi Câu A I F B K E G M D C H Gọi I , K , M theo thứ tự trung điểm EF , EG, GH AEF vng A có AI AI EF đường trung tuyến nên 1 IK FG MC GH IK 2 Tương tự đường trung bình AFG nên Tương tự: KM EH c EF FG GH HE 2 AI IK KM MC Ta có : AI IK KM MC AC (vì đường gấp khúc AIKMC AC ) 2 Suy c 2 AC 2 a b Câu Đặt x a, a 0, y b, b y y x 4b 6b a 16b 24b 4a 16b 24b 4a 13 4b 3 4a 13 4b 2a 4b 2a 13 Lập bảng 4a 2a 4b 2a 13 a 13 -3 b x y Nhận 1 Loại Vậy phương trình có nghiệm ngun x; y 9;1 2) Ta có n chẵn n 2k , k Suy : n3 20n 96 2k 40k 96 8 k 5k 96 8 k k 6k 96 8 k k 48k 48.2 Do k 1; k ; k số nguyên liên tiếp nên k 1 k k 1 chia hết cho k k k 1 k k 1 6 k k 48, k Vậy với số nguyên n chẵn n 20n 96 chia hết cho 48