Khung và cơ sở riesz

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN NGỌC TÚ KHUNG VÀ CƠ SỞ RIESZ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Ngun - Năm 2012 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN NGỌC TÚ KHUNG VÀ CƠ SỞ RIESZ Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN QUỲNH NGA Thái Nguyên - Năm 2012 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Lời cảm ơn Lời luận văn tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Quỳnh Nga hướng dẫn bảo tận tình suốt trình làm luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, phịng Đào tạo, khoa Tốn - Tin Trường ĐHKH, Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi suốt trình học tập trường Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp thành viên lớp cao học toán K4B quan tâm, động viên, giúp đỡ suốt thời gian học tập trình làm luận văn Thái Nguyên, ngày 25 tháng 09 năm 2012 Tác giả Nguyễn Ngọc Tú 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ii Mục lục Lời cảm ơn i Mở đầu Nội dung Cơ sở 1.1 Một số khái niệm kết chuẩn bị 1.2 Cơ sở không gian Banach 1.3 Dãy Bessel không gian Hilbert 10 1.4 Cơ sở hệ song trực giao không gian Hilbert 14 1.5 Cơ sở trực chuẩn 18 1.6 Cơ sở Riesz 22 1.7 Một số hạn chế sở 27 Khung không gian Hilbert 31 2.1 Khung tính chất 31 2.2 Khung toán tử 38 2.3 Khung sở 41 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i 2.4 Các đặc trưng khung 47 2.5 Khung đối ngẫu 52 2.6 Khung xử lý tín hiệu 57 Khung sở Riesz 61 3.1 Các điều kiện để khung trở thành sở Riesz 61 3.2 Các khung chứa sở Riesz 64 3.3 Sự tồn khung không chứa sở 66 Kết luận 69 Tài liệu tham khảo 71 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Cơ sở đóng vai trị thiết yếu nghiên cứu không gian vector trường hợp hữu hạn chiều vô hạn chiều Ý tưởng giống hai trường hợp, cụ thể họ phần tử cho vector không gian xét biểu diễn cách tổ hợp tuyến tính phần tử Trong khơng gian vơ hạn chiều, tình trở nên phức tạp hơn: buộc phải làm việc với chuỗi vơ hạn Có số khái niệm sở khác không gian Hilbert sở trực chuẩn, sở Schauder, sở Riesz Tuy nhiên sở có số hạn chế hạn chế thiếu tính linh hoạt Trong số trường hợp điều kiện để trở thành sở mạnh đến mức dường ta xây dựng sở với tính chất đặc biệt thay đổi nhỏ sở làm cho khơng cịn sở Một hạn chế khác sở thiếu tính ổn định tác động toán tử Những hạn chế vừa đưa số lý khiến nghiên cứu khái niệm khung mà nhiều trường hợp sở tồn khung sử dụng hữu hiệu Khái niệm khung đưa năm 1952 Duffin Schaeffer họ nghiên cứu chuỗi Fourier khơng điều hịa, tức chuỗi thiết lập từ  iλ x e n n∈Z λn ∈ R λn ∈ C, ∀n ∈ Z Tuy nhiên phải đến năm 1986 sau báo Daubechies, Grossmann Meyer khung 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn quan tâm rộng rãi Khung sử dụng nhiều xử lý tín hiệu, lý thuyết mật mã, lý thuyết lượng tử Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày hệ thống khái niệm sở tính chất Chương 2: Trình bày tổng quan lý thuyết khung không gian Hilbert Chương 3: Trình bày số mối liên hệ khung sở Riesz Tuy thân có nhiều cố gắng, song thời gian lực thân có hạn nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Rất mong đóng góp ý kiến thầy tồn thể bạn đọc Thái Nguyên, ngày 25 tháng 09 năm 2012 Tác giả Nguyễn Ngọc Tú 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Cơ sở 1.1 Một số khái niệm kết chuẩn bị Trong mục nhắc lại vài khái niệm kết cần đến phần Các kết tham khảo [1] Định nghĩa 1.1.1 Giả sử H không gian Hilbert, toán tử bị chặn U : H → H gọi toán tử unita U U ∗ = U ∗ U = I Khi hU x, U yi = hx, yi , ∀x, y ∈ H Định nghĩa 1.1.2 Cho họ không gian Hilbert {Hn }∞ n=1 , tổng trực tiếp chúng ký hiệu : H= ∞ X ! ⊕Hn n=1 (1.1) l2 bao gồm tất dãy g = (g1 , g2 , ), với gn ∈ Hn , ∀n ∈ N ∞ P kgn k2 < ∞ n=1 H không gian Hilbert tương ứng với tích hf, gi = f, g ∈ H, với chuẩn kgk2 = ∞ P ∞ P n=1 hfn , gn iHn , kgn k2 n=1 Bổ đề 1.1.3 Giả sử µ độ đo dương σ - đại số M Giả thiết 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn {An }∞ ⊇ A2 ⊇  ⊇ An ⊇ n=1 ⊂ M A1  ∞ Nếu µ (A1 ) < ∞ µ ∩ An = lim µ (An ) n=1 n→∞ Định lý 1.1.4 Giả sử Un : X → Y, n ∈ N dãy toán tử bị chặn, Un hội tụ điểm đến ánh xạ U : X → Y Khi U tuyến tính, bị chặn Ngồi ra, dãy chuẩn kUn k bị chặn kU k ≤ lim inf kUn k Toán tử U : X → Y khả nghịch U tồn ánh đơn ánh Định lý 1.1.5 Một tốn tử song ánh, bị chặn không gian Banach có nghịch đảo bị chặn Định lý 1.1.6 Nếu U : X → X bị chặn kI − U k < U khả ∞ −1 P k −1 nghịch U = (I − U ) Ngoài ra, U ≤ 1−kI−U k k=0 Bổ đề 1.1.7 Cho H, K không gian Hilbert Giả sử U : K → H toán tử bị chặn Khi có khẳng định sau: (i) kU k = kU ∗ k kU U ∗ k = kU k2 (ii) RU đóng H RU ∗ đóng K (iii) U toàn ánh tồn số C > cho kU ∗ yk ≥ C kyk , ∀y ∈ H Định lý 1.1.8 Giả sử H không gian Hilbert f : H → C ánh xạ tuyến tính liên tục Khi tồn y ∈ H cho f (x) = hx, yi Định lý 1.1.9 Giả sử U1 , U2 , U3 toán tử tự liên hợp Nếu U1 ≤ U2 , U3 ≥ U3 giao hoán với U1 , U2 U1 U3 ≤ U2 U3 Bổ đề 1.1.10 Giả sử H khơng gian Hilbert Mọi tốn tử dương, bị chặn U : H → H có bậc hai dương bị chặn W Nếu U tự liên hợp W tự liên hợp Nếu U khả nghịch W 9Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn khả nghịch W biểu thị giới hạn dãy đa thức U giao hoán với U Bổ đề 1.1.11 Giả sử H không gian Hilbert Khi : (i) Mọi tốn tử bị chặn, khả nghịch U : H → H có biểu diễn U = WP mà U toán tử unita, P dương (ii) Giả thiết H phức Khi tốn tử dương P H với kP k ≤ viết trung bình toán tử unita, tức √ P = 21 (W + W∗ ) ; W = P + i I − P Bổ đề 1.1.12 Giả sử H, K không gian Hilbert, giả thiết U : K → H toán tử bị chặn với miền giá trị đóng RU Khi tồn toán tử bị chặn U † : H → K mà U U † f = f, ∀f ∈ RU Toán tử U † gọi giả nghịch đảo U Ta thường thấy giả nghịch đảo toán tử U với miền giá trị đóng định nghĩa tốn tử thỏa mãn : ⊥ † NU † = R⊥ U , RU † = NU U U f = f, f ∈ RU (1.2) Bổ đề 1.1.13 Giả sử H, K không gian Hilbert U : K → H toán tử bị chặn với miền giá trị đóng Khi đó: (i) Hình chiếu trực giao H lên RU cho U U † (ii) Hình chiếu trực giao H lên RU † cho U † U
∗ (iii) U ∗ có miền giá trị đóng (U ∗ )† = U † (iv) Trên RU , toán tử U † cho U † = U ∗ (U U ∗ )−1 Định lý 1.1.14 Giả sử H, K không gian Hilbert U : K → H tốn tử tồn ánh, bị chặn Cho y ∈ H, phương trình U x = y có nghiệm có chuẩn nhỏ x = U † y 10Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 25 từ: ∗ −1 ∗ ∗ −1 kf k = (U ) U f ≤ (U ) kU ∗ f k = U −1 kU ∗ f k Một cách thường dùng để xây dựng toán tử định nghĩa sở sau mở rộng tính tuyến tính Bổ đề sau đưa vài điều kiện để điều xảy Bổ đề 1.6.5 Giả sử H, K không gian Hilbert, {hk }∞ k=1 ∞ dãy H, {gk }∞ k=1 dãy K Giả thiết {gk }k=1 dãy Bessel với cận B, {hk }∞ k=1 đầy đủ H, tồn số A > cho A X X |ck | ≤ ck hk (1.18) cho dãy số hữu hạn {ck } Khi đó, X  X U ck hk := ck gk , ({ck } hữu hạn ) ∞ định nghĩa tốn tử tuyến tính bị chặn từ span {hk }∞ k=1 vào span {gk }k=1 U có thác triển thành toán tử bị chặn từ H → K q Chuẩn U mở rộng nhiều B A Chứng minh Theo giả định (1.18), h ∈ span {hk }∞ k=1 có biểu P diễn h = ck hk với {ck } hữu hạn, kéo theo U định nghĩa tốt tuyến tính Cho dãy hữu hạn {ck } X 2  2 X X B X ck hk = ck gk ≤ B |ck | ≤ ck hk U A Từ U bị chặn Từ {hk }∞ k=1 đầy đủ, U có thác triển thành tốn tử bị chặn H 30Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 26 Định lý cho điều kiện tương đương để {fk }∞ k=1 trở thành sở Riesz Định lý 1.6.6 Cho dãy {fk }∞ k=1 H, điều kiện sau tương đương: (i) {fk }∞ k=1 sở Riesz H (ii) {fk }∞ k=1 đầy đủ H, tồn số A, B > cho dãy số hữu hạn {ck } có: X X X A |ck | ≤ ck fk ≤ B |ck |2 (1.19) ∞ (iii) {fk }∞ k=1 đầy đủ, ma trận Gram {hfk , fj i}j,k=1 xác định toán tử bị chặn, khả nghịch l2 (N) (iv) {fk }∞ k=1 dãy Bessel đầy đủ, có dãy song trực giao đầy đủ {gk }∞ k=1 dãy Bessel Nếu (1.19) cho dãy số hữu hạn {ck }, tự động cho ∞ {ck }∞ k=1 ∈ l (N) Nếu {fk }k=1 sở Riesz, số A, B > thỏa mãn (1.19) gọi cận Riesz dưới, cận Riesz Chúng rõ ràng không nhất, ta định nghĩa cận Riesz tối ưu giá trị lớn A nhỏ B Nếu (1.19) với A = B = 1, dãy {fk }∞ k=1 trực chuẩn Mệnh đề 1.6.7 Giả thiết span {fk }∞ k=1 = H X X ck fk = |ck |2 với dãy số hữu hạn {ck } {fk }∞ k=1 sở trực chuẩn H Chứng minh Từ giả thiết kéo theo định lý 1.6.6 {fk } sở Riesz H giả sử {ek }∞ k=1 sở trực chuẩn H, 31Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 27 ∞ ta viết {fk }∞ k=1 = {U ek }k=1 với tốn tử khả nghịch bị chặn thích hợp U Khi đó, với {ck }∞ k=1 ∈ l (N) ∞ ! 2 ∞ ∞ X X X ck e k ck fk = U |ck | = k=1 k=1 k=1 Từ suy kU k = U −1 = , theo mệnh đề 1.6.4, ta có : ∞ X |hf, fk i|2 = kf k2 , ∀f ∈ H k=1 Do kfk k = 1, ∀k ∈ N Ta kết theo mệnh đề 1.5.8 1.7 Một số hạn chế sở Khái niệm sở quan trọng cho phép ta biểu diễn vector f không gian Banach thông qua sở chọn trước {ek } : f= X (1.20) ck ek k Nhờ nhiều câu hỏi liên quan đến phần tử khơng gian đưa câu hỏi phần tử sở Ví dụ, tác động tốn tử tuyến tính bị chặn U phần tử f biết nhờ biểu diễn (1.20) tác động U {ek } ! Uf = U X ck fk k = X ck U e k k Trong chương làm việc với khái niệm tổng quát khái niệm sở Người ta chứng minh sở tồn không gian Hilbert khả ly Trong không gian Banach thường dùng 32Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 28 tồn sở Vậy câu hỏi đặt ta lại phải tìm khái niệm tổng quát khái niệm này? Một hạn chế sở thiếu tính linh hoạt Các điều kiện để trở thành sở mạnh đến mức ta dường xây dựng sở với tính chất đặc biệt thay đổi nhỏ sở làm cho khơng cịn sở Ta xét ví dụ sau: giả sử {ek } sở cho không gian Banach X φ phần tử X Khi {ek } ∪ {φ} khơng cịn sở X với f ∈ X có biểu diễn dạng f= X (1.21) ck ek + dφ k Lý {ek }∪{φ} khơng cịn độc lập tuyến tính Có nhiều lựa chọn hệ số {ck } d thỏa mãn (1.21) Một lựa chọn d = {ck } hệ số biểu diễn (1.20), lựa chọn khác chọn {ck } P cho f − φ = ck ek d = Ví dụ cho ta thấy tính chất sở bị phá vỡ cho thêm tập khác rỗng véc tơ vào {ek } tính khai triển hệ bảo toàn Một câu hỏi đặt lại muốn cho thêm phần tử vào sở? Lý ta nhận tự lựa chọn Các hệ số (1.20) trong (1.21) ta lựa chọn nhiều khả Ở mục (2.6) thấy việc có nhiều phần tử cần thiết cho sở có tác dụng làm giảm tiếng ồn Trong không gian Hilbert cụ thể L2 (R), ta đưa sở cụ thể, sở trực chuẩn Gabor   e2πimx χ[0,1] (x − n) m,n∈Z = Em Tn χ[0,1] (x) m,n∈Z 33Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 29  x ∈ [0, 1] x ∈ / [0, 1] Ta , Eb toán tử xác định L2 (R), Ta : L2 (R) → L2 (R) χ[0,1] (x) = xác định (Ta f ) (x) = f (x − a) , Eb : L2 (R) → L2 (R) xác định (Eb f ) (x) = e2πibx f (x) với a, b ∈ R Tuy nhiên, ví dụ cho ta thấy hạn chế sở Chú ý rằng: Z1 χ b[0,1] (γ) = e −2πixγ e−πiγ sin πγ dx = i πγ Do χ[0,1] gián đoạn, χ b[0,1] giảm chậm nên hàm đặc trưng khơng hấp dẫn theo quan điểm nhìn nhận giải tích tần số thời gian Chúng ta hi vọng kết thu tốt thay hàm χ[0,1] hàm trơn g , nhiên, định lý Balian- Low có hạn chế tính chất g ta muốn {Em Tn g}m,n∈Z trở thành sở Riesz Định lý 1.7.1 Giả sử g ∈ L2 (R) Nếu {Em Tn g}m,n∈Z sở Riesz L2 (R ),∞thì  ∞  R R |xg (x)|2 dx |γ b g (γ)|2 dγ = ∞ −∞ −∞ Định lý Balian- Low khẳng định hàm g tạo nên sở Gabor Riesz địa phương hóa tốt theo thời gian lẫn tần số Ví dụ, g b g khơng thể thỏa mãn đánh giá |g (x)| ≤ C C , | b g (γ)| ≤ + x2 + γ2 đồng thời Nếu triệt tiêu nhanh g b g cần thiết, ta cần phải hỏi liệu ta có cần tất tính chất đặc trưng cho sở Riesz liệu ta có 34Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 30 thể giảm nhẹ vài tính chất chúng Tính chất ta muốn giữ lại f ∈ L2 (R) có khai triển hội tụ vơ điều kiện {Em Tn g}m,n∈Z , với Bổ đề 1.6.2 điều ta không nhận lợi ích u cầu {Em Tn g}m,n∈Z sở thay sở Riesz Tuy nhiên, tính chất khai triển thực kết hợp với g b g có tốc độ triệt tiêu nhanh, ta phải bỏ tính chất khai triển định nghĩa sở Điều đưa chuyển từ nghiên cứu sở sang nghiên cứu khung Định nghĩa khung cách xác đưa vào chương tiếp theo, diễn giải đưa khác khung sở đưa định nghĩa thực Một hạn chế khác sở thiếu tính ổn định tác động tốn tử Ví dụ, {ek }∞ k=1 sở trực chuẩn tốn tử Unita U làm cho {U ek }∞ k=1 sở trực chuẩn Nếu ∞ {ek }∞ k=1 sở U phải song ánh bị chặn để {U ek }k=1 sở Những hạn chế vừa đưa số lý khiến nghiên cứu khái niệm khung mà nhiều trường hợp sở tồn khung sử dụng hữu hiệu 35Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 31 Chương Khung không gian Hilbert 2.1 Khung tính chất Khái niệm khung đưa năm 1952 Duffin Schaeffer họ nghiên cứu chuỗi Fourier khơng điều hịa, tức chuỗi thiết lập từ  iλ x e n n∈Z λn ∈ R λn ∈ C, ∀n ∈ Z Tuy nhiên phải đến năm 1986 sau báo Daubechies, Grossmann Meyer khung quan tâm rộng rãi Khung sử dụng nhiều xử lý tín hiệu, lý thuyết mật mã , lý thuyết lượng tử Định nghĩa 2.1.1 Một dãy {fk }∞ k=1 phần tử H khung H tồn số ∞ > A, B > cho Akf k ≤ ∞ X |hf, fk i|2 ≤ Bkf k2 , ∀f ∈ H (2.1) k=1 Các số A, B gọi cận khung Chúng không Cận khung tối ưu cận tất cận khung, cận khung tối ưu cận tất cận khung Chú ý cận tối ưu thực cận khung Định nghĩa 2.1.2 36Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 32 (i) Một khung chặt ta chọn A = B cận khung (ii) Nếu khung khơng cịn khung phần tử tùy ý bị loại bỏ gọi khung thực Khi ta nói cận khung chặt, ta muốn nói giá trị xác A lúc cận cận khung Chú ý điều khác với thuật ngữ khung tổng qt đó, ví dụ cận khung số mà điều kiện Bessel thỏa mãn Trong trường hợp khơng gian H hữu hạn chiều dãy {fk }m k=1 khung span {fk }m k=1 = H Thật vậy, giả sử {fk }m k=1 khung không gian hữu hạn chiều H Nếu span {fk }m k=1 6= H tồn g khác không thuộc H cho hg, fk i = 0, ∀k = 1, 2, , m Theo định nghĩa khung tồn số A, B > hữu hạn để (2.1) thỏa mãn Từ bất đẳng thức vế trái (2.1) cho f = g hg, fk i = 0, ∀k = 1, 2, , m ta có Akgk2 ≤ Do g = 0, suy mâu thuẫn Bây giả sử span {fk }m k=1 = H Ta giả thiết khơng phải tồn fk Theo bất đẳng thức Cauchy- Schwarz, m X k=1 |hf, fk i|2 ≤ m X kf k2 kfk k2 = k=1 Do ta chọn B = m X 2! kfk k kf k2 k=1 m P kfk k2 k=1 Xét ánh xạ φ : H → R xác định φ (f ) = m P |hf, fk i|2 k=1 Ta thấy φ liên tục Do hình cầu đơn vị H compact nên ta viết tìm g ∈ H 37Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 33 với kgk = cho A := m X |hg, fk i|2 = inf ( m X k=1 ) |hf, fk i|2 : f ∈ W, kf k = k=1 Rõ ràng A > Với f khác không H ta có  m m  X X f 2 , f |hf, fk i| =