Ctst chuyen de 2 lý thuyết đồ thị

Chuyên đề LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ Đồ thị công cụ phố biến hiệu để mô tả nhiều đối tượng khác khoa học đời sống ngày Chúng cüng sử dụng để giải nhiều toán līnh vực khác Trong chuyên đề này, tìm hiểu số khái niệm lí thuyết đồ thị, bước đầu làm quen với việc ứng dụng chúng vào giải vấn để số tình đơn giản Có thể qua tất cầu, cầu qua lần, quay trở vế điểm xuất phát? Sau chuyên đề này, bạn có thể: - Nhận biết khái niệm đồ thị số khái niệm liên quan - Nhận biết đường Euler, đường Hamilton đồ thị - Tìm đường ngắn theo thuật toán trường hợp đơn giản - Vận dụng kiến thức đồ thị để giải vấn để liên quan đến xác định đường đi, đường ngắn TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang Bài ĐỒ THỊ Từ khoá: Đồ thị; Đỉnh; Cạnh; Kề nhau; Kề với; Đỉnh cô lập; Bậc Bảng cho biết đường bay (hai chiều) sáu thành phố A, B, C , D, E F (dấu biểu thị có đường bay, dấu biểu thị khơng có đường bay) hãng hàng khơng X Nếu dùng điểm để biểu thị thành phố, đoạn đường cong đường thẳng để biểu thị đường bay thành phố ta sơ đồ Hình Có người thắc mắc: “Từ thành phố A , đến thăm năm thành phố B, C , D, E F chuyến bay hãng X cho thành phố qua lần, quay trở A không?” Để giải đáp thắc mắc trên, nên dùng Bảng hay sơ đồ Hình 1? Tại sao? Đồ thị Sử dụng sơ đồ Hình để trả lời câu hỏi đây: a) Từ thành phố A , hãng X có đường bay đến năm thành phố lại? b) Giữa sáu thành phố trên, có tất đường bay hãng X ? c) Có thể giải đáp thắc mắc khơng? Sơ đồ Hinh gọi đồ thị Tổng quát, ta có định nghĩa sau Một đồ thị G tập hợp gồm hữu hạn điểm, gọi đỉnh đồ thị, với tập hợp đoạn đường cong thẳng có đầu mút đỉnh đồ thị, gọi cạnh đồ thị Các đỉnh đồ thị kí hiệu chữ in hoa A, B, C , ; cạnh có đầu mút đỉnh A , B (cạnh nối hai đỉnh A, B ) kí hiệu AB BA Đơi ta dùng chữ thường a, b,  để kí hiệu cạnh Hai cạnh khác có chung hai đầu mút Chẳng hạn, hai cạnh a b đồ thị G Hình chung hai đầu mút B D TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang Hai đỉnh đồ thị gọi kề (còn gọi đỉnh kề với đỉnh kia) chúng hai đầu mút cạnh Một đỉnh khơng kề với đỉnh (kể nó) gọi đỉnh cô lập Nhận xét: a) Hai đầu mút cạnh trùng Cạnh có hai đầu mút trùng gọi khuyên Chẳng hạn, đồ thị Hình có hai khun hai cạnh a b b) Một đồ thị khun, hai đỉnh đầu mút nhiều cạnh gọi đơn đồ thị Chẳng hạn, đồ thị Hình đơn đồ thị c) Một đồ thị khơng có khuyên, hai đỉnh nối với nhiều cạnh gọi đa đồ thị Chẳng hạn, đồ thị Hình đa đồ thị Ví dụ Xét đồ thị G Hình a) Chỉ đỉnh cạnh G Đồ thị có đỉnh, cạnh? b) Chỉ đỉnh kề đỉnh A c) Đồ thị G có đỉnh lập? Lời giải a) Các đỉnh G là: A, B, C , D, E F Đồ thị có đỉnh Các cạnh G là: AB, AC , AD, a, b, CD CF Đồ thị có cạnh b) Các đỉnh kề đỉnh A là: B, C , D c) Đồ thị G có đỉnh lập, đỉnh E Ví dụ Năm người A, B, C , D E đến dự bữa tiệc Biết rằng, trước đến dự tiệc, mối quan hệ quen biết (người quen người ngược lại) người sau:  A quen với B, C , D E  B quen với C E (khơng tính với A ); C quen với D (khơng tính với A, B );  D quen với E (khơng tính với A, B, C ) a) Vẽ đồ thị biểu thị mối quan hệ quen biết năm người trước đến dự tiệc b) Biết rằng, buổi tiệc, người bắt tay với người quen khơng bắt tay với người chưa quen Có tất lần bắt tay năm người trên? Giải a) Ta vẽ đồ thị G có đỉnh biểu diễn năm người A , B , C , D , E ; hai đỉnh nối cạnh hai người mà chúng biểu diễn quen (Hình 4) TÀI LIỆU TỐN THPT Trang Số lần bắt tay số cạnh đồ thị G Ta đếm đồ thị có cạnh Vậy, có lần bắt tay năm người A , B , C , D E Thực hành Cho đồ thị G Hình a) Chỉ đỉnh, cạnh, số đỉnh, số cạnh G b) Chỉ đỉnh kề đỉnh D , đỉnh kề đỉnh B c) Đồ thị G có đỉnh lập khơng? Vận dụng Một mạng cục có bảy máy tính ; ; ; ; ; Bảng cho biết cặp máy tính có kết nối trực tiếp với hay khơng (dấu  có kết nối, dấu  khơng kết nối) Hãy vẽ đồ thị biểu diễn kết nối máy tính mạng Bậc đỉnh Đồ thị Hình biểu diễn năm ngơi làng A , B , C , D E đường chúng (mỗi cạnh biểu diễn đường hai làng) Biết đường ra, vào làng phải qua cổng chào; hai đường khác ra, vào làng phải qua hai cổng chào khác Ngoài ra, ngơi làng khơng cịn cổng chào khác TÀI LIỆU TỐN THPT Trang a) ngơi làng có cổng chào nhất? Ngơi làng có nhiều cổng chào nhất? b) Năm ngơi làng có tất cổng chào? Giả sử A đỉnh đồ thị Số cạnh đồ thị có A đầu mút gọi bậc A , kí hiệu d  A Chú ý: 1) Đinh có bậc số chẵn gọi đỉnh bậc chẵn; đỉnh có bậc số lẻ cịn gọi đinh bậc lẻ 2) Đỉnh lập có bậc Ví dụ Xét hai đồ thị G H Hình Hình Chỉ bậc đỉnh đồ thị Với đồ thị trên, tìm số cạnh tính tổng bậc đỵnh Có nhận xét mối liên hệ hai kết này? Giải d  A  2 d  B  3 d  C  4 d  D  1 d  E  0 Trong đồ thị G , , , , , d  A  4 d  B  5 d  C  6 d  D  2 d  E  1 Trong đồ thị H , , , , , Đồ thị G có cạnh Tổng bậc đỉnh G là:     10 Đồ thị H có cạnh Tổng bậc đỉnh H là:     18 Ta thấy tổng bậc đỉnh đồ thị gấp đôi số cạnh Nhận xét:Trong đồ thị, cạnh có hai đỉnh đầu mút Như vậy, cạnh đóng góp đơn vị vào tổng bậc tất đỉnh đồ thị Từ đó, ta nhận định lí sau Định lí Trong đồ thị, tổng tất bậc đỉnh số chẵn hai lần số cạnh đồ thị Nhận xét: Từ định lí suy ra, số đỉnh bậc lẻ đồ thị số chẵn Ví dụ Vẽ đồ thị (nếu có) có đỉnh với bậc đỉnh là: a) 2;3;3;3;3; TÀI LIỆU TOÁN THPT b) 1; 2;3; 4;5 Trang Giải a) Đồ thị hình thỏa mãn u cầu b) Khơng có, tổng + + + + = 15 số lẻ Ví dụ Vẽ đồ thị có đỉnh, cạnh tất đỉnh bậc lẻ Giải Đồ thị Hình 10 thỏa mãn yêu cầu Thực hành Cho đồ thị Hình 11 a) Hãy bậc tất đỉnh tìm tổng chúng b) Tìm tất đỉnh kề với đỉnh B Số đỉnh có bậc đỉnh B khơng? Vận dụng Có hay khơng đồ thị có ba đỉnh, hai đỉnh có bậc đỉnh ? BÀI TẬP Bài Hãy đỉnh, cạnh, số đỉnh, số cạnh đồ thị Hình 12 TÀI LIỆU TỐN THPT Trang Bài Cho đồ thị Hình 13 a) Chỉ bậc đỉnh đồ thị b) Chỉ đỉnh bậc lẻ đồ thị c) Tính tổng tất bậc đỉnh đồ thị Một đồ thị có bốn đỉnh có bậc 2;3; 4;3 Tính số cạnh đồ thị vẽ đồ thị Biết G đồ thị có đỉnh, cạnh đỉnh có bậc Đồ thị có đỉnh bậc ? Hãy vẽ đồ thị Có năm học sinh An, Bình, Mai, Quang, Xuân Biết An quen Bình, Bình quen Quang, An quen Mai, Mai quen Xuân, Xuân quen Quang Các cặp không liệt kê khơng quen Hãy vẽ đồ thị để thể mối quan hệ quen học sinh Cho tập hợp số V {2;3; 4;5;6;7;11;12} Hãy vẽ đồ thị có đinh biểu diễn phần tử V , hai đỉnh kề hai số mà chúng biểu diễn nguyên tố (tức có ước chung lớn ) TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang Bài Đường đỉ Euler đường đỉ Hamilton Từ khóa: Đường đi; Chu trình; Đường Euler; Chu trình Euler; Đường Hamilton; Chu trình Hamilton Thành phố Kưnigsberg thuộc Phổ (nay Kaliningrad thuộc Nga) có bảy cầu nối bốn vùng đất chia nhánh sông Pregel hình Vào sáng Chủ nhật, người dân thành phố thường dạo qua cầu Họ tự hỏi khơng biết điểm thành phố, qua khắp cầu, cầu qua lần, quay điểm xuất phát Theo em, có hay khơng cách vậy? Đường Euler a) Nếu coi vùng đất thành phố Königsberg đỉnh, cầu cạnh nối hai đỉnh ta đồ thị G Hình Câu hỏi người dân thành phố trở thành: có hay không cách vẽ nét bút liền (không nhấc bút) qua tất cạnh đồ thị, cạnh lần, cho điểm kết thúc trùng với điểm xuất phát? Hãy thử vẽ đưa dự đốn b) Nếu khơng có cầu nối A D có thêm câycầu nối B C ta có đồ thị H Hình Có thể vẽ nét liền qua tất cạnh đồ thị này, cạnh lần không? Trong đồ thị G , dãy cạnh nối tiếp (hai cạnh nối tiếp hai cạnh có chung đỉnh) AB, BC , , MN , NP gọi đường từ đỉnh A đến đỉnh P , kí hiệu ABCD  MNP Ta nói đường ABCD  MNP đỉnh A , qua cạnh AB, BC , , NP kết thúc đỉnh P Một đường gọi chu trình bắt đầu (hoặc xuất phát) kết thúc đỉnh Ví dụ Xét đồ thị Hình a) Chỉ ba đường khác từ A đến D b) Chì ba chu trình khác A Giải a) AD, AED, ABCED ba đường khác từ A đến D Hinh b) ABEA, AECDA, ADFCBA ba chu trình khác A TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang Một đồ thị gọi liên thơng cặp đỉnh phân biệt có đường từ đỉnh đến Víđỉnh dụ Đồ thị G H Hình có liên thơng khơng? Giải thích Giải a) Đồ thị G liên thơng, cặp đỉnh phân biệt có đường từ đỉnh đến đỉnh b) Đồ thị H không liên thông Chẳng hạn, hai đỉnh A C khơng có đường từ đỉnh đến đỉnh Cho G lả đồ thị liên thông Trong đồ thị G , đường từ đỉnh A đến đỉnh B , qua tất cạnh G , cạnh lần, gọi đường Euler từ A đến B Một chu trình qua tất cạnh đồ thị, cạnh lần, gọi chu trình Euler Chú ý: Khi G đồ thị liên thơng đường Euler G (nếu có) qua đỉnh G a) Chỉ chu trình Euler đồ thị G Hình Đồ thị có đỉnh bậc lẻ không? b) Chỉ đồ thị S T sau khơng có chu trình Euler Các đồ thị có đỉnh bậc lẻ khơng? Ta thấy đồ thị G có chu trình Euler đỉnh đồ thị có bậc chẵn; hai đồ thị S T có đỉnh bậc lẻ chúng khơng có chu trình Euler Tổng qt, người ta chứng minh định lí sau Định lí Đồ thị liên thơng G có chu trình Euler chi đỉnh có bậc chẵn Ví dụ Mỗi đồ thị sau có chu trình Euler khơng? Nếu có, chu trình TÀI LIỆU TỐN THPT Trang Lời giải a) Đồ thị G khơng có chu trình Euler, có đỉnh B bậc bậc lẻ b) Ta thấy tất đỉnh đồ thị H có bậc chẵn nên H có chu trình Euler, chẳng hạn, AEBCDFCABDA 3 Sau ta xét ví dụ tìm đường Euler Hãy đường Euler đồ thị sau Mỗi đồ thị có đỉnh bậc lẻ? Hai đồ thị G H 3 có hai đỉnh bậc lẻ chúng có đường Euler Tổng quát, người ta chứng minh định lí sau Định lí Đồ thị liên thơng G có đường Euler khơng có chu trình Euler có hai đỉnh bậc lẻ Khi đó, đường Euler từ đỉnh bậc lẻ đến đỉnh bậc lẻ Ví dụ Mỗi đồ thị Hình 10 có đường Euler khơng? Nếu có, đường Lời giải a) Đồ thị G khơng có đường Euler, có đến đỉnh bậc lẻ A, B, C , D TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang 10 Nhận xét: Nhiều đồ thị không thỏa mãn giả thiết Định lí Dirac hay Định lí Ore có chu trình Hamilton Trong số trường hợp đơn giản, ta tìm chu trình (đường đi) Hamilton đồ thị, chứng minh đồ thị khơng có chu trình (đường đi) Hamilton, dựa vào quy tắc sau đây: 1) Chu trình (đường đi) Hamilton phải qua hai cạnh nối với hai đình bậc (trừ đỉnh đỉnh bắt đầu đỉnh kết thúc đường đi) 2) Nếu chu trình (đường đi) Hamilton qua hai cạnh nối với đỉnh có bậc lớn khơng thể qua cạnh khác nối đỉnh 3) Đường Hamilton phải qua cạnh nối với đỉnh bậc 1; đỉnh bậc phải đỉnh bắt đầu đỉnh kết thúc đường Hamilton Đồ thị có đỉnh bậc khơng có chu trình Hamilton Ví dụ 8: Chứng tỏ đồ thị G (Hình 18a) có chu trình Hamilton; đồ thị H (Hình 18b) khơng có chu trình Hamilton Lời giải a) Đồ thị G có đỉnh A, P, B, C , D bậc nên chu trình Hamilton h (nếu có) phải qua cạnh AE , AP, BP, BF , CF , CN , DM , DE (Hình 18a) Từ h khơng thể qua cạnh EI KF (Đánh dấu x Hình 19) Nếu xóa hai cạnh đỉnh I K trở thành có bậc Do h phải qua cạnh MI , IK , KN Kết ta thu chu trình Hamilton h : APBFCNKIMDEA b) Đồ thị H có đỉnh A, P, B, C , D Q bậc nên chu trình Hamilton k (nếu có) phải qua cạnh EA, AP, BP, BF , FC , CN , MD, DE , NQ, QM (Hình 18b) Từ k khơng thể qua cạnh EI , IM , KF , KN (Đánh dấu x Hình 20) Như k qua đỉnh I K Vậy, khơng có chu trình Hamilton đồ thị k Hoạt động 3: Hãy đồ thị sau có chu trình Hamilton TÀI LIỆU TỐN THPT Trang 14 Các đỉnh đồ thị Hình 22 biểu thị điểm du lịch thành phố, cạnh biểu thị đường điểm du lịch Có hay khơng cách tham quan tất điểm du lịch thành phố, điểm qua lần, xuất phát kết thúc điểm du lịch? Hình 22 Hình tứ diện BÀI TẬP Mỗi đồ thị Hình 23 có chu trình Euler khơng? Nếu có chu trình Đồ thị H Đồ thị G Đồ thị Hình 24 có đường Euler khơng? Nếu có đường Hình 24 Đồ thị H Chỉ chu trình Hamilton đồ thị Hình 25 TÀI LIỆU TỐN THPT Trang 15 Hình 25 Đồ thị G Chỉ đường Hamilton đồ thị Hình 26 Hình 26 Đơ thị H Có bốn khu phố A, B, C D nối với cầu Hình 27 Có hay khơng cách qua tất cầu, cầu qua lần, quay trở lại nơi xuất phát? Nếu có, cách Hình 27 Có năm vùng đất A, B, C , D E nối với cầu Hình 28 a) Có hay khơng cách qua tất cầu, cầu qua lần, quay trở lại nơi xuất phát? b) Nếu không yêu cầu quay lại nơi bắt đầu có cách khơng? Nếu có, cách TÀI LIỆU TỐN THPT Trang 16 Hình 28 Bài Bài tốn tìm đường ngắn Từ khố: Trọng số; Đồ thị có trọng số; Độ dài; Đường ngắn Phần mềm chi đường thường đường ngắn người dùng muốn tìm đường từ địa điểm đến địa điểm khác Làm để tìm đường đó? in Đồ thị có trọng số đường ngắn Để biểu diễn đường nối giao lộ với độ dài chúng sơ đồ Hình 1, học sinh vẽ đồ thị Hình Chi cạnh số biểu diễn độ dài đường thiếu Hình Hình Hình Một đồ thị mà cạnh gán thêm số gọi đồ thị có trọng số Số gán cho cạnh gọi trọng số cạnh Trọng số cạnh a kí hiệu wa Nhận xét Ta xét đồ thị có trọng số với trọng số số dương Trọng số cạnh gọi độ dài cạnh đó, thực tế trọng số biểu diễn nhiều đại lượng khác (không chi TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang 17 độ dài vật lí) Chẳng hạn, đồ thị biểu diễn đường nơi đó, trọng số cạnh biểu diễn độ dài đoạn đường, số tiền cần trả, thời gian cần để hết đoạn đường Tổng trọng sổ (hay tổng độ dài) cạnh tạo thành đường gọi độ dài đường Độ dài đường m ki hiệu lm Trong đồ thị có trọng số, đường có độ dài bé tất đường từ đỉnh A đến đỉnh B gọi đường ngắn từ A đến B Chú ý: Khi xét tốn tìm đường ngắn nhất, ta xét đồ thị liên thơng có trọng số Ví dụ Cho đồ thị có trọng số Hình a) Chỉ trọng số cạnh AB, CF , DF b) Tính độ dài đường AC , ADCF , BECFI c) Cạnh AD có phải đường ngắn từ A đến D khơng? Hình 3 Giải a) wAB 2; wCF 10; wDF 12 b) l AC wAC 5 l ADCF wAD  wDC  wCF 6   10 18 lBECFI wBE  wEC  wCF  wFI 5   10  30 ABCD đường từ A đến D , mà l ABCD  wAB  wBC  wCD 2   5  l AD  wAD 6 Do đó, cạnh AD đường ngắn từ A đến D Ví dụ Bảng cho biết giá vé chuyến bay thành phố A, B, C , D E (số nằm ô giao hàng cột giá vé tính triệu đồng chuyến bay hai thành phố hàng cột tương ứng, dấu x biểu thị chuyến bay hai thành phố) Hãy vẽ đồ thị có trọng số biểu diễn chuyến bay với giá thành phố vé Lời giải Đồ thị có trọng số Hình thỏa mãn yêu cầu, đỉnh biểu diễn thành phố, cạnh biểu diễn đường bay thành phố (nếu có), trọng số cạnh biểu diễn giá vé máy bay đường bay tương ứng Cho đồ thị có trọng số Hình a) Chỉ trọng số cạnh AE , MN , CN TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang 18 b) Tính độ dài đường ABEN , EMFNE c) Chỉ ba đường khác từ A đến D tính độ dài chúng d) Đường EMF có phải đường ngắn từ E đến F khơng? Thuật tốn tìm đường ngắn Cho đồ thị có trọng số Hình a) Tìm tất đường từ A đến T (đi qua đỉnh nhiều lần) tính độ dài đường b) Từ đó, tìm đường ngắn từ A đến T Qua , ta thấy dễ dàng tìm đường ngắn từ A đến T cách tính độ dài tất đường từ A đến T (không qua đỉnh lần) so sánh độ dài Tuy nhiên, cách hiệu khó thực đồ thị có nhiều cạnh Để giải vấn đề đó, người ta xây dựng thuật tốn giải tốn tìm đường ngắn đồ thị có trọng số cách hiệu Dưới đây, tìm đường ngắn từ A đến T đồ thị có trọng số thuật toán Dijkstra (Edsger Dijkstra, 11/5/1930 – 6/8/2002, nhà khoa học máy tính người Hà Lan, đề xuất thuật toán vào năm 1959) Nguyên lý thuật tốn là: Tìm đỉnh (khác A ) gần A nhất, gần A thứ hai, gần A thứ ba, … (tức độ dài đường ngắn từ A đến đến đỉnh bé nhất, bé thứ hai, bé thứ ba, …) T đỉnh Để tìm đỉnh này, ta gán cho đỉnh đồ thị số, gọi nhãn đỉnh (nhãn đỉnh M kí hiệu nM ) Tiếp đó, ta thực bước lặp điều chỉnh nhãn (còn gọi nhãn tạm thời) đỉnh nhãn cố định độ dài đường ngắn từ đỉnh đến đỉnh A Cụ thể ta thực sau: Đầu tiên, gắn nhãn cho đỉnh A ( nA 0 ), cho đỉnh khác  (coi  số lớn số thực) Khoanh tròn đỉnh A viết nhãn đỉnh khác bên cạnh đỉnh (Hình 7) Dưới đây, lần thay đổi nhãn đỉnh ta gạch nhãn cũ viết thêm nhãn TÀI LIỆU TỐN THPT Trang 19 Bước Tìm đỉnh (khác A ) gần A Ta cần tìm đỉnh kề với A , gồm hai đỉnh B C Ta tính n A  wAB 0  4 Số nhỏ nhãn B (bằng  ), nên ta đổi nhãn B thành nB 4 (bằng l AB ) Tương tự, tính n A  wAC 0  2 đổi nhãn C thành nC 2 (bằng l AC ) A thấy đỉnh C có nhãn nhỏ đỉnh khác A C đỉnh gần A Ta cố định nhãn khoanh trịn đỉnh C (Hình 8) Bước Tìm đỉnh (khác A ) gần A thứ hai Trước hết, xét đỉnh kề với C (là đỉnh vừa khoanh tròn cuối bước trước) Trong đỉnh chưa khoanh tròn gồm D E Ta tính nC  wCD 2  8 Số nhỏ nhãn D (là  ), nên ta đổi nhãn D thành nD 8 (bằng l ACD ) Tương tự, tính nC  wCE 2  12 14 đổi nhãn E thành nE 14 Ta thấy, đỉnh chưa khoanh trịn, đỉnh B có nhãn nhỏ nhất, nên đỉnh gần A thứ hai Ta cố định nhãn khoanh tròn đỉnh B (Hình 9) Bước Tìm đỉnh gần A thứ ba Trước hết đỉnh chưa khoanh trịn, có đỉnh D kề với B Tính nB  wBD 4  11 Số lớn nhãn nD 8 D nên ta giữ nguyên nhãn Trong đỉnh chưa khoanh tròn, đỉnh D có nhãn nhỏ nhất, nên đỉnh gần A thứ ba Ta cố định nhãn khoanh tròn đỉnh D (Hình 10) Bước Tìm đỉnh gần A thứ tư Trong đỉnh chưa khoanh tròn, xét đỉnh kề với D , gồm E T Tính nD  wDE 8  12 Số nhỏ nhãn E (là 14 ) nên ta đổi nhãn E thành TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang 20