UBND THÀNH PHỐ HUẾ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Năm học 2022-2023 Bài (2,5 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x xy y y x 2 b) Tìm x, y thỏa mãn đẳng thức x y xy y x 0 Bài (2,5 điểm) a) Tìm số dư phép chia x x 3 x x 2020 cho x x b) Cho x x 1 Tính giá trị biểu thức A x 3x 3x 3x x x Bài (2,0 điểm) 1 x y z 0 x y z a) Cho x, y, z số khác x6 y6 z xyz 3 x y z Chứng minh b) Tính giá trị nhỏ biểu thức: A x x x 12 x 75 Bài (3,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có hai đường chéo cắt O Lấy điểm M tùy ý đoạn thẳng BO Gọi N điểm đối xứng C qua M a) Tứ giác ANBD hình ? Vì ? b) Gọi E , F chân đường vng góc hạ từ N xuống AB, AD Chứng minh EF / / AC c) Chứng minh E , F , M thẳng hàng ĐÁP ÁN Bài (2,5 điểm) c) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x xy y y x x3 xy y y x 2 x xy xy y y x x x y y x y y x x y 1 x y 2 d) Tìm x, y thỏa mãn đẳng thức x y xy y x 0 Ta có : x y xy y x 0 x xy y y y 1 x x 1 0 2 x y y 1 x 1 0 * Vì x y 2 0; y 1 0; x 1 0 x, y Do phương trình (*) xảy 2 x y 0 x 1 y 0 y x 0 Vậy x 1, y thỏa mãn yêu cầu toán Bài (2,5 điểm) c) Tìm số dư phép chia x x 3 x x 2020 cho x x Ta có : P x x 3 x x 5 2020 x x x 3 x 2020 x x 10 x x 12 2020 Đặt a x x Khi ta có : P a a 2020 a 12a 35 2020 a a 12 2055 Suy P chia a dư 2055 Vậy x x 3 x x 2020 chia cho x x dư 2055 d) Cho x x 1 Tính giá trị biểu thức A x 3x 3x 3x x x Với x x 1 , ta có : A x 3x x 3x x x A x x x x x x x x x A x x x x x x x A x x x x x (do x x 1) A x x x x x x 3x x x x x 3 x x x x x x 10 10 11 Vậy với x x 1 A 11 Bài (2,0 điểm) 1 x y z 0 x y z c) Cho x, y, z số khác x6 y6 z xyz 3 Chứng minh x y z 1 0 xy yz zx 0 x y y z x z 3x y z Vì x y z 3 Mặt khác x y z 0 x y z 3xyz Ta có : x VT y z x3 y y z x z x2 y z x2 y z 3x2 y z xyz VP x3 y z 3xyz 3xyz d) Tính giá trị nhỏ biểu thức: A x x x 12 x 75 Ta có : A x x x x x 63 x2 x 2 x 2 x ( x 2) 0 x 2 x x x 63 0 x Vì x 0 x x 0 x 0 x 2 x 2 x 2 Dấu xảy Vậy Min A 63 x 2 Bài (3,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có hai đường chéo cắt O Lấy điểm M tùy ý đoạn thẳng BO Gọi N điểm đối xứng C qua M N F A B E M O D C d) Tứ giác ANBD hình ? Vì ? Xét ANC có OM đường trung bình tam giác OM / / AN hay AN / / BD Vậy ANBD hình thang e) Gọi E , F chân đường vng góc hạ từ N xuống AB, AD Chứng minh EF / / AC Vì AN / / BD nên A1 D2 (đồng vị ) (1) Vì ABCD hình chữ nhật nên ODA cân O A4 D2 Vì FNDA hình chữ nhật nên A1 F1 3 Từ (1), (2), (3) suy A4 F1 mà chúng hai góc đồng vị nên EF / / AC f) Chứng minh E , F , M thẳng hàng Xét ANC có O ' M đường trung bình tam giác nên O ' M / / AC Ta có qua O’ có hai đường thẳng O ' M O ' E song song với AC O ', M , E thẳng hàng Mà O '; E ; F thẳng hàng Suy E , F , M thẳng hàng