023 đề hsg toán 8 huế 22 23

UBND THÀNH PHỐ HUẾ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Năm học 2022-2023 Bài (2,5 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x  xy  y  y  x 2 b) Tìm x, y thỏa mãn đẳng thức x  y  xy  y  x  0 Bài (2,5 điểm) a) Tìm số dư phép chia  x    x  3  x    x    2020 cho x  x  b) Cho x  x 1 Tính giá trị biểu thức A x  3x  3x  3x  x  x  Bài (2,0 điểm) 1 x  y  z    0 x y z a) Cho x, y, z số khác x6  y6  z  xyz 3 x  y  z Chứng minh b) Tính giá trị nhỏ biểu thức: A x  x  x  12 x  75 Bài (3,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có hai đường chéo cắt O Lấy điểm M tùy ý đoạn thẳng BO Gọi N điểm đối xứng C qua M a) Tứ giác ANBD hình ? Vì ? b) Gọi E , F chân đường vng góc hạ từ N xuống AB, AD Chứng minh EF / / AC c) Chứng minh E , F , M thẳng hàng ĐÁP ÁN Bài (2,5 điểm) c) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x  xy  y  y  x x3  xy  y  y  x 2 x  xy  xy  y  y  x  x  x  y   y  x  y    y  x   x  y  1  x  y  2 d) Tìm x, y thỏa mãn đẳng thức x  y  xy  y  x  0 Ta có : x  y  xy  y  x  0   x  xy  y    y  y  1   x  x  1 0 2   x  y    y  1   x  1 0  * Vì  x  y  2 0;  y  1 0;  x  1 0  x, y  Do phương trình (*) xảy 2 x  y 0  x 1   y  0    y   x  0  Vậy x 1, y  thỏa mãn yêu cầu toán Bài (2,5 điểm) c) Tìm số dư phép chia  x    x  3  x    x    2020 cho x  x  Ta có : P  x    x  3  x    x  5  2020   x    x      x  3  x     2020  x  x  10   x  x  12   2020 Đặt a x  x  Khi ta có : P  a    a    2020 a  12a  35  2020 a  a  12   2055 Suy P chia a dư 2055 Vậy  x    x  3  x    x    2020 chia cho x  x  dư 2055 d) Cho x  x 1 Tính giá trị biểu thức A x  3x  3x  3x  x  x  Với x  x 1 , ta có : A x  3x  x  3x  x  x   A  x  x    x  x    x  x    x  x   x   A  x  x   x  x  x  x   x   A  x  x  x  x  x  (do x  x 1)  A  x  x  x  x  x  x  3x   x  x   x  x  3  x   x  x   x   x  x  10 10  11 Vậy với x  x 1 A 11 Bài (2,0 điểm) 1 x  y  z    0 x y z c) Cho x, y, z số khác x6  y6  z  xyz 3 Chứng minh x  y  z 1   0  xy  yz  zx 0  x y  y z  x z 3x y z Vì x y z 3 Mặt khác x  y  z 0  x  y  z 3xyz Ta có : x VT   y  z    x3 y  y z  x z  x2 y z  x2 y z 3x2 y z   xyz VP x3  y  z 3xyz 3xyz d) Tính giá trị nhỏ biểu thức: A  x  x  x  12 x  75  Ta có : A  x  x  x     x  x    63 x2  x  2   x  2 x ( x  2) 0 x  2   x  x     x    63 0 x Vì  x   0 x    x 0  x 0    x 2    x 2  x 2  Dấu xảy Vậy Min A 63  x 2 Bài (3,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có hai đường chéo cắt O Lấy điểm M tùy ý đoạn thẳng BO Gọi N điểm đối xứng C qua M N F A B E M O D C d) Tứ giác ANBD hình ? Vì ? Xét ANC có OM đường trung bình tam giác  OM / / AN hay AN / / BD Vậy ANBD hình thang e) Gọi E , F chân đường vng góc hạ từ N xuống AB, AD Chứng minh EF / / AC Vì AN / / BD nên A1 D2 (đồng vị ) (1) Vì ABCD hình chữ nhật nên ODA cân O  A4 D2   Vì FNDA hình chữ nhật nên A1 F1  3 Từ (1), (2), (3) suy A4 F1 mà chúng hai góc đồng vị nên EF / / AC f) Chứng minh E , F , M thẳng hàng Xét ANC có O ' M đường trung bình tam giác nên O ' M / / AC Ta có qua O’ có hai đường thẳng O ' M O ' E song song với AC  O ', M , E thẳng hàng Mà O '; E ; F thẳng hàng Suy E , F , M thẳng hàng