170 đề hsg toán 8 cấp huyện

ĐỀ THI Bài (3đ) a) Phân tích đa thức x  x  x  thành nhân tử b) Tìm giá trị nguyên x để AB biết A 10 x  x  B 2 x  x y 2( x  y )   2 0 c) Cho x  y 1 xy 0 Chứng minh : y  x  x y  3 Bài (3đ) Giải phương trình sau a )  x  x    x  x  12 b) x 1 x  x  x  x  x       2008 2007 2006 2005 2004 2003 Bài (2đ) Cho hình vng ABCD Trên tia đối tia BA lấy điểm E, tia đối tia CB lấy F cho AE = CF a) Chứng minh EDF vuông cân b) Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD Gọi I trung điểm EF Chứng minh O, I, C thẳng hàng Bài 4(2đ) Cho tam giác ABC vuông cân A Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển AB, AC cho BD = AE Xác định vị trí điểm D, E cho a) DE có độ dài nhỏ b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CẤP HUYỆN Bài a) x3  x  x  x3  x  x  x  x  x  x2  x  4   x2  x  4  x  1  x   A 10 x  x   5 x   2x  2x  b) Xét B     x  3 Với x  thì AB x  Mà Ư (7)   1;1; 7;  7 nên x  5;  2; 2;1 AB c) Biến đổi: x4  y4    x  y   x y x4  x  y4  y    y  x   y  1  x3  1 xy  y  y  1  x  x  1 (do x  y 1  y   x x   y )   x  y   x  y   x2  y    x  y  xy  x y  y x  y yx  xy  y  x  x  1   x  y   x  y  1 xy  x y  xy ( x  y )  x  y  xy    x  y   x  x  y  y   x  y   x  x  1  y  y  1   x  y   x   y   y   x      xy  x y  3 xy  x y  3 xy  x y   x  y      xy   xy   2( x  y )   xy  x y  3 x2 y2  Suy điều phải chứng minh Bài a) x 2  x    x  x  12 đặt y  x  x  y  y  12 0  y  y  y  12 0  y    y    y   0    y 2 x  x  vô nghiệm x  x   với x  x  x  x 2  x  x  0    x 1 Vậy S   2;1 x 1 x  x  x  x  x       b) 2008 2007 2006 2005 2004 2003  x 1   x    x    x    x    x     1    1    1   1    1    1  2008   2007   2006   2005   2004   2003  x  2009 x  2009 x  2009 x  2009 x  2009 x  2009       2008 2007 2006 2005 2004 2003 1 1     x  2009         0  2008 2007 2006 2005 2004 2003  1 1 1      0  x  2009 Vì 2008 2007 2006 2005 2004 2003 Bài E I B C F O A D a) Chứng minh EDF vng cân Ta có ADE CDF (c.g.c)  EDF cân D   Mặt khác ADE CDF (c.g.c)  BED BFD        Mà BED  DEF  BFE 90  BFD  DEF  BFE 90  EDF 90 Vậy EDF vuông cân b) Chứng minh O, C, I thẳng hàng Theo tính chất đường chéo hình vng  CO trung trực BD  DI  EF Mà EDF vuông cân BI  EF  DI BI Tương tự  I thuộc đường trung trực DB, nên I thuộc đường thẳng CO Hay O, C, I thẳng hàng Bài B D A C E a) DE có độ dài nhỏ Đặt AB = AC = a không đổi ; AE BD x (0  x  a) Áp dụng định lý Pytago với ADE vuông A có: DE  AD  AE  a  x   x 2 x  2ax  a 2  x  ax   a 2  a2  a2 a2 2  x      2  a a  x   BD  AE  2 Ta có DE nhỏ  DE nhỏ Nên D, E trung điểm AB, AC b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ 1 1 S ADE  AD AE  AD.BD  AD  AB  AD    AD  AB.AD  2 2 Ta có:  1 AB AB  AB 2 AD  AD    2  1 AB  AB AB   AD     2  Vậy S BDEC S ABC  S ADE  AB AB   AB 2 8 không đổi S BDEC  AB Do D,E trung điểm AB, AC