130 đề hsg toán 8 cẩm thủy 2013 2014

PHỊNG GD&ĐT CẨM THỦY ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2013-2014 Mơn thi: Tốn Ngày thi: 15 tháng năm 2014 Câu (5,0 điểm) Cho biểu thức  x 1 x2  x  x2  P :    x  2x 1  x x x  a) Tìm điều kiện xác định rút gọn P 1 b) Tìm x để P= c) Tìm giá trị nhỏ P x  Câu (6 điểm) a) Tìm đa thức f ( x) biết rằng: f ( x) chia cho x  dư 10, f ( x ) chia cho x  dư 22, f ( x ) chia cho x  thương  5x dư b) Chứng minh với số nguyên a a  5a chia hết cho c) Giải phương trình nghiệm nguyên: x  xy  2012 x  2013 y  2014 0 Câu (3,0 điểm) a) Cho a  b  c 0 abc 0, tính giá trị biểu thức: P 1   b2  c2  a a  c  b2 a  b2  c2 b) Cho số a b thỏa mãn a 1; b 1 Chứng minh: 1   2  a  b  ab Câu (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD có AC cắt BD O M điểm thuộc cạnh BC  M B, C  Tia AM cắt đường thẳng CD N Trên cạnh AB lấy điểm E cho BE CM a) Chứng minh : OEM vuông cân b) Chứng minh: ME / / BN c) Từ C kẻ CH  BN  H  BN  Chứng minh ba điểm O, M , H thẳng hàng ĐÁP ÁN Câu a) ĐKXĐ: x 0; x 1; x  x  x  1   x  1  x  1 x  x2  P :     x  x  1 x  x  1   x  1  x  x  1  x  x  1 x   x   x x  x  1 x 1 :  : 2 x  x  1  x  1  x  1 x  x  1 x  x  1 x  x  1 x2    x  1 x  x  1 x2 1 P  P  x  với x  ĐKXĐ b)  x  x   x  x  0  x  (TM )   x  1  x  1 0     x  1( KTM ) 1 P   x  2 Vậy c) x2 x    x  1  x  1  1 P   x   x x x x 1 P x   x   2 x x 1 x  1 2  x  1 2 x  x  x  x   Vì nên Áp dụng BĐT Cosi ta có:  x  1   x  1 1  x  1  x 2(TM ) x Dấu “=” xảy Vậy GTNN P  x 2 Câu 2 a) Giả sử f ( x ) chia cho x  thương  5x dư ax  b f ( x)  x     x   ax  b Khi đó: Theo đề bài, ta có:  f (2) 22 2a  b 22     f (  2) 10  2a  b 10 Do đó: b) a 3  b 16 f ( x)  x     x   x  16 Vậy đa thức f ( x) cần tìm có dạng: f ( x)  x  23x  16 a  5a a3  a  6a a  a  1  6a a  a  1  a  1  6a Vì a (a  1)(a  1) tích số ngun liên tiếp nên có số chia hết cho 2, số chia hết cho mà  2,3 1 nên a  a  1  a  1 chia hết cho 6a chia hết cho Nên a  5a chia hết cho c) x  xy  2012 x  2013 y  2014 0  x  xy  x  2013x  2013 y  2013 1  x  x  y  1  2013  x  y  1 1   x  2013  x  y  1 1   x  2013 1   x  y  1     x  2013     x  y     x 2014    y  2014   x 2012    y  2014 Câu a) 1   2 2 b c  a a c  b a  b2  c2 1    2 2 2 b  c   b  c a  c   a  c a  b   a  b P 1 a b c    0  2ab  2ac  2ab  2abc 1   1           2 2 b)  a  b  ab   a  ab    b  ab    ab  a ab  b    a    ab    b2    ab   b  a   a  ab  b  a 2b  b  a   ab  1       a    b2    ab    a    b2    ab    a    b2    ab   b  a   ab  1 0  a    b    ab   a  1; b  Do nên a(b  a)(1  b )  b  a  b    a   1 1        a  b  ab  a  b  ab Câu E A B O M H D C N a) Xét OEB OMC Vì ABCD hình vng nên ta có: OB=OC   Và B1 C1 45 , BE CM ( gt )  OEB OMC  c.g.c     OE OM O1 O3    Lại có: O2  O3 BOC 90 tứ giác ABCD hình vng  O  EOM  O 900 kết hợp với OE OM  OEM vuông cân O b) Từ giả thiết tứ giác ABCD hình vng  AB / / CD AB = CD AM BM  MN MC (định lý Ta let) (*) +) Mà BE CM ( gt ) AB Cd  AE BM thay vào  * AM AE   ME / / BN MN EB Ta có: (Ta let đảo) c) Gọi H ' giao điểm OM BN   Từ ME / / BN  OME OH ' E (cặp góc so le trong)  Mà OME 45 OEM vuông cân O  ' B 450 C   OMC BMH '( g.g )  MH AB / / CD  AB / /CN  OM MH '  ,   OB MC kết hợp OMB CMH ' (hai góc đối đỉnh)   ' C 450  OMB CMH '(c.g.c)  OBM MH  ' C BH  ' M  MH  'C 900  CH '  BN BH  Vậy Mà CH  BN  H  BN   H H ' hay điểm O, M , H thẳng hàng (đpcm)