Chương 2 hằng đẳng thức

CHƯƠNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ VÀ ỨNG DỤNG Bài HIỆU HAI BÌNH PHƯƠNG, BÌNH PHƯƠNG CỦA MỘT TỔNG HAY MỘT HIỆU I LÝ THUYẾT 1) Hằng đẳng thức a a  b  a a  b  a  ab Ví dụ 1: Khi thực phép nhân  ta  a a  b  a  ab Như đẳng thức  đẳng thức thay a, b giá trị khác hai vế đẳng thức nhận giá trị Kết luận:  Hằng đẳng thức đẳng thức mà hai vế nhận giá trị thay chữ đẳng thức số tùy ý 2) Hiệu hai bình phương a  b  a  b a  b   a  b  a  b Ví dụ 2: Thực phép nhân  ta  a  b  a  b   a  b  Như gọi hẳng đẳng thức hiệu hai bình phương Tổng quát: A2  B  A  B   A  B   Với A, B hai biểu thức tùy ý ta có 502  482  50  48   50  48  2.98 196 Ví dụ 3: Tính nhanh x  25 y  x  y   x  y  Ví dụ 4: Viết thành tích 3) Bình phương tổng a  b   a  b   a  b  a  2ab  b  Ví dụ 5: Khi ta thức phép tính a  b  a  2ab  b  Như gọi hẳng đẳng thức bình phương tổng Tổng quát: A  B   A2  AB  B  Với A, B hai biểu thức tùy ý ta có  2 x  y  4 x  2.6 xy  y 4 x  12 xy  y  Ví dụ 6: Tính nhanh Ví dụ 7: Viết gọn x  12 x  thành bình phương tổng x  12 x   x   2.3 x.2  2  x   4) Bình phương hiệu a  b   a  b   a  b  a   Ví dụ 8: Khi ta thực phép tính a  b  a   Như  x  1 Ví dụ 9: Tính nhanh 2ab  b 2ab  b gọi đẳng thức bình phương hiệu 4 x  2.2 x  4 x  x  2 Ví dụ 10: Viết gọn x  24 xy  16 y thành bình phương hiệu 2 x  24 xy  16 y  x   2.3 x.4 y   y   x  y  II BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Triển khai biểu thức sau theo đẳng thức 1)  x  1 2) 5)  x  1 9)  x  2y2 6)  x  3 x  5y 7)  x 1 18)  2x  3y  22)  x  1 x  2y 2 8)  3x   12)  2x  y  2 2x  y   16) 2 x  y  19)  4x  y  23) 4)  x  5 2 2x  3y   15) 2   x 11)  2x  3y   14) 2 3) 10)  3x  y   13)  x  9 17)  x  2y  21)   x 2  3x  y  20)  4x  y  24) 2 Bài 2: Triển khai biểu thức sau theo đẳng thức 1) x  4)  25x 7)  3x   2)  4x 5) x  25 y2 8) x2   y  10)  3x   y 13)  x  1  x  1 14)  x  1  x  1 11) 3) x  6) x  36 9) 16x  y   12)  2x   y2 x4  y   x  5  x  5 15)    17)   3   x   x    2 20)  x  2y 2y  x  18)   x y  x y       21)      x  x       22)  y   y   x y  y x       23)         2x     2x    24)  3    2x     2x  5  25)    1  x    x   26)   2 y  2 y   x   x    2 27)  16)  1   19)  x   5   5  x  2  3x  y  3x  y  28) x 29) x  6   x  5x  y y  5x   y x2  y   x 30)  y x2  y   Bài 3: Rút gọn biểu thức sau: 1)  x  1   x  1 4)  3x  y  2 7) x   x  y x  1 10)  2) 4y   x  4y 2    x  1   x  1   x  1   x     x  3 8)    x  3   x  3 2 11)   x  y    2x  y  14) 3)  x  2y2   x  6)  3x     3x  1 9)   x  3   x  3 12)   x  1   x  1 15)   x      x  3 5) 2 x      x  3 13)  Bài 4: Thực phép tính 2   2x  y    x  3y  2 2y 2 2 1) x   x    x  1 2)  x  3  x  10 x  3)  x  2   x  3  x  1 4) 5)  x     x  1  x  5 6)  x    x     x  3  x  3  x  3  x  23  x  7)   x    3x     x  8)  x    x     x  3  x  1 9)  x  1   x    x    11)  2 4x x     x    x    x  x  1 x  1   x  3  x  3  x  x    13) 10)  x     x  3  x  3  10 12)  x  1   x    x     x  3 14) 2  y  3  y  3  y     y   y   Bài 5: Thu gọn đẳng thức: 1) x  x  4)  10 x  25 x 2) x  12 x  5) x  81  18 x 3) 36  x  12 x 6) x  20 x  25 2 7) x  y  xy 8) x  10 xy  25 y Bài 6: Thu gọn đẳng thức: 1)  x  1   x  1  3)  x  3   x     x    x   5)  x  y 2 1) 2) 3) 4)  3x  4)  3x  5   3x    3x  5   3x  5 6)   x    x  5   x  10   x   x     x  1   x      x  7)  Bài 7: Tính 2)   x  y  2 x  y   x  y  2 9) y  24 xy  16 x 8) y    3x  y    2x  3y    2x  3y   x2  y   A 8 32  34  316       B   3   1   1  1   1 C   1   1   1  1   1 D 15   1  1   1 E 24   1  1  1   1   4 16 16 64 128 5) Bài 8: Tính giá trị biểu thức sau 256  1 A  x  3   x  1  x x 201 x B  x     x  3  x  3 20 2) 1) 2 3) C x  xy  16 y x  y 5 2 4) D 9 x  1620  12 xy  y x  y 20 Bài 9: Tìm x biết 1) x  0 4) x  0 7) 2) 25  x 0 5) x  36 0  3x  1  16 0 x  3   10) 8)  x  3  49 0 5x  4   11) x 45 3)  x  36 0 6) x  36 0 9)  x  5  12) 16  x  1  25 0 3)  3x     x  1 0 6)  x  3   x  5 0 9)  x  1   x  1 0 x 0 49 x 0 Bài 10: Tìm x biết 1)  x  3   x  1 0 4)  x     x  5 0  3x   2)  x  1   x  1 0 5)  3x  1   x  5 0   x   0 7) Bài 11: Tìm x biết 8)  x  1 2    x  0 1)  x  1   x  1 0 2)  x    x  x  3 2 3)  x  5  x  x   5 4)  x  1  x   x  11 5)  x  3  x  3  x   2 7)  3x  1 9)  x     x    x   0 6)  x  x   25 8)  x  1  x  x  1 17  3x    3x     x  1 x 0 10)  x     3x    3x   0  11)  x  1   x     x   25 13) Bài 12: Tìm x, y biết x     x  3  x  3  x  3   x    x   4 x  17  12) 2 x  3   x   2 x  14) 2 1) x  y  y  13 6 x 2 2) x  y  17 2 x  y 2 3) x  y  45 12 y  x 2 4) x  y  4 x  y 2 5) x  y  26  y 30 x 2 6) x  y  20 12 x  y 2 7) x  49 y   14 y 4 x Bài 13: Chứng minh với x 1) A x  x   4) A x  x  10  2 8) 16 x  25 y  13 20 y  24 x 2) B x  x   5) B x  x  20  2 7) A x  x  10  8) B 9 x  x   Bài 14: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau 3) C x  x   6) C x  x  17  9) C 2 x  x  15  1) A x  x  3) C x  x  2) B x  x  4) D x  x  5) E x  x  2 7) G 3  x  3x 6) F x  3x  8) H 3x   x 9) I 4 x  x  M  x  x   11    11) Bài 15: Tìm giá trị lớn biểu thức sau 10) K 4 x  3x  2 12) N  x  3   x   1) A 4 x  x  3) C 8  x  x 2) B 3  x  x 4) D   x  x 5) E  10  x  x 7) G   x  x 6) F  x  13x  8) H  x  12 x 9) I 3x  x  11) M 2 x  x  Bài 16: Tìm giá trị lớn biểu thức sau 10) K 7  x  x 12) N  x  x  1) A  3x  12 x  3) C 9 x   x 2) B 9  x  x 4) D 2 x   x 5) E 7 x  x  7) G 15  x  x 6) F 2  x  x 8) H 10 x  x  9) I 11  x  10 x Bài 17: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau 2 1) A x  x  y  y  C 2  x  y   x  y  3) 2 5) E 2 x  xy  x  y 2 10) K  3x  x  12 2) B 7  x  y   x  y  2 4) D x  x  y  y  10 2 6) F x  y  xy   y 7) G x  x  y  y  Bài 18: Tìm giá trị lớn biểu thức sau 2 1) A  x  x  y  y 2 2) B 1  x  y  xy  x 2 3) C  x  x  y  y  E  x  y   x  y   5) 2 4) D  x  x  y  y  2 6)  F x  xy  y  y  Bài LẬP PHƯƠNG CỦA MỘT TỔNG HAY MỘT HIỆU I LÝ THUYẾT 1) Lập phương tổng Ví dụ 1: Khi tính  a  b   a  b   a  b  a3  3a 2b  3ab  b3 a  b  a3  3a 2b  3ab  b3  Đẳng thức gọi đẳng thức lập phương tổng Ví dụ 2: Khai triển theo đẳng thức Ví dụ 3: Thu gọn Kết luận:  x   x3  3.x 2  3.x.4  x3  x  12 x  x  12 x  48 x  64 x3  3.x  3.x.42  43  x    Với hai biểu thức A B 3 A  B   A3  A2 B  AB  B  tùy ý, ta có  Hằng đẳng thức cịn viết dạng 2) Lập phương hiệu  A  B   A3  B3  AB  A  B  a  b   a  b   a  b  a  3a 2b  3ab  b  Ví dụ 4: Khi tính Đẳng thức hiệu  a  b  a3  3a 2b  3ab2  b3 gọi đẳng thức lập phương x  3 x3  3.x  3.x.9   Ví dụ 5: Khai triển theo đẳng thức Ví dụ 6: Thu gọn Kết luận: x3  x  12 x  x3  3.x 2  3.x.4  23  x   27 x  x  27 x  27 3 A  B   A3  A2 B  AB  B  Với hai biểu thức A B tùy ý, ta có  A  B   A3   Hằng đẳng thức viết dạng  II BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Triển khai biểu thức sau theo đẳng thức: 1)  x  3 2) 5)  x  1 9)  x  2y3 2x  3y   13) 6) 1 x  3x   3) 7)   x3  x  3 B  AB  A  B  4)  x  3 8)  3x  1 3 2x  y   10) 3x  y   11) 3x  y   14) 3x  15)  2y x  3y  12) 3 4x  y   16) Bài 2: Viết gọn lại thành lập phương tổng hiệu 1) x  3x  3x  4) x  x  12 x  2) x  x  x  5) x  x  27 x  27 3 2 7) x  12 x  x  8) x  3x y  3xy  y Bài 3: Rút gọn biểu thức sau 3) x  x  12 x  6)  x  x  27 x  27 2 9) x  x y  12 xy  y 1) 4)  x  2   x  2  x  2y   x  2y  x  3  2) x  x  1 1) 3) 5)  x  1   x    x     x  2  y  x 8)  3x  1  x3  x  x    x    x  x  3  x  3y   x  2y  2y  x 3 1) A x  3x  3x  1012 x 11 3) C x  x  27 x  2027 x  23 Bài 6: Tìm x biết 1) x  12 x  x  0 5) x  x  16 5   x   x  1   2x  y  3)   x    x  3 6)  2x  y    y  x 9)  x  1  x  x  1 27 x  x  1 2)  x    x  x  3  x  3  12 x  4) x  x    x     x    100 x 6)  x 8)  x  x  y    x  y   y2  y  2x  x  y   x  2x  y   y3 7)  Bài 5: Tính giá trị biểu thức 3) 5) 7) Bài 4: Rút gọn biểu thức sau  x  1   x  1 3 y  x y  x  x  y 3 2) B x  x  12 x  108 x 12 2 4) D x  x y  12 xy  y x  y 2) x  x  12 x  27 4)   x  6 x  x   6)   x    x  3 36 x  54 x   x  1   x  1  10 Bài TỔNG VÀ HIỆU HAI LẬP PHƯƠNG I LÝ THUYẾT 1) Tổng hai lập phương 2 Ví dụ 1: Khi ta tính tích a  b với a  ab  b ta Đẳng thức Tổng quát: a  b3  a  b  a  ab  b   a  b   a  ab  b  a  b3  gọi hẳng đẳng thức tổng hai lập phương A3  B3  A  B  A2  AB  B A , B  Với hai biểu thức tùy ý, ta có   2  Biểu thức A  AB  B cịn gọi bình phương thiếu hiệu Ví dụ 2: Khai triển theo đẳng thức 2) Hiệu hai lập phương x3  x3  23  x   x  x   2 Ví dụ 3: Khi ta tính tích a  b với a  ab  b ta Đẳng thức Tổng quát: a  b3  a  b  a  ab  b    a  b   a  ab  b2  a3  b3  gọi đẳng thức hiệu hai lập phương A3  B3  A  B  A2  AB  B A , B  Với hai biểu thức tùy ý, ta có   2  Biểu thức A  AB  B cịn gọi bình phương thiếu tổng Ví dụ 4: Khai triển theo đẳng thức II BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Khai triển theo đẳng thức x3   x  1 x  x    1) x  2) x  3) x  4) x  27 3 5) x  y 9)  8x 3 6) x  y 3 7) x  y 11)  8x 3 8) x  y 12) 27 x  10)  27 y Bài 2: Viết thành vế đẳng thức 1)  x  1  x  4)  x  2  x2  x  4 7)  x  5  x x 10)   x 1  x  25   x  3x  2)  x  1  x  x  1 5)  x  3  x  x   8)   x  1  x x 11)    2x 1  x  2x   3)  x  2  x2  x  4 6)  x    x  x  16  9)  3x    x2  x   x 12)  x  x3    Bài 3: Viết thành vế đẳng thức 1)  x  y   x  xy  y  3)  x  y   x  3xy  y  2)  x  y   x  xy  y  4)  3x  y   x  3xy  y  5)  x  y   x  xy  y   x  y   16 x2  y  12 xy  7) Bài 4: Thực phép tính 1)  x  1  x  3)     x  5  x  x  25    x    x  5  x  x  25   x  x    16 x  x    x  x    x  x  1  x  1  x  1  x  x  1  x  1  x  x  1 x  x  1   x   x  x  2) 4) 2 5) 8)  3x  y   x  16 y  12 xy  x   x3  6)  3x  y   x  xy  y  6)   x  2 x2  x   x  x    x  4  8) 9) Bài 5: Thực phép tính: 10)   x  2  x2  2x  4  x  2  x2  2x  4 1)   x  2   2x  4  x2  2x  4  2)  x  1   x    x  x     x    x   3)  x  y   x2  4)  x  y   x  3xy  y    3x  y   x  3xy  y  x2  x  6 xy  y   x  y  x  xy  y    x  2  x2  2x  4    x    x  x2  7)    A  x  1 x  x   x  Bài 6: Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A    b) Tính giá trị biểu thức A x  1 A  x  y  x  3xy  y  y  x  y   x  y   x  3xy  x     Bài 7: Cho biểu thức a) Chứng minh biểu thức A không phụ thuộc vào giá trị biến y b) Tính giá trị biểu thức A x  A  x  y  x  xy  y  y  x  y   x  y   x  3xy  x     Bài 8: Cho biểu thức a) Chứng minh biểu thức A không phụ thuộc vào giá trị biến y b) Tính giá trị biểu thức A x  Bài 9: Tìm x biết: 1) 3) 5)  x  1  x  x  1  x  x     x  5  x  1  x  x  1    x  3  x  x   x  x    x   21 2)  x  1  x  x  1  x  x   17 4)  x  3  x  x    x  x    3x   x  2    10