Sách một số chủ đề hình học phẳng thầy Trần Quang Hùng, sách ôn thi học sinh giỏi Quốc gia phần hình học, ôn thi chuyên toán, tài liệu dạy đội tuyển trường Trung học Phổ Thông Chuyên Khoa Học Tự Nhiên
Trang 1n KHTN 5 § 234 Trần Quang Hùng - THPT chuyê CHỨNG MINH Gọi XL cắt ƠA, AB lần lượt tại Œ, H Dựa vào định ly Thales, ta cĩ biến đổi tỉ số PK PK PH PG_CD BD BC _ PL PH PG PL CB CD BD suy ra P là trung diém KL n 1; Cc
Quay lại bài tốn của ta Qua P kẻ đường thẳng song song BƠ cắt DE, DF lần
ia e : ann mệnh đề trên, P là trung điểm KL Goi PD giao MN tai J,
Trang 2Chương 2
Phương tích và trục đẳng phương
1 Lí thuyết cơ sở
1.1 Phương tích
Định nghĩa 1 Cho đường trịn (O, R) và điểm P bất kì Phương tích của điểm
? đơi với (O, R) là một số được kí hiệu và định nghĩa là ?p/(o) = OP? — Rề
Như vậy phương tích đặc trưng cho vị trí tương đối của điểm đối với đường trịn,
mà cụ thể là
* Peyo) = OP? — R? > 0 khi và chỉ khi P nằm ngồi đường trịn * Ppyo) = OP? — R? = 0 khi va chi khi P nằm trên đường trịn * Ppyo) = OP? — R? <0 khi và chỉ khi P nằm trong đường trịn
Các tính chất sau cho ta các cách tính phương tích khác nhau
Tính chất 2 Œho đường trờn (Ĩ) à P ở ngồi (O) Qua P vẽ tiếp tuyến PT
của (O) thi ?P/(o) = PT"
Hệ quả 3 Cho diém P,B,C thẳng hang va điểm A hi đĩ PA tiếp xúc đường
trịn ngoại tiếp tam giác ABC khi va chi khi PA? = PB PC
Tinh chat 4 Cho đường tron (O) ud P bat ki Qua P vẽ cát tuyén P, M,N ctia (O) thi Ppyo) = PM - PN Hé qua 5 Cho hai dudng thang AB va CD cét nhau lại i P Khi đĩ bốn điểm
4, B,C,D cùng thuộc một đường trịn khi uà chỉ khi PÄ PB = PC PD
Tinh chat 6 Cho đường trịn đường kính AB tà P là điểm bắt kà Khi đĩ
Trang 3Trần Quang Hùng ~ THPT chuyên KHTN
: i
4m dang phuong
đồng tam, tập hợp các điểm cĩ cùng
hang vuơng gĩc với đường nối đẳng phương của hai đường 1.2 Trục đẳng phương va t
ịn khơng = ¿2y ni: ÊP
Định nghĩa 7 Cho hai đường ' khơng cae phương tích với cả hai đường tron đĩ là một Tin tâm hai đường trịn, đường thẳng này được 891 1 tron do
Ta cĩ một số hệ quả
cùng phương tích uới hai đường trờn thì đường
Hệ qua 8 Néu hai điểm A, B cĩ i
íng phương của hai đường tron thẳng AB là trục đăng P
Hệ quả 9 Nếu ba điểm cĩ cùng phương tích đối voi hai dudng tron thi ba diémds
thang hang
Hệ quả 10 Nếu điển A cĩ cùng phương tích uới hai đường tron thì đường
thẳng qua A uuơng gĩc uới đường nối tâm hai đường trịn đĩ chính là trục đăng phương của chúng
Bình luận Khái niệm trục đẳng phương khơng chỉ đúng với hai đường trịn bán kính lớn hơn 0 mà cịn đúng với một điểm và đường trịn, ở đây ta coi điểm là đường trịn cĩ bán kính bằng khơng Do đĩ các định lí ta xét ở trên vẫn đúng với khái
niệm trục đẳng phương của các đường trịn điểm, tính chất này dẫn đến nhiều hệ
quả thú vị
Định nghĩa 11 Nếu ba đường trịn bất kì cĩ tâm khơng thẳng hàng thì ba
trục đẳng phương của từng cặp đường trịn đồng quy tại một điểm Điểm này được gọi là tâm đẳng phương của ba đường trịn này
1.3 Các tính chất ứng dụng
Trong thực hành khi cần xác định trục đẳng phương ta sử dụng các tính chất sau Tính chất 12 Nếu hai dường trịn cắt nhau tại AB thì đường thẳng AB chính là
trục đăng phương của hai đường trịn đĩ
Tính chất 13 Nếu hai đường trịn tiếp xúc nhau tại A thì tiếp tuyến chung tại
A là trục đăng phương của hai đường trờn đĩ
Tính chất 14 Với hơi đường trịn ngồi nhau cĩ AA',BP' là hai tiếp tuyến
chưng ngồi, đường nối trung điểm của AA' uà BB' là trục đẳng phương của hai
Trang 4Tran Quang Hùng - THPT chuyên KHTN
=
Binh lugn Các tính chất trên vẫn đúng khi đường trịn (O) suy biến thành một
điềm Khi đĩ trục đẳng phương của đường trịn điểm O và (O’) chính là đường
thăng nối trung điểm hai đoạn tiếp tuyến vẽ từ Ĩ đến (Ø')
2 Ví dụ
Vi du 1 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường trịn (O) cố định, B,C cố
định uà A di chuyển trên (O) D là trưng điểm BƠ Tiếp tuyến tại A của (O) cắt
BC tai E Đường trịn ngoại tiếp tam giác ADE cất (O) tại F khác A Chứng minh + rang AF luén di qua điểm cố dinh khi A di chuyển
(Viét Nam, 2014)
Ti
LỜI GIẢI Do ZEAO = ZEDO = 90° nên dễ thấy Ĩ nằm trên đường trịn ngoại
tiếp tam giác ADE Gọi AF' cắt OD tại T Ta cĩ
TD -TO =TF-TA = Pryo) = OT? — OC?,
suy ra ase
Trang 5Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHIN |
Từ đĩ đễ suy ra OC L TC way T cố định Tà cĩ điều phải chứng mình q Vĩ dụ 2 Cho A là mệt điển thuậc đường trin (O) oo dink d li mgt
thăng cĩ Èính vả B cĩ định thuậc d P là một điểm dĩ chuyên trên d Đường tàn (K} ngoại tiếp tam giác ABP cất (O) tại Q khác A AQ cất d tai M AP ait (0 0} tại N khác A Chứng mảnh rằng M N luơn ổi qua một điểm cổ định khả P dì chuyên
(Trần Quang Hing}
LờI GIẢI Gọi ÄAƒ cắt (Ĩ) tại Œ khác N Gọi ŒB cắt O D
tính chất phương tích ta cĩ (Ĩ) tại D khác Ơ Theo
MC - MN = MQ- MÃ = MB MP
Từ đĩ bốn điểm Ư, P,N,€ thuộc một đường trịn Ta cĩ biến đổi gốc cĩ hướng
(AD, d) = (AD, AN) + (AN, @) (CD, CN) + (PN, PB)
Trang 6Trần Quang Hùng ~ THPT chuyên KHTN
2
` ss, AD || d, dan ti D of định, mà- cé dinh nén C cé dinh Vay MN di qua
C cơ định Hà, ` Q
Xí dụ 3 Cho tem giác ABC dudng cao AD,BE,CF DE,DF lan lượt cất
CE.BE tại N, M Chứng mảnh rằng đường thẳng qua A tuơng gĩc tới MỊN đi qua tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác BHC
LỠI GIẢI Do đối xứng của H qua BƠ nằm trên đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC nên đường trịn ngoại tiếp tam giác BHƠ và đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC d6i xing nhau qua BC Từ đĩ tâm K đường trịn ngoại tiếp tam gidec HBC đối xứng O qua BƠ Cũng từ đĩ dễ thấy AK di qua trung điểm L của O#ï cũng là
tâm đường tron Euler di qua D, E, F Goi (K) va (L) lần lượt là đường trịn ngoại
tiếp tam giác HBC va DEF Ta thay cdc tit giác FHDB, EHDC nội tiếp, suy ra PM/(K) = MH MB = MF ‘9 MD = Puyo):
Do đĩ, M thuộc trục đẳng phương của (X) và (L) Tương tự, W thuộc trục đẳng phương của (K) và (1L) nên MN L KL= AL Vậy đường thẳng qua A vuơng gĩc
Trang 7g Hing - THPT chuyén KHTIN Trần Quan Ví dụ 4 Cho tam giác AB, phân giác BECF, tâm minh rang OI, L EF ngoại tiếp O, tâm đường trịn bàng tiếp gĩc A là lạ Chứng ST LỜI GIẢI Gọi 7 là tâm đường trịn nội tiếp ae ! ong t ội tiêp và tâm và tâ các đườ ịn bà ; Sh le nto i ag
Dierks cathe Lh wong trịn (O) ngoại le ia am giác I„I„I Từ đĩ áp dụng Ví dụ 3 ch tiếp tam giác ABC ping id #p, duifng tein
phải chứng minh CÁO BÀ 2126242222122 22
Bình luận Việc chuyển qua xét một bài tốn áp 4 ]
sâm đường bền bàng tiếp là việc làm rất hay TT Tin giác tạo bởi ba
Trang 8‘Tran Quang Hùng - THPT chuyên KHTN 31- BE BK = ac, —_= suy ra I BK = et a+b+e Tuong tu, ta duge JE- BK =IF- CL, suy ra BK _IF CL TE
Gọi 1„B, IoC ct (0) lan lượt tại 8,T Vì 1B L 1,B,IC L IẠC nên SK,LT Ia
đường kính của (0) Gọi P,(Q là trung điểm của PS,CT Theo tính chất đường
Trang 9Tein Quang Hàng - THPT chuyên KETY -
0Q 2L IE
Mặt khéc, ta dé théy ZFIE = ZPOQ, rút ra bai tam giác OPQ va IFE ding
dang Digu nay dan dén ZIFE = ZOPQ = ZO1.Q, ma IF 1 [,Q nén FE 1 1,0
Đĩ là điều phai chimg minh Q
Vi du 5 Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O), phân giác AD, BE, CF
đồng quy tại I AI, BI, Cũ lần lượt cất (O) tại X,Y, Z khác A, B, C Got K,L,N
các điểm lần lượt chia IX, IY, IZ càng một tỉ số Chứng mình rồng các đường
thống qua K,L,N lần lượt vuơng gĩc véi EF, FD, DE déng quy trén OI
(Tran Quang Hing)
1
D l ấp Tả L
thắng qua K vuơng gĩc EF cắt OI tại J Goi
LH 6m giác ABƠ Theo Ví dụ 104 thì J„O ¡ pm.“ là tâm bàng a Chú ý X là trung diém 11,, va gid sit K chia 1X tỉ số lv bệ: dẫn tới
/ › tức là
Trang 10Tran Quang Hing ~- THPT chuyén KHTN Do đĩ, theo định lí Thales, ta cĩ ala Ia mi 5 2 1
Từ đĩ, J xác định trên OJ, Tương tự các đường thẳng qua L, N lan lugt vuơng gĩc
véi FD, DE cling di qua J trén Ol Q
Vi du 6 Cho tam CA,AB sao cho E (K) qua E,F' tiếp
giác ABC nội tiếp dudng tron (O) cĩ E,F' lần lượt thuộc ;
F || BC BE giao CF tại G D déi xing A qua EF Duéng tron wtic (O) tai L khác A Chứng minh rằng L„ D, Œ thẳng hang
; (Tran Quang Hing)
LỜI GIẢI Trước tiên, ta chứng minh mệnh đề sau
Mệnh đề 15 Cho tam giée ABC nội tiếp đường trịn (O) cĩ E, F lan luot thuộc CA, AB sao cho EF || BƠ D đối xứng A qua EF Đường thẳng qua A song
song BC cắt (O) tại H khác A Chứng minh rằng DH, BE,CF đồng quy:
CHỨNG MINH Gọi M là trung điểm của BƠ Gọi DH cất AM tại Œ Ta sẽ chứng minh rang G thuédc BE va CF
Trang 11GA AH AH a eat Bek ee 1 KL 1 DK _ ae + PI oe +e FB a-gtay 9" pa 2 Da 2 PA 2FA Từ đây, áp dụng định lí Menelaus cho tam giác AMB, ta thu được ——-:—- - ——-: ——— Từ đĩ, F,G,C thang hàng Tương tu, E,G, B thẳng hàng, và ta cĩ mệnh đề được oO chứng minh
Trở lại bài tốn của ta Gọi đường thẳng qua song song BC cắt (O) tai H khác
A Theo ménh đề vừa chứng minh, ta đã cĩ D, Œ, H thẳng hàng Ta sẽ chứng minh
rằng D nằm trên LH
Ke
That vay, goi (S) la đường trịn n ï goại tiếp tam gidc AEF thi
xtic (O) tai A, suy ra tiép tuyến tại A của (Ĩ) là trục đẳng stig tiép
Trang 12Tran Quang Hing~ THPT chuyên KHTN ?
(A) ftp xe (0) tai 1, tên tiếp tuyện tạ 7, của (Ø) là trục đẳng phương of (1Ø)
v8 (0) Vi EF là trục đẳng Phượng của (6) và (K) nên theo tính chất tâm đăng phương thì tiếp tuyến tại A, tiếp tuyện tai 7 của (0), và EF cất nhau tại T Kết
hợp với sự kiện D và 4 đối xứng nhau qua EF , ta dé cĩ
TA=TD=TL,
suy ra Ï là tâm ngoại tiếp tam giée ADL Gọi Az là tia đối của AT, theo tính chất đối xứng, đường thang song song, gĩc tạo bởi tiếp tuyến, ta thu được
ZDLA= 5¢ATD = LATE = ZtAH = ZHAL
Tù đĩ, ta suy ra L, DD, H thẳng hàng, và cĩ điều cần chứng minh n
Ví dụ 7 Cho tam giác ABƠ P là điểm bắt kj trong lam giác PA, PB, PƠ _ lan lượt aft BC, CA, AB tai A',BIC! Céc đường trịn ngoại tiếp các tam giác ABŒ', BC'A',CAIP' cĩ chưng một điểm Q Giả sử Q khơng thuộc các đường thăng AA’, BB', CC’ Chứng minh ring các đường trịn ngoại tiếp các tam giác AQA',
BQB,, CQC!' cĩ chưng một điểm khác Q
(Trần Quang Hùng)
Trang 13Lời ciải Gọi ÁQ giao BC" tại Ái: AIAy I GIẢI ỐC a giao (A'B'C’) tai Aa Theo tính chất tự giác nội tiếp, ta dễ thấy
AA ` AQ = A,B k AiŒ = A, A’ ` Ai4a,
suy ra tit gidc AA2QA’ ndi tiếp, hay 4; thuộc (A94): Theo định TH
Nests! ta cing dễ thấy A4), B'Bì, C'C1 đồng quy Gọi điểm đồng quy này là # và
7 là
giao cia QR véi (AQA’), ta cĩ
RQ- FT = TRAI RÃa = DR/(A'B'C): hay là p woe RQ ), (CQC’) cũng đi do đĩ 7 xác định khơng phụ thuéc (AQA’) Tương tự, (BQB’ _ qua 7 3 Bài tập
Bài tập 1 Cho tam giác ABC khơng cân nội tiếp đường trịn (Ø) ? là điểmbất
kì nằm trong tam giác ABƠ AP cắt (0) tại D khác A DE, AF là đường kínhcủa
(O) EP,FP lần lượt cắt (O) tại Œ,H khác E,F AH giao DG tại K L là
hình chiếu của K lên đường thẳng ĨP
(a) Chứng minh rằng bốn điểm A, L, K, D cùng thuộc một đường trịn, gọi đường
trịn này là (6)
(b) Chứng minh rang OP cat EF tai diém 7 thuộc (S)
(Trần Quang Hùng)
Bài tập 2 Cho tam giác ABC cĩ tâm nội tiếp I Một đường trịn di qua B,C
cit IC, IB lần lượt tại E,F Gọi P,Q lần lượt là tâm ngoại tiếp các tam giác
ABF, ACE Chứng mỉnh rang PQ || EF
(Trần Quang Hùng) Bài tập 3 Cho bốn điểm 4, B,C, D khơng cĩ ba điểm thẳng hằng và khơng cùng thuộc một đường trịn Chứng minh rằng
1 4 1 J + 1
PAuwcp PB/cpA Pc/(pAn Tb/(Ano) - "
Trang 14Tran Quang Hing ~ THpT chuyén KHTN
-
Bài tập 4 Cho tam giác ABỢ cận tại A vA ABC là tam giác nhọn 7 là một
điểm thuộc đoạn thắng BƠ sao cho gĩc ADB nhọn Từ điểm Ở kẻ các tiếp tuyến CM,CN tới đường trịn ngoại tiếp tam giác ABD (M, N thuộc đường trịn ngoại
nếp tam Bide ABD) Goi P,Q lan lượt là trung điểm của ƠM,CN Giả sử PQ cất doan thing BC tai E Lay diém F trên đoạn thing AE sao cho ZEFC = ZDAC
Chứng minh rằng ⁄BƑE — ⁄BAC
(Trần Quang Hùng)
Bài tập 5 Cho tam giác ADC, trực tâ BC, CA, AB lần lọ : ‘ t tai D,E,F K 1 hinh chiéu cia D lén EF Chứng minh , truc tam H, dudng trịn nội tiếp (7) ờng trịn nội tiếp (7) tiếp xúc
ring KD là phân giác ZTKH
(Tran Quang Hing)
Bai tap 6 Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn () Đường trịn (X) tiếp -
xúc CÁ, (O) tại M, N khác S Đường trịn ngoại tiếp tam giác AEM, AFN cắt nhau tại P 4B lần lượt tại E, Ƒ và tiếp xúc trong (O) tại S SE, SƑ' lần lượt cất
khác 4 Gọi EN, PM lần lượt cắt (K) tại Œ,H khác E,F Gọi GH cắt MN tại
T Chứng minh rằng tam giác AT cân
(Trần Quang Hùng)
4 Lời giải
Bai tap 1 Cho tem giác ABC khơng cân nội tiếp đường trịn (O) P là điểmbất
kì nằm trong tam giác ABC AP cất (O) tại D khác A DE, AF là đường kínhcủa (O0) EP,FP lần lượt cắt (O) tại Œ,H khác E,F AH giao DG tai K L là hình chiếu của K lên đường thẳng OP
(a) Chứng minh rằng bốn điểm A,L,K,D cùng thuộc một đường trịn, gọi đường trờn này là (8)
(b) Chứng mình rằng OP cắt EF tại điểm T thuộc (8) LỜI GIẢI
(a) Ta thấy các tứ giác HADG và KHPG nội tiếp nên
ZKPG = ZKHG = ZGDA,
suy ra ZK PD = 90° Goi KL giao AD tai Q Ta thấy K7 chính là trục đẳng phương của (Ĩ) và đường trịn điểm P Vậy suy ra
QA-QD = QP? =QL-QK,
Trang 1538 Tran Quang Hing — HPT chuyên KHTN | 9
side AEUP cũng là hình chữ nhật PE cit AU tai V ta cé V IA trung diém PE, AU Từ đĩ (b) Dé thay tit gise AEF D là hình chữ nhật Gọi £P giao EF tai U Dé thay tit
ZAUK = LVUP = ZVPU = ZKPG = ZKDA,
vay suy ra Ư thuộc đường trịn (5) Từ đĩ nếu gọi KT | à đường kính của (5) thì TƯ L KU nên T thuộc EF Mà KT là đường kính của EƑ' nên
⁄TLK =90° = ZPLK,
dan dén T thuéc LP = OP Vay T la giao cia OP vA EF nén hiển nhién 7 thudc (S)
Trang 16Tràn Quang Hùng - THPT chuyên KHTN
:
Bài tập 2 Cho tam giác ABC cĩ tâm
cất 1C,IB lần lượt tại EP Goi P.Q
ABF, ACE Chứng mảnh rừng PQ || EF nội tiếp I Một đường trịn di qua B,C lần lượt là tâm ngoại tiếp các tam giác
tiếp tam giác AƠE cắt nhau tại D khác A Theo tính chất tâm đẳng phương, ta dễ
thay AD, BF, CE déng quy, suy AD đi qua J Ta biết rang AI di qua tâm ngoai
tiép tam gidc IBC, ma ttt gidc ŒBEF nội tiếp nén AI | EF Tit việc 4T đi qua D thi AI 1 PQ Nhu vay EF || PQ, và ta cĩ điều phải chứng minh n | LỜI GIẢI Gọi đường trịn (P) ngoại tiếp tam giác 4BF và đường trịn (Q) ngoại |
|
|
Ị
| Bài tập 3 Cho bốn điển A,B,C,D khơng cĩ ba điển thẳng hàng tà khơng
| cùng thuộc một đường trịn Chứng minh rằng
1 + 1 + 1 + I =0
Payeco) Paycpa) Peyvas) Pp/(Anc)
LỜI GIẢI Ta sẽ đưa ra một mệnh đề để giải bài tốn này
Trang 17= Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN ề id ì điểm P bắt kì thỏa mãn Mệnh đề 16 Cho tam 614G ABC và ni B aPBÄ+8PÊ +*P = 0:
Khi đĩ phương tích của P và đường trịn i dé 1 ngoại tiếp tam giác ABC được cho bởi
cơng thức op sal? 7 dee
PE TC Ui ,
?P/(ABG) = (a+ B+7?
CHỨNG MINH Theo hệ thức Leibniz, ta cĩ với mọi M thi
aM A? + BMB? +yMC? = (a+ B+ +)MP? + aPA? + 8P” + +PC!
Cho 4 trùng Ĩ là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác AC, ta suy ra (x+8++)R?= (œ+8++)OP?+ aPA? + BPB? + 7PC" Mặt khác, bằng phương pháp bình phương vơ hướng, ta cĩ thể dễ chỉ ra aPA? + BPB? + +PC? = pratt ye +08 Kết hợp hai đẳng thức vừa thu được, ta đi tới ?P/(ABO) = OP? — R? —_ _œPA?+8PB?++PŒ? _ _ 8a°+ yab? + afc? a "¬ a+Ơ++ (a+B+7)? Trở lại bài todn cia ta Véi bén diém A, B,C, D ma ABC 1a mét tam giác ta cĩ thể giả sử aDA + SDB a yDC 3#:
Ta sẽ xét vị trí tương đối của D và tam giác ABƠ Vì A,B,Ơ, D là các điểm bắt kì trên mặt phẳng nên ta cũng cĩ thể tìm “toa dé” ti cu cia A trong tam giác DBC sau dé tinh Paypgc) theo céng thttc trong ménh dé trén Thật vậy, chúng ta sẽ đưa ra cơng thức đĩ thơng qua một hệ thức quen thuộc của tâm tỉ cự: nếu aDA+6DB+7D = ở thì uới mọi M ta cĩ
aMA + 8MB + yMẺ = (a + 8 + +)MƯ
Cho Ä⁄ trùng 4, ta suy ra
Trang 18Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN = hay là ~(+8++)AƯ + 8A + x4 = 7
Như vậy từ đây ta dễ thấy
~(+8++)AƯ + BAB + yAC = ;
sử dụng mệnh đề vừa chứng minh cho 4 và tam giác DBŒ ta thu được PA/(pac) = 58 ~ B( + 8++)PB? ~ (w + 8 + +)yPƠ? ((œ+8++)+8+3)? a) = Pret = (0+ B + 9)(6PB? + +PƠ?) a? ; Bây giờ, ta sẽ tinh DB? + +DŒ®, từ hệ thức Leibniz cho mọi, AM ta cĩ aM 4` + 8MB? + xMŒ = (œ + 8 + +)M D2 + œPA? + PB? ++PŒ, tương đương với 2 47a? + œ8c? aM A? + BMB? + 4\MC? = § T PM ha re Bye? +70 ni d
Cho M trùng A, ta thu được
2 ++i“ˆ= 2 A 2 „ a2? + +ab2 + œ8c? ———
Trang 19Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN
| ì
Thay thé vào đẳng thức (1), ta thu duge
gra? + a(Baa? + ai” + đổi |
(a 0+ )ert + 0(ine +108 + of)
Paj(DBc) = att si” = = a+Ư+7
“pre + ab? + oper a(a+B+ 4) Mặt khác cũng từ mệnh đề bên trên, ta đã cĩ 8xa?+ xa? + ape? Pe Pp/(ABG) = (a+8+? Từ hai cơng thức vừa cĩ được, ta dễ suy ra PAj\pso = (œ +8 + ÌPnj(ABØ): Thực hiện tương tự với các đỉnh B,C, ta di téi 1 1 1 1 + + = / PAjqgcp) PB/(cpA) Tơ/(DA) ?p/(ABC)
và đây chính là điều phải chứng minh
Bài tập 4 Cho tam giác ABC cân tại A tà ABC là tam giác nhọn D là một điểm thuộc đoạn thẳng BƠ sao cho gĩc ADB nhọn Từ điểm Ơ kẻ các tiếp tuyến CM,CN tới đường trờn ngoại tiếp tam giác ABD (M, N thuộc đường trịn ngoai tiếp tam giác ABD) Gọi P, Q lần lượt là trưng điểm của CM,CN Giả sử PQ cắt đoạn thẳng BC tai E Léy điểm F trén đoạn thẳng AE sao cho ZEFC = ZDAC
Chứng mình rằng ZBFE = ZBAC
(Trần Quang Hùng) Lời GIẢI Gọi 4E giao đường trịn ngoại tiếp tam giác ABŒ tại L khác A Ti tam giác ABƠ cân tại A dễ suy ra LA la phan giác ZBLC Do đĩ
LC _ EC
LB EB’ (2)
Mặt khác, PQ là trục đẳng phương của đường trịn ngoại tiếp tam giác ABD va đường trịn điểm Œ do đĩ EC? = EB: ED hay la
Trang 20Trần Quang Hùng - THPT chuyen KHTN 43
Gọi đường trịn ngoại tiếp tam giác FC cắt AC tại Œ khác Ơ Ta cĩ
⁄DAC = ⁄EFC = ZEGC,
suy ta EG || DA, và điều này dẫn đến
ED AG
EC ~ GC" @
Ta lại cĩ
ZAFG = ZACB = ZABC = ZALC,
Trang 21Tran Quang Hùng - THPT chuyên KHTN
-Lấy điểm K thuộc tia đố i tia BL sao cho BK = BL Ta dé thdy cdc tam gide AB va ACL déng dạng với nhau nén ZK AL = ZBAC Mat khéae, vi
BL BL_ FL
BK CL AF’
nén AK || BF, din téi ZBFL = ZKAL= ⁄BAG Ta cĩ điều phải chứng minh.Q
ài tậ id i ồn nội tiếp (]) tiếp xúc
Bài tập 5 Cho tam giác ABC, trực tâm H, đường trịn nội |
BC, CA, AB lần lượt tại D,E,F K la hinh chiéu ctia D lén EF Chitng minh
rằng KD là phân giác ZIKH
LỜI GIẢI Gọi L đối xứng J qua EF Ta sé chi ra L, H, K thẳng hàng, từ đĩ Suy
ra J) là phân giác gĩc IKH Thât vậy, gọi BM,CAN là đường cao của tam giác ABC Dã thấy L là trực tâm tam gidc AEF Goi EQ, FP la đường cao của tam
giác AEF, ta dễ cĩ
HM HB = HN - HC, LE-LQ=LF-LP,
suy ra Ự và L đều nằm trên trục đẳng phương của đường trịn đường kính 8E ỢP Gọi 9,7 là hình chiếu của B,C lén EF, ta dé dang chứng minh được
KS_ DB _ BP_ KE
KT DC CE KE’
suy ra KF - KT = KE- KS Nhu vay, K cũng thuộc trục đẳng phương của đường
Trang 22Tran Quang Hing ~ THPT chuyén KHTW 45
Bai tap 6 Cho tam 3 : ae › 3 ịn (W) tiếprúc
tiếp đường tron (O) Đường trờn (K) tiếp
CA, AB lần lượt tại E, F va tiép nic trong (O) tại S SE, SF lần lượt cắt (O) tại M, N khác S Đường trịn ngoai tiếp tam giác AEM,AFN cắt nhau tại P khác
A Gọi EN,FM lần lượt cật (K Chúng minh rằng tam giác AST' cân, c ) lại G,H khác E,F Gọi GH cất MN tai T
giác ABC nội
LỜI GIẢI Ta thấy rằng
ZAPF = 180° — ZANS = ZAMS = 180° — ZAFE,
suy ra P, E, F thing hàng Từ đĩ theo tính chất gĩc ngồi và gĩc tạo bởi tiếp tuyến
và dây cung,
ZAPM = ZAEM = ZSEC = ZSFE = ZPAN,
dan téi AN || PM Tương tự, AM || PN, kéo theo AMEN là hình bình hành Vì
các tam giác SCF, SON cân cĩ chung đỉnh Ø nên đồng dạng, dẫn đến KF || ON
Tương tự, KE || OM, va ta thu được
SF _ SK _ SE
Trang 2346 Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN _suy ra AN || BE Từ đĩ ZHGE = ZHFE = ZHMN, : : ẩ Sng phuong thì
dan téi tt gidc MNGH néi tiép Nhu thế, theo tính chất truc dang p : ầ ấn đến 7 là tiếp 8
MN,GH và tiếp tuyến chung tại Š của (Ĩ) va (K ) dong quỹ, TT nhau tai
tuyến của (Ĩ) Do tứ giác 4MEN là hình bình hành nên 47P và , 8
La oe git ak én va day cung,
trung điểm 7 mỗi đường Ta cĩ, theo tính chất gĩc tạo bởi tiếp tuyên và dây cung
ZIAM = ZPES = ZFST = ZNAS
Mặt khác, ta cũng cĩ
ZAMI = ZAMN = ZASN,
Trang 24Chương 3
Hàng điểm điều hịa và tứ giác điều hịa
1 Lí thuyết cơ sư
1.1 Cac định nghĩa và tính chất co bản
Định nghĩa 1 Một hàng điểm A,B,C, D được gọi là hàng điểm điều hịa nếu tỉ số kép cĩ giá trị bằng —1, tương tự ta cũng gọi chàm đường thẳng a, b, c, d là chùm đường
thăng điều hịa, hay gọi tắt là chùm điều hịa, nếu tỉ số kép của chùm a,b,e, đ là (ab,cđ) = —1
Nhờ các tính chất về tỉ số kép ta thấy ngay, với hàng điểm điều hịa 4, B,C, D, việc Œ, D chia A,
B cũng như A, B chia C,D, tite 1a
(AB, CD) = (CD, AB) = (BA, DC) = (DC, BA)
= (BA,CD) = (CD, BA) = (AB, DC) = (DC, BA) = -1,
nên khi đĩ ta cịn nĩi A,B liên hợp điều hịa với €, D Ta cũng cĩ các tính chất tương tự cho chùm điều hịa