PHÒNG GD&ĐT CẨM GIÀNG ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN : TỐN – LỚP Thời gian làm : 150 phút ( Đề thi gồm có 01 trang) Câu ( 2,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4(y-z) + y4(z-x) + z4(x-y) ỉ x2 ưỉ 10-x ÷ ữ ỗ ỗ A =ỗ + + ữ :ỗx-2+ ữ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ x -4x 6-3x x+2 øè x+2 ø è Cho biểu thức : , với x ¹ 0, x ¹ ±2 a) Rút gọn A b) Tìm x ngun để A có giá trị nguyên Câu ( 2,0 điểm) Giải phương trình : 1 a) x +5x+4 x +11x+28 x +17x+70 4x-2 b) x 3x x 2x 0 Tìm số a cho đa thức ax 5x chia hết cho đa thức x Câu ( 2,0 điểm) a) Cho số tự nhiên m, n thỏa mãn 2m + m = 3n2 + n Chứng minh 3(m+n)+1 số phương b) Tìm cặp số tự nhiên (x;y) thỏa mãn 1+x+3x2+x3 = y3 Câu ( 3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có BC = a khơng đổi; ba đường cao AK, BD, CE cắt H Gọi M trung điểm BC a) Chứng minh tam giác ADE đồng dạng tam giác ABC b) Tính BH.BD + CH.CE theo a c) Đường thẳng qua A vuông góc với AM cắt BD, CE P Q Chứng minh MP = MQ Câu ( 1,0 điểm) Cho số dương a, b, c, d thỏa mãn a+b+c+d = Chứng minh: 1 1 + + + a +b +c +d ab bc cd da - Hết - PHÒNG GD&ĐT CẨM GIÀNG Câu HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN : TỐN – LỚP ( Hướng dẫn chấm gồm có 03 trang) Phầ n Nội dung x4(y-z) + y4(z-x) + z4(x-y) = x4(y-z) - y4[(y-z) + (x-y)] + z4(x-y) = (y-z)( x4 - y4) – (x-y)( y4 - z4) =(y-z)(x-y)(x+y)(x2 + y2) – (x-y)(y-z)( y2 + z2) (1 đ) =(x-y)(y-z)(x3+xy2+x2y+y3-y3-yz2-y2z-z3) =(x-y)(y-z)(z-x)(x2+y2+z2+xy+yz+zx) ỉ x x -4+10-x 2 ÷ -6 x+2 2a ữ A =ỗ + : = ỗ ữ ỗ ỗ x+2 ( x-2)( x+2) (2 đ) (0,5 è( x-2)( x+2) x-2 x+2 ÷ ø đ) 1 A= A= 2-x Vậy 2-x với x ¹ 0, x ¹ ±2 2b (0,5 đ) (2 ) A ẻ Z ị 1M ( - x ) Û - x Ỵ { - 1;1} ị x ẻ { 3;1} tha KX x 0, x Vy x ẻ { 3;1} A nguyên ĐK : Phương trình tương đương với : 1 (x 1)(x 4) (x 4)(x 7) (x 7)(x 10) 4x 1a 1 1 1 1 1 1 (0,75 x x x x x x 11 4x đ) 1 1 x x 10 4x x x 7x 12 0 x Biến đổi dạng : So sánh với điều kiện ta có phương trình có nghiệm x=-3 1b x 3x 0 2 (0,75 x 3x x 2x 0 x 2x 0 Điể m 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,50 x 10; 7; 4; 1; 0,50 0,25 0,50 đ) x 3x x 2x 0 0) ( Tìm x= kết luận nghiệm PT Để đa thức ax 5x chia hết cho đa thức x-1 tồn đa thức ax 5x x 1 Q x (*) (0,75 Q(x) cho đ) Thay x = vào (*) a 0 a 4 Vậy a=4 giá trị cần tìm 0,25 0,25 0,25 0,25 2m m 3n n 3(n m ) (n m) m 0,25 (n m)(3m 3n 1) m (1) 0,25 Gọi d = ƯCLN(n-m,3m+3n+1) 3m 3n 1d, n md (1 đ) suy 3m 3n 1+3m-3nd hay 6m+1 d mặt khác từ (1) ta có m2 d2 md nên 6m d Do 6m+1-6md, (2 đ) hay 1d Vậy d = 1, tức n-m 3m+3n+1 nguyên tố Vậy 3m+3n+1 hay 3(m+n)+1 số phương Với x=0 suy y=1, ta có cặp giá trị (x;y) = (0;1) Với số tự nhiên x khác 0, ta có x3 < 1+x+3x2+x3 < 1+3x+3x2+x3 (1 đ) hay x3< y3