PHÒNG GD&ĐT CẨM GIÀNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN : TỐN LỚP Thời gian làm 120 phút, không kể thời gian giao đề (Đề 01 trang) Câu (2,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x 2013 x 2012 x 2013 x2 x 2x2 A 1 2x 8 x x x x x2 Rút gọn biểu thức sau: Câu (2,0 điểm) Giải phương trình sau: (2 x x 2013) 4( x x 2012) 4(2 x x 2013)( x x 2012) x 2x 3x y Tìm số nguyên x, y thỏa mãn Câu (2,0 điểm) Tìm đa thức f(x) biết rằng: f(x) chia cho x dư 10, f(x) chia cho x dư 24, f(x) chia cho x thương 5x dư Chứng minh rằng: a (b c )(b c a )2 c(a b)(a b c ) b(a c )(a c b) Câu (3,0 điểm) Cho hình vng ABCD, cạnh AB lấy điểm E cạnh AD lấy điểm F cho AE = AF Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC BC hai điểm M, N Chứng minh tứ giác AEMD hình chữ nhật Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH Chứng minh rằng: AC = 2EF 1 = + 2 AM AN Chứng minh rằng: AD Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c ba số dương thoả mãn abc 1 Chứng minh : 1 a (b c ) b (c a ) c (a b) -Hết PHÒNG GD&ĐT CẨM GIÀNG HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN : TỐN LỚP Hướng dẫn chấm gồm 04 trang CÂU NỘI DUNG ĐIỂM Câu (2.0 điểm) Ta có x 2013x 2012 x 2013 x x 2013x 2013x 2013 (1.0 điểm) 0,25 x x 1 x x 1 2013 x x 1 0.25 x x 1 x x 2013 0.25 x x 1 x x 2013 Kết luận x 2013x 2012 x 2013 x 0 ĐK: x 2 0.25 0.25 x2 x 2x2 A 1 2x 8 x x x x x2 Ta có x2 x x2 x 2x2 2 x2 2( x 4) 4(2 x) x (2 x) (1.0 điểm) x2 x ( x 1)( x 2) x( x 2) x ( x 1)( x 2) 2x2 2 x2 x2 2( x 2)( x 4) 2( x 4) ( x 4)(2 x) x x x x x x ( x 4)( x 1) x 2( x 4) x x ( x 4) 2x x 0 x 1 A x với x 2 Vậy 0.25 0.25 0.25 Câu (2.0 điểm) a 2 x x 2013 Đặt: b x x 2012 0.25 Phương trình cho trở thành: (1.0 điểm) 2 a 4b 4ab (a 2b) 0 a 2b 0 a 2b 0.25 Khi đó, ta có: x x 2013 2( x x 2012) x x 2013 2 x 10 x 4024 2011 11x 2011 x 11 2011 x 11 Vậy phương trình có nghiệm 0.25 0.25 3 y3 x 2x 3x 2 x 4 Ta có xy (1) 0.25 2 (1.0 điểm) 15 (x 2)3 y 4x 9x 2x 16 y x 2 (2) Từ (1) (2) ta có x < y < x+2 mà x, y nguyên suy y = x + Thay y = x + vào pt ban đầu giải phương trình tìm x = -1; từ tìm cặp số (x, y) thỏa mãn toán là: (-1 ; 0) KL: Vậy cặp số (x, y) thỏa mãn toán (-1 ; 0) 0.25 0.25 0.25 Câu (2 điểm) Giả sử f(x) chia cho x thương 5x dư ax b Khi đó: f ( x) ( x 4).( x) ax+b Theo đề bài, ta có: (1.0 điểm) f (2) 24 f ( 2) 10 2a b 24 2a b 10 a b 17 0.25 f ( x) ( x 4).( x) x+17 Do đó: Vậy đa thức f(x) cần tìm có dạng: 0.25 0.25 f ( x) x3 47 x 17 0.25 2 Ta có: a(b c)(b c a ) c(a b)(a b c) b(a c )(a c b) 0 (1) xz a a b c x x y b c a y b a c b z yz c Đặt: (1.0 điểm) 0.25 Khi đó, ta có: xz x y yz yz xz xy 2 y x ( x y )( x y ).z 2 2 xz x z yz z y 2 y x ( x y ) z 2 2 1 ( x z ) y ( z y ).x ( x y ).z 4 ( x y ).z ( x y ).z 0 VP(1) 4 (đpcm) VT(1) KL:… 0.25 0.25 0.25 Câu (3 điểm) A E B 0,25 = ABF (1.0 điểm) Ta có DAM (cùng phụ BAH ) AB = AD ( gt) 0.25 BAF = ADM = 900 (ABCD hình vuông) ΔADM=ΔBAFADM = ΔADM=ΔBAFBAF (g.c.g) => DM=AF, mà AF = AE (gt) Nên AE = DM Lại có AE // DM ( AB // DC ) Suy tứ giác AEMD hình bình hành 0.25 Mặt khác DAE = 90 (gt) Vậy tứ giác AEMD hình chữ nhật 0.25 Ta có ΔADM=ΔBAFABH ΔADM=ΔBAFFAH (g.g) (1.0 điểm) 0.25 AB BH BC BH = = AF AH hay AE AH ( AB=BC, AE=AF) HAB = HBC ABH Lại có (cùng phụ ΔADM=ΔBAFCBH ΔADM=ΔBAFEAH (c.g.c) ) 0.25 2 S SΔADM=ΔBAFCBH BC BC ΔADM=ΔBAFCBH = = =4 SΔADM=ΔBAFEAH AE , mà SΔADM=ΔBAFEAH AE (gt) nên BC2 = (2AE)2 BC = 2AE E trung điểm AB, F trung điểm AD 0.25 Do đó: BD = 2EF hay AC = 2EF (đpcm) 0.25 Do AD // CN (gt) Áp dụng hệ định lý ta lét, ta có: AD AM AD CN (1.0 điểm) = = 0.25 CN MN AM MN Lại có: MC // AB ( gt) Áp dụng hệ định lý ta lét, ta có: MN MC AB MC AD MC = = = AN AB AN MN hay AN MN 2 0.25 CN + CM MN AD AD CN CM = =1 + = + = MN MN AM AN MN MN 0.25 (Pytago) 2 AD AD 1 + = 2 AM AN AM AN AD Câu (1 điểm ) 1.0 điểm (đpcm) Trước tiên ta chứng minh BĐT: Với a, b, c R x, y, z > ta có 0.25 0.25 a b2 c a b c x y z xyz (*) a b c Dấu “=” xảy x y z Thật vậy, với a, b R x, y > ta có a b2 a b x y x y a bx ay 2 (**) y b x x y xy a b 2 0 (luôn đúng) a b Dấu “=” xảy x y Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có 2 a b2 c2 a b c2 a b c x y z xy z xyz a b c x y z Dấu “=” xảy 1 2 1 a b c Ta có: a (b c) b (c a) c (a b) ab ac bc ab ac bc Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có 2 1 1 1 1 1 2 a b c a b c a b c ab ac bc ab ac bc 2(ab bc ac ) 1 1 2 a b c Hay 1 2 1 1 1 a b c ab ac bc ab ac bc a b c 1 2 1 a b c 3 Mà a b c nên ab ac bc ab ac bc 1 Vậy a (b c) b (c a) c (a b) (đpcm) (Vì abc 1 ) 0.25 0.25 0.25 Lưu ý chấm bài: - Trên sơ lược bước giải, lời giải học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà cho điểm phần theo thang điểm tương ứng