PHÒNG GD&ĐT THẠCH HÀ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2016 – 2017 Mơn thi: Tốn Thời gian làm 150 phút ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1: x 9 a) Tính giá trị đa thức f ( x) ( x x 1) 2016 2.2016 20162 2017 20162 sin x cos x sin x.cos x cot x tan x với 00 < x < 900 c) Tính giá trị biểu thức: b) So sánh 2017 d) Biết số vơ tỉ, tìm số ngun a, b thỏa mãn: 20 a b a b Câu 2: Giải phương trình sau: x x a) x x b) x 5x 2 x Câu 3: a) Cho đa thức P(x) = ax3 + bx2 + cx + d với a, b, c, d hệ số nguyên Chứng minh P(x) chia hết cho với giá trị nguyên x hệ số a, b, c, d chia hết cho b) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 – xy + y2 – = c) Cho n số tự nhiên lớn Chứng minh n4 + 4n hợp số Câu 4: a4 +b 3 2 ¿ ab +a b−a b a) Chứng minh 1 + + =2 b) Cho a, b, c số dương thỏa mãn điều kiện a + b + b + c + c + a + Tìm giá trị lớn tích (a + b)(b + c)(c + a) Câu 5: Cho ABC nhọn, có ba đường cao AD, BI, CK cắt H Gọi chân đường vng góc hạ từ D xuống AB, AC E F a) Chứng minh rằng: AE.AB = AF.AC b) Giả sử HD = AD Chứng minh rằng: tanB.tanC = c) Gọi M, N chân đường vng góc kẻ từ D đến BI CK Chứng minh rằng: điểm E, M, N, F thẳng hàng HẾT Họ tên thí sinh:…………………………………………………SBD:………… (Cán coi thi khơng giải thích thêm, học sinh khơng dùng máy tính bỏ túi ) SƠ LƯỢC GIẢI Đề thi chọn HSG cấp huyện năm học 2016 – 2017 MơnTốn (Thời gian làm 150 phút) Câu Câu Ý a) Đáp án x 9 5 2 9 2 9 5 52 = f ( x ) f (1) 1 b) 20152 2 4 4 5 20142 2 9 1 ( 20172 20162 1)( 2017 20162 1) 2017 20162 Ta có (20152 1) (20142 1) 2017 2016 (2017 2016)(2017 2016) 2017 20162 2017 2016 2017 2016 2017 2016 2.2016 2 2017 2016 2017 2016 2.2016 20162 > sin x cos x sin x.cos x cos x sin x 1 1 s inx cos x sin x cos3 x sin x.cos x c osx 1+sinx Vậy c) 2017 2017 20162 sinx cos x sin x sinx.cos x cos x sin x cos3 x sin x.cos x sinx c osx sinx c osx sin x.cos x sin x.cos x 1 sin x.cos x d) ĐK: a b (*) 20 a b a b 2(a b 5) 3(a b 5) (9 20 5)(a b 5)(a b 5) 9a 45b a 5( 20a 100b 5b) (*) B 0 thi Ta thấy (*) có dạng A B A, B Q , = => A= 9a 45b a 0 2 9a 45b a 0 9a 45b b 0 2 20a 100b 5b 0 Do (*) 5 A I B vơ lí B 9a 45b a 0 a b Câu a) a 9 a 0 a b hoac b 0 b 4b 0 b 4 (không t/m ĐK (*)) Vậy a = 9; b = x 1; x ĐK (**) x x x x (2) x 3 x 3 ( x 3)( x 1) + Trường hợp : x + = x (TMĐK (**) + Trường hợp : x + x Ta có (x-3)(x-1) = x x 0 x x 7 ( x 2) 7 x 2 hoac x 2 (TMĐK (*)) Vậy tập nghiệm phương trình (2) là: S ={-3; ; b) 7} ĐK: x (***) x 6x x x 0 x 3 x x 0 x 3 x 0 x 0 x 0 x 3 (thỏa mãn ĐK(***)) Vậy nghiệm phương trình x = Câu Ta có: P(0) = d a) P(1) = a + b + c + d => a + b + c (1) P(-1) = -a + b – c + d => -a + b – c (2) Từ (1) (2) suy 2b => b (2,5) = 1, suy a + c P(2) = 8a + 4b + 2c + d => 8a + 2c => a => c b) Ta có 4x2 – 4xy + 4y2 = 16 ( 2x – y )2 + 3y2 = 16 ( 2x – y )2 = 16 – 3y2 Vì ( 2x – y )2 nên 16 – 3y2 y2 y2 { 0; 1; } - Nếu y2 = x2 = x = 2 - Nếu y2 = ( 2x – y )2 = 13 khơng số phương nên loại y2 = - Nếu y2 = y = 2 + Khi y = x = x = + Khi y = - x = x = - Vậy phương trình có nghiệm nguyên (x, y) = ( - 2; ); ( 2; ); ( 0; ); ( 2; ); ( 0; - ); ( - 2; -2 ) c) - Nếu n số chẵn n4 + 4n số chẵn lớn nên hợp số - Nếu n số lẻ, đặt n = 2k + với k số tự nhiên lớn n4 + 42k + = (n2)2 + (2.4k )2 = (n2)2 + 2.n2.2.4k + (2.4k )2 – 2.n2.2.4k = ( n2 + 2.4k )2–(2n.2k)2 =(n2 + 2.4k – 2n.2k).(n2 + 2.4k + 2n.2k) Vì n2 + 2.4k + 2n.2k > n2 + 2.4k – 2n.2k = n2 + 4k – 2n.2k + 4k = (n – 2k)2 + 4k > Suy n4 + 42k + hợp số Vậy n4 + 4n hợp số với số tự nhiên n lớn Câu a) a +b Giả sử ta có ¿ ab +a3 b−a b2 a b4 2ab3 2a3b 2a 2b2 a b4 2ab3 2a 3b 2a 2b 0 a 2a 3b a 2b b4 2ab3 a 2b 0 2 a ab b ab 0 a +b b) với a, b 3 2 ¿ ab +a b−a b với a, b Vậy Đặt a + b = x; b + c = y; c + a = z với x, y, z số thực dương 1 + + =2 Ta có x + y + z + 1 1 y z 2 1 1 x+1 y+1 z+1 y+1 z+1 y+1 z+1 y z 2 x+1 y+1 z+1 y z y + (Áp dụng bất đẳng thức Côsy cho số dương z + ) y x x z 2 2 y+1 x+1 x + z + z + Chứng minh tương tự ta có y + 1 1 y z x z x y 2 2 2 y+1 z+1 x+1 z+1 x+1 y+1 Suy x + y + z + 1 1 xyz 8 x+1 y+1 z+1 x 1 y 1 z 1 xyz Dấu “ = ” xẩy x y z x y z x+1 y+1 y+1 a b c Vậy giá trị lớn tích ( a + b )( b + c )( c + a) Câu A I K M N H F E C B D a) Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng tac có: AE.AB = AD2 ; AF.AC = AD2 Suy ra: AE.AB = AF.AC b) AD AD AD Biểu thị : tanB = BD ; tanC = CD ; tanB.tanC = BD.CD Biểu thị được: CD BD BD.CD tan DHB HD ; tanC = HD ; tanB.tanC = HD tanB = AD AD 2 Suy : (tanB.tanC)2 = HD => tanB.tanC = HD = tan DHC c) Chứng minh được: AE.AB/AK.AB=AF.AC/AI.AC => EF // IK BM BD BE ME / /IK M EF MI DC EK Chứng minh được: Tương tự chứng minh N EF suy điểm E, M, N, F thẳng hàng Tổng Lưu ý: Học sinh làm cách khác dúng cho điểm tối đa