PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN CẨM GIÀNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút Đề gồm 01 trang Đề thức ( 1−x 1−x −x : 1−x 1−x−x + x ) Bài 1(1,5đ): Cho biểu thức A = a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị x để A < Bài 2(2đ): với x 1; x -1 a) Giải phương trình: x 30x 31x 30 b) Phân tích đa thức thành nhân tử: x x x x 24 P= Bài (2đ): a b c a2 b2 c2 1 0 a) Cho b c c a a b Chứng minh rằng: b c c a a b b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A 2010x 2680 x2 1 Bài 4(3,5đ): Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA’, BB’, CC’, H trực tâm HA ' HB' HC ' + + a) Tính tổng AA ' BB ' CC ' b) Gọi AI phân giác tam giác ABC; IM, IN thứ tự phân giác góc AIC góc AIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN IC.AM c) Tam giác ABC biểu thức nhất? Ơ ( AB+BC+CA ) AA ' + BB' + CC ' đạt giá trị nhỏ Bài 5(1đ): Cho số dương a, b, c có tổng 1 1 9 Chứng minh rằng: a b c …………………HẾT.………………… (Đề thi gồm có 01 trang) Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………………… ;Số báo danh:………………… ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM CHẤM HỌC SINH GIỎI MƠN:TỐN LỚP Câu Bài 1,5đ Nội dung Biểu điểm (1−x )(1+x ) 1−x −x +x : 1−x (1+x )(1−x+x )−x (1+x ) a)A = (1−x )(1+x +x 2−x ) (1−x )(1+x ) : 1−x (1+ x )(1−2 x+x ) = (1+ x2 ): (1−x ) = = (1+ x )(1−x ) Vậy A = (1+ x )(1−x ) với x 1; x -1 b)Với x 1; x -1 A a) x 30x 31x 30 x x 1 x x Vì x2 - x + = (x - )2 + > x (*) (x - 5)(x + 6) = x 0 x 5 x 0 x Vậy phương trình có tập nghiệm S = {5; 6} b)( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24 (*) 0.25 0.25 0.25 0,25 0,25 Bài 2đ = (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24 = [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24 = (x2 + 7x + 11)2 - 52 = (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16) = (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16) a b c 1 b c c a a b a)Nhân vế của: với a + b + c => a b c a b c a b c ( bc ca ab 0,25 a2 b2 c2 a(b c) b(a c) c(a b) a b c b c a c a b => b c c a a b a2 b2 c2 a b c a b c => b c c a a b a2 b2 c2 0 Vậy b c c a a b 2010x 2680 A x2 1 b) 335x 335 335x 2010x 3015 x 1 335(x 3) 335 x 1 335(x 3) 0 x 1 Do với x 335(x 3) 335 x -335 với x Dấu ‘=” Vậy giá trị nhỏ A – 335 x = – 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 3,5đ 0,25 Vẽ hình A C’ H N 0,25đ x B’ M I B A’ C D HA ' BC S HBC HA ' = = S ABC AA ' AA ' BC a) ; S HAB HC ' S HAC HB' = = Tương tự: S ABC CC ' ; S ABC BB ' HA ' HB ' HC ' S HBC S HAB S HAC + + = + + =1 AA ' BB ' CC ' S ABC S ABC S ABC b) Áp dụng tính chất phân giác vào tam giác ABC, ABI, AIC: BI AB AN AI CM IC = ; = ; = IC AC NB BI MA AI BI AN CM AB AI IC AB IC = = =1 IC NB MA AC BI AI AC BI ⇒ BI AN CM=BN IC AM ¿ CC’ Gọi D điểm đối xứng A qua Cx c)Vẽ Cx -Chứng minh góc BAD vng, CD = AC, AD = 2CC’ - Xét điểm B, C, D ta có: BD ¿ BC + CD - Δ BAD vuông A nên: AB2+AD2 = BD2 ⇒ AB2 + AD2 ¿ (BC+CD)2 AB2 + 4CC’2 ¿ (BC+AC)2 4CC’2 ¿ (BC+AC)2 – AB2 Tương tự: 4AA’2 ¿ (AB+AC)2 – BC2 4BB’2 ¿ (AB+BC)2 – AC2 -Chứng minh : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) ¿ (AB+BC+AC)2 ⇔ Ơ ( AB+BC+CA )2 ≥4 AA ' + BB' + CC ' Đẳng thức xảy ⇔ BC = AC, AC = AB, AB = BC 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25 đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ AB = AC =BC ⇔ Δ ABC Kết luận *Chú ý :Học sinh giải cách khác, xác hưởng trọn số điểm câu b c 1 a 1 a a a c 1 0,25 1 b b b a b 1 c c c Từ: a + b + c = ⇔ Câu 1đ 1 a b a c b c 3 a b c b a c a c b 3 9 Dấu xảy a = b = c = 0,25 0,25 0,25