PHÒNG GD&ĐT HẠ HÒA ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015 – 2016 Mơn: TỐN Ngày thi: 21 tháng 12 năm 2015 Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian giao đề) (Đề thi có trang) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (3,0 điểm) a) Giải phương trình nghiệm nguyên: x x 38 y b) Tìm số tự nhiên n để n4 + số nguyên tố Câu (4,0 điểm) a) Cho x x 2015 y y 2015 2015 Hãy tính giá trị biểu thức A x y 2016 1 b) Chứng minh rằng: Nếu ax by cz 1 x y z ax by cz a b c 2 3 Câu (4,0 điểm) a) Giải phương trình: x x 11 x x( x y ) y y 0 b) Giải hệ phương trình: 2 y ( x y ) x y 2 Câu (7,0 điểm) Cho đường tròn (O, R) dây cung BC cố định (BC < 2R) Điểm A di động cung lớn BC cho tam giác ABC có ba góc nhọn Kẻ đường cao AD, BE, CF cắt H S AEF cos A a) Chứng minh AEF ABC đồng dạng S ABC 2 b) Chứng minh rằng: S DEF cos A cos B cos C S ABC c) Xác định vị trí điểm A cung lớn BC cho chu vi tam giác DEF đạt giá trị lớn Câu (2,0điểm) Cho a, b ,c ba số thực dương, tìm giá trị nhỏ biểu thức: a b c3 a b b c c a P 2abc c ab a bc b ca -HẾT Họ tên thí sinh:…………………………………, SBD:………………… Cán coi thi khơng giải thích thêm HƯỚNG DẪN CHẤM CHỌN ĐT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016 MƠN: TỐN Đây là lời giải sơ lược, thí sinh có lời giải khác mà giám khảo chấm chấm theo thang điểm Bài Nội dung Giải phương trình nghiệm nguyên: x x 38 y x x 38 y 2x x 19 3y 2( x 1) 3(7 y ) (*) a b Ta thấy: 2( x 1) 2 y 2 y lẻ Ta lại có: y 0 y 7 Do y 1 y 1 Lúc đó: 2( x 1) 18 ( x 1) 3 nên x 2; x Ta thấy cặp số (2;1), (2;-1), (-4;1), (-4;-1) thỏa mãn (*) nên nghiệm phương trình Ta có n4 + = n4 + + 4n2 – 4n2 = ( n2 + 2)2 – ( 2n)2 = ( n2 – 2n + 2).( n2 + 2n+ 2) Vì n số tự nhiên nên n2 + 2n+ > nên n2 – 2n + = n = 2 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 2 Cho x x 2015 y y 2015 2015 Hãy tính A biết: A x y 2016 ? Nhân vế đẳng thức cho với x x 2015 ta được: 2015 y y 2015 2015 x a x 2015 (1) Nhân vế đẳng thức cho với y y 2015 ta được: 2015 x x 2015 2015 y y 2015 (2) Cộng (1) với (2) theo vế rút gọn ta được: x + y = Vậy A = 2016 b) Chứng minh rằng: Nếu ax by cz 3 Đặt: ax by cz t ax by cz 3 Mặt khác: Suy ra: 3 a 1 1 x y z ax by cz 3 a b c Ta có: t t t t x y z 0,25 1 1 x y z (1) 0,5 0,5 t x a y3 b z c 1 1 a b c 3 t 3 t x y z (2) 0,5 0,25 x x 11 x (1) x x x x 11 6 x2 2x 2 0,5 0,75 0,25 Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh 0,5 x x2 x 11 x2 x x 2x 2 x x ( x 1) với x 2x 2 x 2x 2 0,5 0,5 0,5 x2 2x Đặt t (t > 0) x 2x Ta phương trình: 6t 11t 0 Giải (*) t = thỏa mãn yêu cầu Nên t x 2x x 2x 5 4 3x 10 x 0 x 2 x 2x x 2x 2 x ( x y ) y y 0 x y ( y x) 4 y 2 2 y ( x y ) x y 2 y ( x y ) 2( x 1) 7 y x2 1 Dễ thấy y 0 , ta có: x y 4 y ( x y ) x 7 y b 0,5 0,5 u v 4 u 4 v v 3, u 1 x 1 , v x y ta có hệ: Đặt u y v 2u 7 v 2v 15 0 v 5, u 9 0,5 x2 1 y +) Với v 3, u 1 ta có hệ: x y 3 0,5 x x 0 y 3 x x 1, y 2 x 2, y 5 x 9 y x 9 y x x 46 0 v 5, u +) Với ta có hệ: VN x y y x y x KL: Vậy hệ cho có hai nghiệm: (1; 2) ( 2;5) 0,5 A E F H O B a D C AE AB AF Tam giác ACF vuông F nên cosA = AC AE AF AEF ABC (c.g c ) Suy = AB AC Tam giác ABE vuông E nên cosA = 0,5 0,5 0,5 b S AE Từ AEF ABC suy AEF cos A S ABC AB SCDE S BDF 2 Tương tự câu a, S cos B, S cos C ABC ABC S DEF S ABC S AEF S BDF SCDE 1 cos A cos B cos C Từ suy S S ABC ABC 1,0 0,5 Suy S DEF cos A cos B cos C S ABC c) Chứng minh OA EF ; OB DF ; OC ED 0,5 Có 2S ABC 2.( S AEOF S BDOF SCDOE ) 0,5 BC AD OA.EF OB.FD OC.ED 0,5 BC AD R ( EF FD ED ) 0,5 c 0,5 2 0,5 BC AD R Chu vi tam giác DEF lớn AD lớn nhất; AD lớn A điểm cung lớn BC EF FD ED a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac P 2bc 2ca 2ab c ab a bc b ac a a bc b b ac c c ab Mà ; ; nên 2bc 2bc 2ac 2ac 2ab 2ab Với số dương x, y ta có 2+2+2 - 0,5 ≥ 0,25 0,5 2 Dấu xảy a = b = c a b3 c3 a b b c c a Kết luận :giá trị nhỏ P 2abc c ab a bc b ca 0,5 0,5 x y 2 (x y) 0 đúng, dấu y x xảy x = y Áp dụng ta có: c ab 2ab a bc 2bc b ac 2ac P 2ab c ab 2bc a bc 2ac b ac 0,5 a = b = c Đính :Câu 5: P≥ 0,25