PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP Mơn: Tốn Thời gian làm 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài (4 điểm) a Tìm nghiệm tự nhiên phương trình sau: x + xy + y = 2 b Với a, b số nguyên Chứng minh 4a + 3ab 11b chia hết 4 cho a b chia hết cho Bài (4 điểm) 2 a Rút gọn biểu thức: P = x + 2y - x xy y 2014 b Cho f ( x) ( x 12 x 31) 3 Tính f (a) với a 16 16 Bài (4 điểm) 3 a Giải phương trình sau : x +4 x 24 - 27 x 81 = 20 4 x y 2 x xy 2 b Giải hệ phương trình sau : Bài (6 điểm) Cho tam giác BEF vuông B, hai phân giác BK ED cắt O (K FE;D BF) Vẽ KM OJ vng góc với BE; KN OS vng góc với BF (M, J BE; N, S BF) a Chứng minh tứ giác BMKN hình vng b Cho EO =10 cm; DO =5 cm Tính BE, EF? KM Tính góc nhọn tam giác EBF? c Cho JO Bài (2 điểm) Cho a, b, c số thực thoả mãn điều kiện: a 5; b 5 ; c 5 2 vµ a b c 50 Tìm giá trị nhỏ P = a + b + c - Hết Họ tên thí sinh: Số báo danh: PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP Mơn: Tốn Bài (4 điểm) a - Từ (gt) ta có :(x + 1)(y + 1) = 10 ; 10 = 1.10 = 2.5 điểm - Vì x,y N - Lập bảng ta tìm nghiệm (x ;y) =(0 ;9) ;(9 ;0) ;(1 ;4) ;(4 ;1) b - Ta có : điểm 4a 3ab 11b2 5 5a 5ab 10b a 2ab b 5 a 2ab b 5 1,0 1,0 0,5 0,5 a b 5 a b 5 ( Vì số nguyên tố) 4 a b a b2 a b a b 5 - Ta có: Bài (4 điểm) a x 2y P = x + 2y điểm + Nếu x 2y P = 4y + Nếu x < 2y P = 2x KL : b a 16 16 điểm (đpcm) 3 a 32 (16 5)(16 5).( 16 16 ) a 32 3.( 4).a a 32 12a a 12a 32 0 2014 a 12a 31 1 f (a ) 1 1 Bài (4 điểm) a ĐKXĐ : x thuộc R điểm 3 x +4.2 x - 3 x = 20 10 x =20 KL : … x =2 x-3 =8 x=11 2 b điểm Từ (gt) ta có :3x2-xy -2y2 =0 (x-y)(3x+2y)=0 x=y x = y - Nếu x = y thay vào (1) ta x = ;x = -1 2 - Nếu x = y Thay vào hệ ta hệ vô nghiệm KL : Hệ phương trình có nghiệm (x ;y) =(1 ;1) ;(-1 ;-1) Bài (6 điểm) a điểm - Từ (gt) ta có tứ giác BMKN có góc vng hình chữ nhật (1) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,75 0,75 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 1,0 - Từ (gt) ta có BK đường phân giác (2) - Từ (1);(2) suy tứ giác BMKN hình vng b điểm - Vì BO phân giác tam giác BED ta có : 0,5 0,5 B - Áp dụng Pyta go ta có :BE2 + BD2 = ED2 (2) - Thay (1) vào ( 2) ta tính BD =15cm; BE = 20cm - Làm tương tự ta tính FE = 25cm ĐS: c điểm S J M O BE BD EO DO = k > (1) E D N K BK BO OK OK OK 1 BO OB OB 2 - Vì BO 0,5 F 0,5 0,5 0,5 0,5 OK KF OB BF - Mặt khác FO phân giác góc F nên KF Suy BF = => BF = KF => BF2 = 2KF2 - Lí luận tương tự ta có BE = EK BE2 = 2EK2 Vậy EF2 = BE2 + BF2 = (KF2 + KE2) 0,5 0,5 (EK+KF)2 = 2(KF2 + EK2) EK2 +2EK.KF + KF2 = 2KF2 + 2EK2 KF2 – 2EK.KF + KE2 = (KF – KE)2 = KF = KE - Vậy BEF vuông cân B nên EBF = 900 Suy B = C = 450 Bài (2 im) + Theo đề ta có: (a-3)(b-3)(c-3) vµ (5-a)(5-b)(5-c) abc- 3(ab+bc+ca) + 9(a+b+c)- 27 0 (1) + Vµ -abc +5(ab+bc+ca) +125 0 (2) + Cộng vế (1) (2) ta đợc: 2(ab+ac+bc)- 16(a+b+c) +98 0 2 + L¹i cã : a b c 50 (gt) + Nªn (a+b+c)2- 16(a+b+c) +48 0 P2-16P+ 48 0 (P-8)2 16 (*) Do a, b, c 3 nªn P 9 - Kết hợp với (*) P-8 suy P 12 - Dấu xảy (a,b,c)= (3,4,5) hoán vị 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5