PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LỘC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HỤN MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút Đề gồm 01 trang Câu (2,0 điểm) 1) Rút gọn biểu thức: P = x2 x x x x 1 ; x 0, x 1 x x 1 x x1 2) Cho x y hai số thỏa mãn: x x2 y y 5 Hãy tính giá trị biểu thức M = x 2015 y 2015 Câu (2,0 điểm) 1) Giải phương trình: x2 x x x 2) Giải bất phương trình: x 3 x 3 x 0 Câu (2,0 điểm) 1) Giải phương trình nghiệm nguyên sau: xy x y 1 2) Chứng tỏ với số tự nhiên n số A = n n 1 n n 3 số phương Câu (3,0 điểm) 1) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax By Trên Ax By lấy điểm C D cho COD 900 a) Chứng minh CD tiếp tuyến đường trịn đường kính AB tiếp điểm E b) Chứng minh AC.BD không đổi c) Gọi H chân đường vng góc kẻ từ E đến đường kính AB Chứng minh CB cắt EH trung điểm I EH 2) Trên hai cạnh AC, BC tam giác ABC, lấy tương ứng hai điểm M, N cho MA = CN Tìm vị trí M để MN có độ dài nhỏ Tính giá trị nhỏ cạnh tam giác 2014 cm Câu (1,0 điểm) Cho x, y, z số dương thỏa mãn : x + y + z = 2016 Tìm giá trị lớn biểu thức: A x y z x 2016x yz y 2016y zx z 2016z xy Hết -Họ tên học sinh: …………………………………… Số báo danh:………… Họ tên giám khảo: ………………………………… Chữ ký: …………… PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LỘC HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2014 - 2015 MƠN: TỐN Hướng dẫn chấm gồm 04 trang Biểu Đáp án điểm Câu Phần 1) P = x = x x x x 1 x x 1 2 x x 1 x x1 x 1 x1 x x 1 x 1 1,0 = x x x 1 x = x x 1 + Nhân vế x x2 y y 5 (1) với x x ta được: x x2 x x2 x x y y 5 x y x y y 5 x x x 5 y 5 x x 5 y y (2) x2 0,25 + Tương tự nhân vế (1) với y y ta được: 0,25 (3) + Cộng vế với vế (2) (3) ta được: x x y y y2 x y2 x x x2 y y2 x y 0 x y 0 x y 0 x y 2015 0,25 0,25 2015 Vậy M = x y = Điều kiện để phương trình xác định là: x 1 - Phương trình cho tương đương với: x 1 x 1 x 3 x 1 0,25 x 1 x 3 x 0 x 2 phương trình (*) trở thành: x 3 x 3 x 1 x x 1 2 x x 16 x 1 x x (*) 0,25 + Nếu 0,25 x 10 x 25 0 x 0 x 5 ( thỏa mãn điều kiện x 2) + Nếu x x phương trình (*) trở thành: x 3 x 3 x 1 x 1 2 2 0,25 2 x 4 x 1 , thỏa mãn điều kiện x Vậy phương trình cho có nghiệm là: x = x = x 3 x 0 (1) ĐK: x - Nếu x = - bất phương trình (1) - Nếu x > - bất phương trình (1) tương đương với: x 0 x 0,25 0,25 0,25 (thỏa mãn điều kiện) Vậy bất phương trình cho có nghiệm x=-4 x 0,25 0,25 xy x y 1 y x 1 y (1) Nếu y = -2 phương trình (1) vơ nghiệm Nếu y khác -2 ta có: y x 1 y 0,25 1 y x y 2 y 2 0,25 Vì x số nguyên nên y + ước Do : y 1; 1;5; 5 y 1; 3;3; 7 x 3; 7; 1; 3 Vậy phương trình có nghiệm là: (-1;3);(-3;-7);(3:-1);(-7;-3) 0,25 0,25 A n n 1 n n 3 2 n 3n n 3n n 3n n 3n n 3n 1 Vì n N n 3n 1 N nên A số phương 0,75 0,25 F D E N 0,25 C I A H O B Lấy điểm N trung điểm CD=> NO đường trung bình hình thang ABDC => NO vng góc với AB Tam giác CDO vng O có ON đường trung tuyến nên NO = NC => NCO (1) CON Ta có: ACO CON + AOC 90 o (2) Từ (1) (2) => ACO ECO => CO phân giác góc ACE Giả sử OE khoảng cách từ O đến CD => OA=OE Vậy CD tiếp tuyến đường tròn đường kính AB Xét tam giác vng OBD CAO ta có BOD ACO (cùng phụ với góc ACO) Do OBD đồng dạng với tam giác CAO 0,5 0,5 => OB BD BD AC OA OB R AC AO Vậy BD.AC không đổi Ta có CAE cân C lại có CO phân giác góc ACO nên CO AE Mặt khác BE AE( E thuộc đường trịn đường kính AB) => OC//BE mà OA=OB nên CA = CF IH BI (1) CA BC EI BI Dó EI //CF theo hệ định lý Ta -let ta có (2) CF BC IH EI Từ (1) (2) => mà CA = CF => IH = EI CA CF Do IH //CA theo hệ định lý Ta-lét ta có 0,75 Vậy I trung điểm EH B H G N K A C M Kẻ MK AB; NH AB; MG NH Tứ giác MGHK hình chữ nhật MG KH Mà MN MG MN KH Các tam giác AKM, BHN tam giác vng có góc nhọn 2 60o nên AK AM ; BH BN Do đó: AM BN KH AB AK BH AB BC AB CN BN AB AB 2 AB MN AB 2014 1007 cm Vậy MN 2 MN đường trung bình tam giác ABC hay M trung điểm cạnh AC Từ x yz 0 x yz 2x yz (*) Dấu "=" x2 = yz Ta có: 2016x yz x y z x yz x yz x(y z) x(y z) 2x yz Suy ra: 2016x yz x(y z) 2x yz x ( y z) (áp dụng (*)) 0,25 0,25 x 2016x yz x Tương tự ta có: x y z x x (1) x 2016x yz x y z y y y 2016y zx x y z (2) z z z 2016z xy x y z (3) 0,25 Từ (1),(2),(3) ta có: x y z 1 x 2016x yz y 2016y zx z 2016z xy Dấu "=" xảy x = y = z = 672 Vậy giá trị lớn A x=y=z=672 0,25