PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN KIM THÀNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút Đề gồm 01 trang Bài 1: (2,0 điểm) x2 x : Cho biểu thức: P x x x x 1 x Rút gọn biểu thức P x1 Với x > 0, x 2 Tìm x để P So sánh: P2 2P Bài 2: (2,0 điểm) Giải phương trình: x 3x x x x 2x Tìm nghiệm nguyên phương trình: x x y Bài 3: (2,0 điểm) 1.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng: (d1): x 3y 0 ; (d2): x 2y 0 ; (d3): m 1 x 3y 2m 0 a Tìm tọa độ giao điểm A (d1) (d2) b Xác định m để ba đường thẳng đường thẳng phân biệt đồng quy Có hay khơng số tự nhiên n để: 1990 + n2 số phương Bài 4: (3,0 điểm) Cho ABC có góc nhọn nội tiếp đường trịn (O; R) Các đường cao AD, BE, CF cắt H Kéo dài AO cắt đường tròn K Chứng minh tứ giác BHCK hình bình hành Kẻ OM BC M Gọi G trọng tâm D ABC Chứng minh SAHG = 2SAGO Chứng minh: AD BE CF 9 HD HE HF Bài 5: (1,0 điểm) Cho x3 + y3 + 3(x2 +y2) +4(x + y) + = xy > 1 Tìm giá trị lớn biểu thức : M x y HẾT -(Đề thi gồm có trang) Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: ; Số báo danh PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM Mơn thi: TỐN - Lớp Bài 1: (2 điểm) Ý/Phần ĐKXĐ: x > 0, x Đáp án Điểm x x x x x 1 x P : ( x 1)( x x 1) 0.25 x x 1 2 ( x 1)( x x 1) x x x 0.25 2 P x x 0 x x 1 0.25 x ( x 3) 0 x 2 ( x ) x = ( Thỏa mãn điều kiện) 0.25 Vậy x = 0.25 ĐKXĐ: x > 0, x 1 * Do x x = x nên P > 2 0.25 * Với x > x x nên x x > 0.25 1 P 2 x x 1 x x 1 Do đó: < P < nên P.(P – 2) < P2 < 2P 0.25 Bài 2: (2 điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm x 3x x x x 2x x 1 x x x 1 x 0 x x 0 x 2 Điều kiện: x x 1 x 3 0 x 1 x 0.25 x x 1 x 1 x 1 x 3 x 0 x 0 x 0 x x 0 x 1 x 2 x x 0.5 x = (t/m đkxđ) Vậy phương trình có nghiệm x = 2 x x 1 y 0.25 (1) Ta có x 0 x ( x ) x x ( x 1) Do từ (1) ( x ) y ( x 1) (*) Vì x2 x2 + số tự nhiên liên tiếp nên từ (*) y ( x 1) 0.25 ( x 1)2 x x x 0 x 0 0.25 y 1 y 1 Vậy pt cho có nghiệm nguyên : (0 ; 1), ( ; -1) 0.25 0.25 Bài 3: (2 điểm) Ý/Phần Đáp án a) Tọa độ giao điểm A (d1) (d2) nghiệm hệ x 3y 0 x 2y 0 Điểm phương trình: 0.25 Giải hệ phương trình ta x = 1; y = Vậy hai đường thẳng cắt A (1; 2) b) Ba đường thắng cắt tai điểm suy (d3) qua A 0.25 m 0 m 3.2 2m 0 m m 0 m 2 0.25 +) Với m = (d3) có dạng x 3y 0 trùng với (d1) (loại) Vậy m = giá trị cần tìm Giả sử 1990 + n2 số phương 1990+ n2 = m2 (m N ) Từ suy m2 - n2 = 1990 (m + n) (m – n) = 1990 Như số m n phải có số chẵn (1) 0.25 0.25 Mặt khác m + n + m – n = 2m số m + n m – n tính chẵn lẻ (2) Từ (1) (2) m + n m – n số chẵn (m + n) (m – n) 1990 không chia hết cho Điều giả sử sai Vậy không tồn số tự nhiên n để: 1990 + n2 số phương 0.25 0.25 0.25 Bài 4: (2 điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm A E F G O H B D C M K + Vì ACK nội tiếp đường trịn (O) đường kính AK nên ACK vng C KC AC + Ta có BE AC (gt) KC // BE hay KC // BH + Chứng minh tương tự ta có KB // CH 0.5 0.25 + Kết luận tứ giác BHCK hình bình hành Chứng minh SAHG = 2SAGO 0.25 + Vì M trung điểm BC (cmt) AM đường trung tuyến ABC + ABC có AM đường trung tuyến, G trọng tâm (gt) 0.25 G thuộc đoạn AM, AG = AM + Vì M trung điểm HK (cmt) AHK có AM đường trung tuyến Mà G thuộc đoạn AM, AG = AM (cmt) G trọng tâm AHK + Chứng minh HO qua G, HG = 2GO 0.25 0.25 0.25 + AHG AGO có chung đường cao kẻ từ A đến HO, HG = 2GO Do đó: SAHG = 2SAGO Chứng minh: AD BE CF 9 HD HE HF 1 HD.BC HE AC HF AB HD HE HF 2 Ta có: AD BE CF 1 AD.BC BE AC CF AB 2 S S S = HBC + HAC + HAB SABC SABC SABC S + SHAC + SHAB SABC = HBC = =1 SABC SABC 3) 0.5 + Chứng minh toán phụ: Cho x > 0, y > 0, z > Chứng minh : (x+y+z) ( 1 ) 9 x y z Sử dụng x y z 3 xyz ta có 1 ( 1 1 ) 3.3 x y z xyz 0.25 (x+y+z) ( ) 9 x y z + Áp dụng kết toán ta có: ( HD HE HF AD BE CF ).( ) 9 AD BE CF HD HE HF Mà: 0.25 HD HE HF + + = (cmt) AD BE CF Do đó: AD BE CF 9 HD HE HF Bài 5: (1điểm) Ý/Phần Đáp án Ta có : x + y + 3(x +y ) +4(x + y) + = x3 + 3x2 + 3x +1 + y3 + 3y2 + 3y + + x + y + = (x + 1)3 + (y + 1)3 + (x + y + 2) = (x + y + 2)[(x + 1)2 – (x + 1)(y + 1) + (y + 1)2 + 1] = (*) Vì x 2 Điểm 2 1 – x 1 y 1 y 1 1 0.5 0.25 = x 1 y 1 y 1 Nên (*) x + y + = x + y = - 1 x y 2 Ta có : M x y x y x y 2 x y 4 xy 4 xy xy 1 xy Vậy Max M = -2 x = y = -1 0.25