PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2021-2022 KHỐI LỚP Mơn : TỐN Thời gian làm : 150 phút Bài Giải phương trình sau : x 1 x x x 1) 2022 2021 2020 2019 2) x x x x 12 0 3 3) x 2 x Bài 2 1) Tìm x y nguyên thỏa mãn : x y 3xy x y 0 a10 b10 c10 A 10 10 10 30 30 30 30 30 30 20 20 20 b c a 2) Cho a b b c a c 3a b c Tính Bài Cho đường trịn O; R , hai đường kính AB, CD Qua B kẻ tiếp tuyến với đường tròn O cắt AD AC kéo dài E F Gọi M , N trung điểm BE , BF a) Chứng minh ACD ∽ AEF b) Trực tâm G tam giác AMN có trung điểm OB hay khơng c) Tìm điều kiện đường kính AB CD O; R để diện tích tam giác AMN nhỏ Bài Diện tích tồn trang sách S Do yêu cầu kỹ thuật nên dòng đầu dòng cuối phải cách mép trang sách a Lề bên trái lề bên phải phải cách mép trái mép phải b Hãy xác định tỷ số kích thước trang để sách cho diện tích phần in chữ có giá trị lớn ĐÁP ÁN Bài Giải phương trình sau : 4) x 1 x x x x 1 x2 x 3 x4 1 1 1 1 2022 2021 2020 2019 2022 2021 2020 2019 1 x 2023 0 x 2023 2022 2021 2020 2019 x x x x 12 0 x x x 10 x x 12 0 x x x x 0 x 1 5) x 2 x x3 2 x x 2 x 1 x x 1 6) 2x x 1 x 1 x 1 0 x 1 x 1 x x 3 2 x 1 2 x 1 1 VN Bài 2 3) Tìm x y nguyên thỏa mãn : x y 3xy x y 0 Ta có : x y xy x y 0 x xy x xy y y x x y 1 y x y 1 x y x y 1 Ta hệ phương trình Vậy ta có nghiệm 4; 3 , 6;5 , 6; 3 , 8;5 a10 b10 c10 A 10 10 10 30 30 30 30 30 30 20 20 20 b c a 4) Cho a b b c a c 3a b c Tính 10 10 10 3 3 3 2 Đặt a x, b y, c z x, y, z 0 x y y z z x 3x y z Áp dụng bất đẳng thức Cô – si : x y y z z x 3 x y y z z x3 3x y z 3 3 3 Dấu xảy x y y z z x x y z A x y z 8 y z x Bài Cho đường tròn O; R , hai đường kính AB, CD Qua B kẻ tiếp tuyến với đường tròn O cắt AD AC kéo dài E F Gọi M , N trung điểm BE , BF A D O C E K G M B d) Chứng minh ACD ∽ AEF N F AC AE AD AF AB AC AF , CAD AD AE chung ACD ∽ AEF Ta có e) Trực tâm G tam giác AMN có trung điểm OB hay không Gọi G trung điểm OB , gọi K giao điểm MG, AN ABC vuông A, đường cao AB AB EB.FB AB FB EB AB AB CB OB NB EBO ∽ ABN EB AB EB AB Lại có MG đường trung bình EBO MG / / EO MK AN , mặt khác : AB MN Vậy trung điểm G OB trực tâm AMN f) Tìm điều kiện đường kính AB CD O; R để diện tích tam giác AMN nhỏ Ta có : S AMN AB.MN R R R.MN BE BF BE BF R AB 2R 2 2 Đẳng thức xảy EB BF AEF vuông cân A nên AB CD Vậy Min S AMN 2 R AB CD Bài Diện tích toàn trang sách S Do yêu cầu kỹ thuật nên dòng đầu dòng cuối phải cách mép trang sách a Lề bên trái lề bên phải phải cách mép trái mép phải b Hãy xác định tỷ số kích thước trang để sách cho diện tích phần in chữ có giá trị lớn Diện tích trang sách S xy Diện tích in S ' x 2b y 2a S 4ab ax by Vì ax by 2 abS S ' S 4ab abS Dấu xảy ax by x b b x y y a a b aS aS bS S xy y y y x a b b a