SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS KHOÁ NGÀY 18 – – 2017 Đề thức Mơn thi: TỐN Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian phát đề) Ngày thi: 18/3/2017 Bài (6,0 điểm) Cho biểu thức: P = 2m 16m m2 m m m m 3 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị tự nhiên m để P số tự nhiên Cho biểu thức: P = (a + b)(b + c)(c + a) – abc với a, b, c số nguyên Chứng minh a + b + c chia hết cho P chia hết cho Bài (5,0 điểm) 1 a) Chứng minh rằng: với số thực x, y dương, ta ln có: x y x y b) Cho phương trình: x 3mx (m tham số) Có hai nghiệm x1 x2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M = x1 x2 x12 x22 x2 x1 Bài (2,0 điểm) Cho x, y, z ba số dương Chứng minh rằng: 1 1 1 x yz y xz z xy xy yz zx Bài (7,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn tâm O bán kính R M điểm di động cung nhỏ BC đường trịn a) Chứng minh MB + MC = MA b) Gọi H, I, K chân đường vng góc hạ từ M xuống AB, BC, CA Gọi S, S’ diện tích tam giác ABC, MBC Chứng minh rằng: Khi M di động ta ln có đẳng thức: MH + MI + MK = S + 2S' 3R Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AD, BE, CF đường cao Lấy M đoạn FD, lấy N tia DE cho MAN = BAC Chứng minh MA tia phân giác góc NMF Lbinhpn thcsphuochoa ĐÁP ÁN Bài (6,0 điểm) 1a) Rút gọn P = m 1 (với m 0, m 1) m 1b) P= m 1 = 1+ m Ta có: P N m N m m ước dương m 4; 9 (TMĐK) Vậy m = 4; m = giá trị cần tìm 2) a + b + c (a, b, c Z) Đặt a + b + c = 4k (k Z) a + b = 4k – c ; b + c = 4k – a ; a + c = 4k – b Ta có: P = (a + b)(b + c)(c + a) – abc = (4k – c)(4k – a)(4k – b) – abc = 16k 4ak ack ac 4k b abc = 64 k 16bk 16ak 4abc 16ck 4bck 4ack abc abc 2 = 16k 4bk 4ak abk 4ck bck ack 2abc (*) Giả sử a, b, c chia dư a+ b + c chia dư (1) Mà: a + b + c a + b + c (theo giả thiết) (2) Do (1) (2) mâu thuẫn Điều giả sử sai Trong ba số a, b, c có số chia hết cho 2abc (**) Từ (*) (**) P Bài (5,0 điểm) 1 ab 2 a) x y x y ab a b a b 4ab a b (đúng) b) PT có a, c trái dấu nên ln có hai nghiệm phân biệt x1 x2 Ta có: x1 x2 3m x1.x2 2 M = x1 x2 x1 = x12 x22 = = x2 x1 2 x1 x2 x1 x2 x2 x1 x2 x1 x2 2 x1 x2 x1x2 2 m 8 Dấu “=” xảy m = Vậy GTNN M m = Bài (2,0 điểm) Áp dụng BĐT Cô si cho số dương x yz, ta có: 1 1 x + yz x yz x yz x yz x yz x yz Lbinhpn thcsphuochoa 1 1 1 Tương tự, ta có: y xz z xy z xy y xz 1 1 1 x yz y xz z xy x yz y xz z xy 1 yz xz xy Ta có: x yz y xz z xy = (2) xyz Suy ra: (1) Ta có: yz xz xy x + y + z (3) Thật vậy: (*) yz xz xy x y z x y z x y x (BĐT đúng) Dấu “=” xảy x = y = z 1 xyz 1 Từ (2) (3) suy ra: x yz y xz z xy xyz yz xz xy (4) Từ (1) (4) suy ra: 1 1 1 x yz y xz z xy xy yz zx Bài (7,0 điểm) 1.a) Cách 1: Trên tia đối tia MC lấy điểm E cho ME = MB Ta có: BEM tam giác BE = BM = EM A BMA = BEC MA = EC Do đó: MB + MC = MA O Cách 2: Trên AM lấy điểm E cho ME = MB E Ta có: BEM tam giác B BE = BM = EM MBC = EBA (c.g.c) MC= AE M Do đó: MB + MC = MA 1.b) Kẻ AN vng góc với BC N Vì ABC tam giác nên O trọng tâm tam giác A, O, N thẳng hàng AN = A O B C C M E A R AN 3 R: R sin ABN 2S 2S I N B Ta có: MH AB S ABM MH ABM = ABM AB R H S 2S ACM ACM MK AC S ACM MK = M AC R 2S BCM 2S ' 2S MI BC S BCM MI BCM = = R BC R 2S ' 2S ' S ABMC S ABM S ACM = Do đó: MH + MK + MI = + + R R R R 2S ' S 2S ' S S ' = + R 3R R Ta có: AN = AB.sin ABN AB Lbinhpn thcsphuochoa O K C Qua M kẻ đường thẳng song song với BC cắt DE K Tứ giác AEDB nội tiếp CDE BAC Mà: MKD CDE (vì MK // BC) Tứ giác AMKN nội tiếp Do đó: MKD MAN AMN AKN D (= BAC D Ta có: D ) D DMK có DA phân giác vừa đường cao nên cân D DM = DK AMD = AKD (c.g.c) AMD AKD F Nên: AMF AKN Ta có: AMF AMN AKN A N E H Vậy: MA phân giác góc NMF K M B Lbinhpn thcsphuochoa D C