Chuong 5 hh khong gian phan01

CHƯƠNG 05 BÀI TỐN VẬN DỤNG CAO HÌNH HỌC KHƠNG GIAN …………………………………………………………………… Chủ đề Thể tích khối đa diện       Thể tích khối chóp Thể tích khối lăng trụ Thể tích khối hộp chữ nhật Thể tích khối lập phương Định lý tỉ số thể tích khối tứ diện khối chóp tam giác Bài tập áp dụng – Lời giải chi tiết Chủ đề Mặt cầu – khối cầu     Định nghĩa mặt cầu Cơng thức tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu Phương pháp tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC Bài tập áp dụng – Lời giải chi tiết Chủ đề Mặt nón khối nón  Định nghĩa mặt nón  Hình nón khối nón  Bài tập áp dụng – Lời giải chi tiết Chủ đề Mặt trụ - khối trụ     Định nghĩa mặt trụ Hình trụ khối trụ Diện tích xung quanh, diện tích tồn phần hình trụ thể tích khối trụ Bài tập áp dụng – Lời giải chi tiết Chủ đề Ứng dụng hình học khơng gian giải tốn thực tế  Bài tập áp dụng  Lời giải chi tiết Đề ôn tập chương Lời giải chi tiết CHƯƠNG 05 BÀI TỐN VẬN DỤNG CAO HÌNH HỌC KHƠNG GIAN CHỦ ĐỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Trước vào phần tập bạn đọc cần trang bị cho kiến thức tối thiểu: Thể tích khối chóp V  B.h Cơng thức tính: với B diện tích đáy, h chiều cao khối chóp h B Thể tích khối lăng trụ V B.h với B diện tích đáy, h chiều cao lăng trụ h B Thể tích khối hộp chữ nhật V a.b.c với a, b, c ba kích thước a b c Thể tích khối lập phương V a với a độ dài cạnh a a a Định lý tỉ số thể tích khối tứ diện khối chóp tam giác S A' C' B' C A B Cho khối tứ diện SABC A ', B ', C ' điểm tùy ý thuộc SA, SB, SC ta có: VSABC SA SB SC  VSA ' B 'C ' SA ' SB ' SC ' Chúng ta vào ví dụ minh họa để thấy có liên quan đến thể tích khối đa diện khó, địi hỏi khả vận dụng cao BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' cạnh a Gọi M , N trung điểm A ' B ' BC Mặt phẳng  DMN  chia khối lập phương cho thành hai khối đa diện Gọi  H  khối đa V H  diện chứa đỉnh V H  V  A  H ' Lời giải A,  H ' khối đa diện cịn lại Tính tỉ số V H  37 48 B A' V H ' M  V H  55 89 C V H ' V H '  V H  D V H '  B' I K C' D' A B J N D C AN  ND J , JM  BB ' K Ta có: BK 2 B ' K ; I  A ' D ' A' I  D ' D ' Ta có: Suy thiết diện KMIDN V H  VABA ' KMIDN VD ABKMA '  VD.BKN  VD.MA ' I  a a  1 a 2a 1 a a 55a  a  a    a  a    2 3 2 144 55a 89a3 V 55  V H ' a    H  144 144 VH ' 89 Chọn B Bài 2: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh 4, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M , N , P trung điểm cạnh SD, CD, BC Thể tích khối chóp S ABPN x, thể tích khối tứ diện CMNP y Giá trị x, y thỏa mãn bất đẳng thức đây: 2 A x  xy  y  160 2 B x  xy  y  109 C x  xy  y  145 D x  xy  y  125 Lời giải + Gọi H trung điểm AB S SAB    ABCD   SH   ABCD  Do ABC  M AB SH  2 Xét ABC đều: + Ta có: S ABPN S ABCD  S ADN  SCND A AD.DN CN CP 4.2 2.2  4   10 2 2 1 20 20  VS ABPN  S ABPN SH  10.2   x 3 3 AN  HD  K  MK H  AB  + Gọi D K B P N C đường trung bình DHS ta có 1 1 1 2.2 3  HK  SH  VCMNP  SCNP MK  CN CP .SH    y 3 2 2 3 Thay vào đáp án Chọn C Bài 3: Cho hình chóp tam giác S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân đỉnh C SA vuông góc  ABC  , SC a, SCA  với mặt phẳng  Xác định góc  để thể tích khối chóp A  arcsin C  arcsin B  arcsin D SABC lớn  3arcsin Lời giải BC  AC a.cos ; SA a.sin  1 VSABC  S ABC SA  AC.BC.SA  a sin .cos 2 6  a sin    sin   f  x  x  x  0;1 Xét hàm số: Ta có: khoảng f '  x  1  3x , f '  x  0  x  Từ ta thấy khoảng  hàm số đạt GTLN hay: 0;1 hàm số f  x liên tục có điểm cực trị điểm cực đại, nên     max f  x   f    arcsin ,  0     x 0;1 2   3 hay  Chọn A Bài 4: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAB tam giác đều, SC SD a Tính thể tích khối chóp S ABCD a3 a3 a3 V V V A B C a3 V D Lời giải Gọi I trung điểm AB;J trung điểm CD từ giả thiết ta có: IJ a; SI  a a 11 a SJ  SC  JC  3a   S M J I H N D A C B Áp dụng định lý cosin cho tam giác SIJ ta có: 3a 11a  IJ +IS  SJ 4  a   cos S IJ   2.IJ.IS a a2 2.a  Suy ra, tam giác SIJ tam giác có SIJ tù Từ giả thiết tam giác SAB tam giác SCD cân  ABCD  , S S IJ HJ H H I   đỉnh Gọi 2 a2  hình chiếu ta có thuộc nằm tức tam  giác vng SHI có H 90     cos I cos SIH  cos S IJ  SIJ va SIH ke bu  sin SIH  3 Góc I nhọn a a  SH SI sin SIH   Xét tam giác SHI ta có  VS ABCD Vậy Chọn C  1 a a3  S ABCD SH  a  3 P Bài 5: Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a Gọi   mặt phẳng qua A SBC  , P song song BC vng góc với  góc   với mặt phẳng đáy 30 Thể tích khối chóp S ABC là: a3 A 24 a3 B a3 C 3a D Lời giải S Tổng qt: Cho hình chóp tam giác S ABC P có cạnh đáy a Gọi   mặt phẳng SBC  , qua A song song BC vng góc với  góc F  P  với mặt phẳng đáy  Thể tích khối chóp S ABC là: Áp dụng này:  S ABC + ABC + Gọi G trọng tâm  E a cot 30 a  24 24 VS ABC  a VS ABC H a cot   24 x P  SBC =EF  EF//BC  P  SBC  =Ax Mà G M B     + Gọi    + Gọi M trung điểm BC , SM  EF  N Ta có: C A với Ax / / EF / / BC AM  BC , SG  BC  BC   SAM   AN  BC  AN  Ax  AM  BC , BC / / Ax  AM  Ax   300  P  ,  ABC   NAM    Ta có: GSM  NAM  (cùng phụ với SMA ) 1 a a  SG GM cot GSM  AM cot 300  3 3 2 Xét SGM vng G có: 1 a a a VS ABC  S ABC SG   3 24 Vậy: Chọn A Bài 6: Cho hình chóp S ABCD, đáy ABCD hình thang vng A, D; AB  AD 2a, CD a Góc hai mặt phẳng  SBC   ABCD   SBI  ,  SCI  vng góc với mặt phẳng 15 a A 600 Gọi I trung điểm AD, biết hai mặt phẳng  ABCD  S ABCD Tính thể tích khối chóp 17 a B 19 a C Lời giải 23 a D S J B A I H D C Gọi H trung điểm BC , I hình chiếu H lên BC , J trung điểm AB Ta có SI  mp  ABCD  , IC  ID  DC a IB  IA2  AB a BC IB  CJ  JB a 1 1 S ABCD  AD  AB  CD  3a ; S IAB  IA.AB a SCID  DC.DI  a 2 2  S IBC S ABCD  S IAB  S DIC  3a 2S 3 IH  IBC  a S IBC  IH BC , BC Mặt khác nên SI IH tan 600 a 15 VS ABCD  SI S ABCD  a Do Chọn A Bài 7: Cho khối hộp ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh bên 1.; đáy ABCD hình chữ nhật có ABB ' A ' ADD ' A '  cạnh BA  3, AD  7; mặt bên   hợp với mặt đáy góc theo thứ tự 450 ;600 Thể tích khối hộp là: A (đvdt) B (đvdt) C (đvdt) Lời giải D (đvdt) C' D' A' B' D C 600 J H A Dựng 450 B I A ' H   ABCD    A ' I  AB, A ' J  AD  HI  AB, HJ  AD Ta có A ' IH 45 ; A ' JH 60 Đặt A ' H h  Tam giác HA ' J vng có A ' JH 60 nên nửa tam giác có cạnh A ' J , đường cao A ' H , HJ  A' J  nửa cạnh h 2h 12h  12h   A ' J  AA '2  A ' J 1   9  12h 0h với Tam giác HA ' I vuông cân H  IH  A ' H h AIHJ hình chữ nhật  AJ  AJ IH   12h h   12h 9h  h  21 ABCD A ' B ' C ' D ' : V S ABCD A ' H  3 21 (đvdt) Thể tích khối hộp Chọn B Bài 8: Cho khối hộp ABCD A ' B ' C ' D ' có tất cạnh bên a góc A ' AB, BDA, A ' AD   00    900  Tính thể tích V khối hộp A V a sin 2 cos V 2a sin C Lời giải a  cos 2 arcsin  B  a cos  cos 2 2 V 2a sin  cos D.Đáp số khác 10 a  cos 2 SC SA2  AC a R IS=   2 Vậy bán kính Chọn C Bài 7: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Cạnh bên SA a vng góc với đáy A a Lời giải  ABCD  Tính theo a diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp B 8 a C 2a S ABCD ta được: D 2 a S I D A O B C Gọi O  AC  BD, suy O tâm đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD Gọi I trung điểm SC, suy IO / / SA  IO   ABCD  IA IB IC ID  1 Do IO trục hình vng ABCD, suy ra: IS IC IA   Tam giác SAC vng A có I trung điểm cạnh huyền SC nên Từ     , ta có: R IA IB IC ID IS= SC a 2 Vậy diện tích mặt cầu S 4 R 8 a (đvdt) Chọn B Bài 8: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân B AB a Cạnh bên SA a , hình chiếu điểm S lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm cạnh huyền AC Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC là: a A a B a C a D Lời giải SM  ABC  SM  AC   Gọi M trung điểm AC, suy Tam giác SAC có SM đường cao trung tuyến nên tam giác SAC cân S 2 Ta có AC  AB  BC a 2, suy tam giác SAC Gọi G trọng tâm tam giác SAC, suy GS GA GC 18  1 Tam giác ABC vuông B, có M trung điểm cạnh huyền AC nên M tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC S G A M C B Lại có SM   ABC  nên SM trục tam giác ABC Mà G thuộc SM nên suy GA GB GC  2  1 ,   , suy GS GA GB GC hay G tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC a R GS  SM  3 Bán kính mặt cầu Chọn B Từ a 21 Bài 9: Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a cạnh bên Gọi h R chiều cao khối chóp R bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp Tỉ số h bằng: 7 A 12 B 24 C D Lời giải Gọi O tâm ABC , suy Trong SOA, ta có SO   ABC  AO  a a h SO  SA2  AO  19 S M I A C O B SOA ,  kẻ trung trực d đoạn SA cắt SO I, suy ra: Trong mặt phẳng   I  d nên IS IA  I  SO nên IA IB IC Do IA IB IC IS nên I tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC Gọi M trung điểm SA, ta có SOA đồng dạng SMI nên R SI  SM SA SA2 a   SO 2SO 12 R  Vậy h Chọn C Bài 10: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với mặt đáy góc 600 Thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD là: 2 a 8 a 8 a 4 a 27 A B C D Lời giải S d A D O B Gọi C O  AC  BD  SO   ABCD  20