T 14 1~1

STRONG TEAM TOÁN VD-VDC TRƯỜNG THPT THỊ XÃ QUẢNG TRỊ (Đề thi có 01 trang) TỔ 14 KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 NGÀY 03 THÁNG NĂM 2019 Thời gian làm bài: 180 phút, không thể thời gian phát đề Họ và tên: ………………… ………………………SBD:…………………… 2 Câu I.1 Giải phương trình: sin x.cos x  sin x 0 Câu I.2 Cho x1 x2 hai nghiệm phương trình: x  x  a 0 , x3 x4 hai nghiệm phương trình: x  12 x  b 0 Biết x1 , x2 , x3 , x4 theo thứ tự lập thành cấp số nhân Hãy tìm a, b Câu II.1 Cho k số tự nhiên thỏa mãn: k 2014 Chứng minh rằng: k k1 k k C50 C2014  C51.C2014   C55 C2014 C2019 Câu II.2 Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: m    x   x  2  x   x   x Câu III Cho dãy số  un  u1 sin1; un un   sin n n , với n  , n 2 Chứng xác định bởi: u  minh dãy số n xác định dãy số bị chặn Câu IV Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC cạnh a tam giác BCD cân D với a DC  Chứng minh rằng: AD  BC Gọi G trọng tâm tam giác BCD , tính cosin góc hai đường thẳng AG CD , biết góc hai mặt phẳng ( ABC ) ( BCD) 30 Câu V A  2;1 , B  1;   Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC , với , trọng tâm G tam giác nằm đường thẳng x  y – 0 Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam giác ABC 27 2 Câu VI Cho số dương a, b, c thỏa mãn: a  b  c 3 Chứng minh rằng:      1  2     1 3  a  b  c   2  a b  b c  c a  Đẳng thức xảy nào?  HẾT   Trang  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC TỔ 14 TRƯỜNG THPT THỊ XÃ QUẢNG TRỊ (Đề thi có 01 trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 NGÀY 03 THÁNG NĂM 2019 Thời gian làm bài: 90 phút, không thể thời gian phát đề Họ và tên: ………………… ………………………SBD:…………………… LỜI GIẢI CHI TIẾT 2 Câu I.1 Giải phương trình: sin x.cos x  sin x 0 Lời giải Cách 1: Tác giả: Dương Đức Tuấn ; Fb: Dương Tuấn Ta có: sin x 3sin x  4sin x sin x   4sin x  sin x   cos x  sin x.cos x  sin x 0   sin x   cos x   cos x  sin x 0   Vậy ta có:  sin x    cos x  cos x 1 0  sin x  cos3 x  cos 2 x  cos x 1 0    x k  sin x 0 k  sin x  cos x  1  cos x  1 0     x   cos x -1  x   k  k x với k   Vậy nghiệm phương trình là: 2 Cách 2: Tác giả:Phạm Hữu Thành ; Fb: Phạm Hữu Thành 2 Ta có: sin x cos x  sin x 0   cos x  cos x cos x  0 2  cos x  cos x cos x   cos x 0  cos x cos x  0  cos8 x  cos x  0  cos x  cos x  0   cos x  1  cos x   0  cos x  0  cos x   x     cos x 1  x k 2  x k  ,k  Câu I.2 Cho x1 x2 hai nghiệm phương trình: x  x  a 0 , x3 x4 hai nghiệm phương trình: x  12 x  b 0 Biết x1 , x2 , x3 , x4 theo thứ tự lập thành cấp số nhân Hãy tìm a, b Lời giải Tác giả: Phạm Huyền; FB: Phạm Huyền  Trang  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC TỔ 14 Gọi q công bội CSN  x2  x1q; x3  x1q ; x4  x1q Theo viet ta có:  x1  x2 3  x x a     x3  x4 12  x3 x4 b (1)  x1 (1  q ) 3  x x a (2)    x1q (1  q ) 12 (3)  x x b (4)  Từ (1) (3) suy q 4 + q 2 từ (3) suy x1 1 , giải a 2; b 32 + q  từ (3) suy x1  , giải a  18; b  288 Câu II.1 Cho k số tự nhiên thỏa mãn: k 2014 Chứng minh rằng: k k1 k k C50 C2014  C51.C2014   C55 C2014 C2019 Lời giải Tác giả: Đinh Thị Phương Trâm, Facebook: trâm đinh 2014 ( x 1) 2019 Ta có: ( x 1) ( x 1) 2 3 4 5 Đặt M ( x  1) C5  C5 x  C5 x  C5 x  C5 x  C5 x k 2014 2014 N ( x  1) 2014 C2014  C2014 x  C2014 x   C2014 x k   C2014 x k 2019 2019 P ( x  1) 2019 C2019  C2019 x  C2019 x   C2019 x k   C2019 x k Vì P M N nên số hạng chứa x P có dạng: k k k1 k1 k k k k C2019 x k C50 C2014 x k  C51 x C2014 x  C52 x C2014 x  C55 x C2014 x k k1 k k k k k C50 C2014 x k  C51.C2014 x  C52 C2014 x   C55 C2014 x (*) k k1 k k Thay x 1 vào (*) ta có: C5 C2014  C5 C2014   C5 C2014 C2019 Câu II.2 Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: m    x   x  2  x   x   x Lời giải Tác giả: Vĩnh Tín, FB: Vĩnh Tín Điều kiện xác định phương trình:   x 1 2  1;1 Đặt t   x   x Khi t liên tục  t 0  t 2   x 2  t   0;  Phương trình trở thành: Xét f (t )  m(t  2)  t  t   m   t2  t  t 2  t2  t  ; t   0;   0;   t 2 ta có f (t ) liên tục   t  4t f '(t )   0, t  0; (t  2)    f (t ) nghịch biến  0;  Vậy phương trình cho có nghiệm thực f ( 2)   m 1  f (0)  Trang  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Câu III Cho dãy số  un  TỔ 14 u1 sin1; un un   sin n n , với n  , n 2 Chứng xác định bởi: u  minh dãy số n xác định dãy số bị chặn Lời giải Tác giả: Cao Hoàng Nam; FB: Hoang Nam 1     2, n  N * n Ta có: , 1 1 1 1 1 1         1        2   2 n 1.2 2.3 n.( n  1) 2 n n n Vì sin1 sin sin n un     2 n Bằng qui nạp ta chứng minh được:  1 1         un      2, n  N * n  n 1 Suy : Vậy dãy số  un  xác định dãy số bị chặn Câu IV Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC cạnh a tam giác BCD cân D với a DC  Chứng minh rằng: AD  BC Gọi G trọng tâm tam giác BCD , tính cosin góc hai đường thẳng AG CD , biết góc hai mặt phẳng ( ABC ) ( BCD) 30 Lời giải Tác giả:Bùi Thu Hương ; Fb:Cucai Đuong 1)Gọi M trung điểm BC, ta có: ABC nên AM  BC , DBC cân nên DM  BC  BC  ( AMD )  BC  AD ìï ( ABC ) È ( DBC ) = BC ïï ï AM Ì ( ABC ) , AM ^ BC í ïï ï DM Ì ( DBC ) , DM ^ BC 2) Ta có ïỵ nên góc hai mặt phẳng ( ABC ) ( BCD)  Trang  STRONG TEAM TỐN VD-VDC TỔ 14 góc hai đường thẳng MA, MD Từ đó, góc hai đường thẳng MA, MD 30 Kẻ GN / /CD , nối AN a a MD a  MG  , AM  ·DAM ABC nên + TH1: 30 , ta có: Áp dụng định lí cosin cho AMG : AG = AM + MG - AM MG.cos 300 ỉa ỉa ÷ ư2 a a 13a ữ ỗ ỗ ữ AG = ỗ + = ữ ỗ ữ ỗ ữ ç è3 ÷ ø ç 36 è ø a 13 CD a a , GN   ANC AN  6 Trong ANG ta có có - 5 cos ·AGN = cos = · 65 Gọi ( AG; CD) = a 65 có AG  · + TH2: AMD 1500 Tính tương tự ta có: Câu V cos = 13 A  2;1 , B  1;   Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC , với , trọng tâm G tam giác nằm đường thẳng x  y – 0 Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam giác ABC 27 Lời giải Tác giả: Cao Hoàng Nam; FB: Hoang Nam   1 M ;   2  Gọi C  a; b  , Gọi M trung điểm AB , ta có : a 3 b   a 3 b  1 G ;   0  a  b  0, (1) d   3 suy  , AB : x  y  0  d (C ; AB)  mặt khác 3a  b  10 , 3a  b  27 27 S  AB.d (C ; AB)   10   3a  b  27, (2) 2 2 10 Diện tích Từ (1) (2) ta có hệ:   a  b 4   3a  b 32    a  b 4   3a  b  22  a 9  C  9;     b   9  a   C   ; 17        17  2 b    2 Câu VI Cho số dương a, b, c thỏa mãn: a  b  c 3 Chứng minh rằng:      1  2     1 3  a  b  c   2  a b  b c  c a  Đẳng thức xảy nào? Lời giải  Trang  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC TỔ 14 Tác giả: Hồ Văn Thảo ; Fb: Thảo Thảo   a  b2 3  c    2   a2 b  c  2  a  c 3  b2 Ta có  , a  b  c 3 Áp dụng BĐT Cauchy cho số dương: 4 4    a  2  a  4   a   2  a  2  3 a 3 a 3 a b c   c  a  b     c  2 Tương tự ta chứng minh được:  a  b Nhân vế theo vế bất đẳng thức chứng minh ta được:      1  2  1   1  a    b    c    2  a b  b c  c a  a Ta xét: 2    b      a  1  1   b  1  1  a  1  b  1  a  b  Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: 2 2 a  b   a  b  a  b   a  b  ,     a  b  2 3    a    b    c      a  b   3  c   2    a    b2    a  b     a  b 2     a    b    c   3     1      2   a    b    c   3  a  b  c    2  c  3  a  b  1.c       2      1  2  1   1 3  a  b  c   2  b c  c a  Vậy nên  a  b Dấu " " xảy a b c 1  HẾT   Trang 