Chuong 03b

Vậy b|i to{n tìm gi{ trị lớn v| nhỏ P đưa khảo s{t h|m biến  2  ;  f ( x )  3x  3x đoạn   3  Ví dụ Cho a,b,c l| c{c số thực dương thoả mãn điều kiện Tìm gi{ trị lớn v| gi{ trị nhỏ biểu thức P  a b c   5 b c a b c a   a b c Lời giải  xyz  a b c Đặt x  , y  , z     b c a   x  y  z  Ta cần tìm gi{ trị lớn nhỏ biểu thức P  1   x y z    yz  2   y  z   yz  5  x   Ta có  x   x  y  z  5 x  x   2   x   x  x  1    3  2  x  Khi P  x 5  x   1 yz    x 5  x   x yz x x Xét h|m số f ( x )  x 5  x   x liên tục  D  3  2;4  3  2;  dễ có      17 f ( x )  f    f (4)  ;max f ( x )  f  2     x D x D   Ví dụ (TSĐH Khối B 2012) Cho c{c số thực x,y,z thỏa mãn x  y  z  x  y  z  Tìm gi{ trị lớn biểu thức P  x  y  z Lời giải Ta có: x  y  z   x  y  z     x yz 0          2   xy  yz  zx   x  y  z  xy  yz  zx      x  y  z         1 Suy y  z  x x  y  z   yz    yz    x 2   6 x Mặt kh{c  y  z   yz  x    x      3 Khi : P  x   y  z   yz  y  z  10 y z  y  z  5  x   y  z   yz  y  z   yz  y  z  10 y z  y  z            1 10 x  x  x  (x )5    x  x    x  (x ) 10   x  (x )          Xét h|m số f ( x )  10 x  5x liên tục    ;  ta được:  3    30 x  ; f '( x )   x     6 6   Ta có f    f     , f    f   36     f '( x )  Suy P  f ( x )         36   36 Vậy gi{ trị lớn P 6 đạt x  ,y  z  36 Bình luận Biểu thức P l| x nên theo kết ta tìm gi{ nhỏ P Ngo|i biến đổi P sau: trị P  x  y  z  x   y  z  y  z  y z  y  z  Ví dụ Cho a,b,c l| c{c số thực thuộc đoạn 1;4  a  b  2c  Tìm gi{ trị lớn biểu thức P  a3  b  5c Lời giải Theo giả thiết ta có  c  a  b  2c    2c  c  1;3 3 Ta có P  a  b   3ab a  b   5c  8  2c   3ab 8  2c   5c  3c  96c  384c  512  3ab 8  2c  Với a, b   a 1b 1   ab  a  b 1   2c  Khi P 3c  96c  384c  512  37  2c 8  2c   3c  84c  294c  344 Xét h|m số f (c )  3c  84c  294c  344 liên tục đoạn 1;3 ta có f '(c )  9c  168c  512; f '(c )   c  c  28  10  1;3 Ta có f’(c) đổi dấu từ }m sang dương qua c nên f(c) nên f(c) đạt cực tiểu c Do P  f (c )  max  f (1); f (3)  f (3)  137 Đẳng thức xảy v| a  b  1, c  Vậy gi{ trị lớn P 137 đạt a  b  1, c  2) Đánh giá thơng qua đại lượng trung bình ba biến số Với số thực x,y,z ta ln có 3 x  y  z    x  y  z  ; 2  x  y  z   3 xy  yz  zx ;  xy  yz  zx   3xyz  x  y  z  Với x,y,z l| c{c số thực không }m ta ln có x yz  xyz xyz   x  y  z  y  z  x  z  x  y   x  y  y  z  z  x    x  y  z  xy  yz  zx  Nhận xét Với c{c b|i to{n có x , y, z  a; b  x  y  z  s ta thường sử dụng bất đẳng thức để tìm mối rang buộc c{c đại lượng đối xứng xy  yz  zx xyz Một số đẳng thức đánh ý a  b  c   a  b  c  3a  b b  c c  a  a  b b  c c  a   a  b  c ab  bc  ca  abc  a b  b c  a a   a  b  c 2 2 2 4   a  b  c a  b  c b  c  a c  a  b  Ví dụ (TSĐH Khối B 2011) Cho a,b,c l| c{c số thực không }m thỏa mãn điều kiện a b c 1 Tìm gi{ trị nhỏ biểu thức P  3a b  b c  c a   3ab  bc  ca   a  b  c Lời giải Theo giả thiết ta có: a  b  c  a  b  c   ab  bc  ca   1 ab  bc  ca  Mặt kh{c: 3a b  b c  c a   ab  bc  ca  2 Suy P  ab  bc  ca   3ab  bc  ca   1 ab  bc  ca  Đặt t  ab  bc  ca đó: P  f (t )  t  3t  1 2t  1 1 Với  ab  bc  ca  a  b  c    t  0;  3    1 Xét h|m số f (t )  t  3t  1 2t liên tục đoạn  0;  ta có:    1 2 f '(t )  2t   ; f ''(t )    0, t  0;     2t  2t     11 Do f '(t )  f '         1 Vì f(t) đồng biến đoạn  0;  Suy P  f (t )  f (0)    Đẳng thức xảy v| a  b  0, c  c{c ho{n vị Vậy gi{ trị nhỏ P đạt a  b  0, c  c{c ho{n vị Ví dụ Cho x,y,z l| c{c số thực thuộc đoạn *0;2+ v| thoả mãn điều kiện x  y  z  Tìm gi{ trị lớn biểu thức P  1    xy  yz  zx x y yz z x Lời giải Chú ý bất đẳng thức  x  y  y  z  z  x    x  y  z  xy  yz  zx  Khi P  x  y  x  z    y  z  y  x    z  x  z  y   xy  yz  zx  x  y  y  z  z  x   x  y  z   xy  yz  zx   xy  yz  zx  x  y  y  z  z  x    x  y  z   xy  yz  zx  xy  yz  zx  x  y  z  xy  yz  zx  27   xy  yz  zx   xy  yz  zx  Chú ý điều kiện x , y, z  0;2 nên 2  x 2  y 2  z    xy  yz  zx   xyz 2 2 Khi đặt t  xy  yz  zx xy  yz  zx   x  y  z   nên t  2;3 Do P  f (t )  27 t  8t Xét h|m số f (t )  27 27  t  đoạn *2;3+ ta có f '(t )    0, t  8t 8t Do f(t) đồng biến đoạn *2;3+ suy f (t )  f (3)  Dấu xảy v| x  y  z  Vậy gi{ trị lớn P 9/2 Nhận xét Ta đ{nh gi{ thơng qua bất đẳng thức(xem chương 2) 1 x  yz     x  y y  z z  x  x  y  z  xy  yz  zx Ví dụ Cho x, y, z l| c{c số thực thuộc khoảng (0, 1) thoả mãn điều kiện xyz  1 x 1 y 1 z  Tìm gi{ trị nhỏ biểu thức P  x  y  z  1   x y z Lời giải Theo giả thiết ta có: x  y  z  xy  yz  zx  xyz 1  Dự đo{n dấu xảy x  y  z  x  1 x   x  y  z  Do ta xét hai khả sau: + Nếu xy  yz  zx  3   xy  yz  zx  3 x y z  xyz  4 Khi sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có  1      1 1 P   x     y     z            4x   4y  z   x y z   x  3 1  y  z  4x 4y z xyz  3 xyz + Nếu xy  yz  zx  xyz  15  biến đổi P theo xy  yz  zx c{ch rút xy  yz  zx   x  y  z Và ý x  y  z  3 xy  yz  zx  xy  yz  zx xyz xy  yz  zx  x  y  z  xy  yz  zx   x  y  z xy  yz  zx   xy  yz  zx   xy  yz  zx    xy  yz  zx  Ta có P  x  y  z  Đặt t  3 xy  yz  zx ,  t  ta có P  t   t2 t t  1 t 2t  3t  7t  15 t  3t  3 2t t  3t   3  15 15  , t   ;3   2 So s{nh hai trường hợp ta có Min P 15/2 đạt x  y  z  Nhận xét Lý xét hai trường hợp suy nghĩ l|m theo hướng hai nhiên bất đẳng thức cuối với xy  yz  zx  hợp, với xy  yz  zx  Do cần ph}n chia l|m hai trường ta khéo léo kết hợp AM – GM để P lớn 15/2 Bài tập tương tự Cho x, y, z l| c{c số thực thuộc khoảng (0, 1) thoả mãn điều kiện xyz  1 x 1 y 1 z  Tìm gi{ trị nhỏ biểu thức P  x  y  z ĐS: Pmin  Ví dụ Cho a,b,c l| c{c số thực dương Tìm gi{ trị nhỏ biểu thức P a b c 8abc   2  b c a a  b b  c c  a  Lời giải Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: 8abc 8.27       a  b b  c c  a   a  1 b  1 c  1  a b c 3       3  c  a  b     b c a  a b c 216 Đặt t     3,t  6 ta có P  f (t )  t   b c a t Xét h|m số f (t )  t   f '(t)  t 5  216 với t  ta có: t3 648 t 1296 t    0, t  t4 2t t  Suy P  f (t )  f (6)  Đẳng thức xảy v| a  b  c Vậy gi{ trị nhỏ P đặt a  b  c Ví dụ Cho x,y,z l| c{c số thực không }m thỏa mãn điều kiện x  y  z  16 Tìm gi{ trị nhỏ biểu thức P  2 2  xy  yz  zx x yz 2   x  y4  z x y  y z z x Lời giải 2 2 2 Ta có x y  y z  z x  x  y  z   x  y4  z Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có : x  x  x  x ; y  y  y  y ; z  z  z  3z Cộng theo vế bất đẳng thức ta : x  y  z  3 x  y  z    x  y  z     x  y  z  xy  yz  zx  Do P  x  y  z   x  y  z 2  x  y  z    x  y  z  1 2x  y  z  x  y  z 1 16  16 t 1  Đặt t  x  y  z , t   3;3 P  f (t )    2t t 1 Xét h|m số f (t )  f '(t )  16 t 1  t 1 liên tục đoạn  3;3 ta có   2t 1 1       nên f(t) l| h|m nghịch biến đoạn 2t 43 t  1  3;3   Do P  f (t )  f (3)  28 Đẳng thức xảy v| x  y  z  Ví dụ Cho a,b,c l| c{c số thực dương thỏa mãn điều kiện ab  bc  ca  Tìm gi{ trị nhỏ biểu thức P  a  b  c  abc Lời giải Theo giả thiết ta có: c  1 ab , c   ab  a b 10 Thay v|o biểu thức P ta được: P  a b  1 ab 1 ab 1 a 2b  ab  a b  a b a b a b  a  b  Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: a b     Suy P  a  b   a  b      a b  16 a  b  Đặt t  a  b,t  0 P  f (t )  Xét h|m số f (t )  a  b   16 a  b   16 t  16t  16 16t t  16t  16 với t  ta có: 16t t  2  3t 16t  16 4  t 3t   f '(t )    ;f'(t)    2 t  16t 16t    10 10 Lập bảng biến thiên suy Min f (t )  f    Đẳng thức xảy P  t 0   27 27 v| a  b  c  Vậy gi{ trị nhỏ P 10 đạt a  b  c  27 Ví dụ Cho a,b,c l| c{c số thực thỏa mãn điều kiện a  b  c  Tìm gi{ trị lớn v| nhỏ biểu thức P  a3  b  c  3abc Lời giải Ta có: 2  a  b  c  a  b  c   ab  bc  ca   ab  bc  ca  a  b  c   2 Khi đó: P  a  b  c a  b  c  ab  bc  ca   a  b  c  a  b  c   ab  bc  ca     a  b  c     a  b  c  a  b  c       a  b  c  a  b  c   2 Đặt t  a  b  c  t  a  b  c   3a  b  c    t   6;    Khi P  f (t )   t  3t Xét h|m số f (t )   t  3t liên tục  6;  ta có   f '(t )   t  3; f '(t )   t   Bảng biến thiên: 11   t  f’(t) f(t)   2 2 Dựa v|o bảng biến thiên suy f(t) đạt gi{ trị lớn 2 t  v| đạt gi{ trị nhỏ 2 đạt t   Vậy gi{ trị lớn P 2 đạt a  2, b  c  c{c ho{n vị gi{ trị nhỏ P 2 đạt a   2, b  c  c{c ho{n vị 3) Bất đẳng thức có hai biến đối xứng Ghép cặp hai biến đối xứng với v| đ{nh gi{ bất đẳng thức AM – GM Cauchy – Schwarz số bất đẳng thức phụ đưa biến lại v| ho|n tất khảo s{t h|m số (xem chủ đề sau) Ví dụ Cho x,y,z l| c{c số thực dương thoả mãn điều kiện x  y  z  Tìm gi{ trị lớn biểu thức P   y  z  x   27 xyz Lời giải Sử dụng bất đẳng thức AM – GM C –S ta có y  z   y  z   1  x  yz  y  z 1 x  2   27 x 1 x  27 Xét h|m số f ( x )  1  x   x  x 1  x  khoảng (0;1) ta có 3 x  2x f '( x )  27 x   0 ; f '( x )   27 x   2  1 x  1 x      x 1   2x      27 x  5  27 x   1 x   32 x   5  27 x      1  x Suy P  1  x   x       x 1     5  27 x  x    x 19 x 127 x  25      Ta có f’(x) đổi dấu từ dương sang }m qua 1/3 nên f(x) đạt cực đại 1/3 1 Vì P  f ( x )  f    10 Dấu đạt x  y  z    Vậy gi{ trị lớn P 10 Ví dụ Cho x,y,z l| c{c số thực thỏa mãn điều kiện x  y  z 12 1 1 Tìm gi{ trị nhỏ biểu thức P   x  y  z      x y z  Lời giải Sử dụng bất đẳng thức bản: a  b  a  b  ta có: 2 z  x  y  x  y   x  y  z 2 x  y4  2 1 32 x  y   x  y  ;   2   x y x y x  y 4   x  y 4   32  z    x  y     z      32 5 Suy P        x  y  z   z      x  y    x  y  32 Đặt t   ,  t  1 ta có: P  f (t )  t    z   t 32 Xét h|m số f (t )  t   với  t  ta có: t 32 f '(t )    0, t  0;1 f(t) nghịch biến 0;1 t Do P  f (t )  f (1)  z 297 Đẳng thức xảy v| x  y  Vậy gi{ trị nhỏ P 297 đạt z  x  y Ví dụ Cho a, b, c l| c{c số thực dương thỏa mãn điều kiện 1 1 a ;   2 a 1 b 1 c 1 Tìm gi{ trị nhỏ biểu thức P  32 b  c   10  8a  64b c  16bc  Lời giải Chú ý Ta cần đ{nh gi{ bc theo a muốn xuất ph{t từ điều kiện ta có: 2abc  ab  bc  ca   bc  Và 1 1  2a   2  b 1 c 1 1 a 1 a Với bc  ta có Mặt kh{c 1  2a      bc  b  c  1  bc 1 a  bc 2a 1 32 b  c   10 2 64b c  16bc  Suy P   8a    8bc  1 (2a  1) 1 (2a  1) 2a 1 4 a  8a  1  8a 12a 12  8 3  1 1   2 a b c  Dấu đạt a  ; b  c ; a 1 b 1 c 1 Ví dụ Cho a,b,c l| c{c số thực dương thỏa mãn điều kiện abc  13 Tìm gi{ trị nhỏ biểu thức P  1   2a  2b  (2c  1) 6c  Lời giải 1 với ab  ta chia    2a  2b ab Ta biết bất đẳng thức phụ trường hợp để xử lý + TH1: Nếu ab  + TH2: Nếu ab  1 1 1 P      a 2a  2b  1  2b  4b 2b  c  vận dụng bất đẳng thức phụ ta được: P  ab Xét h|m số f (c )  f (c )  f (1)  c c 2   2c 1 6c  (2c  1) 6c   c c 2  (2c 1) 6c  khoảng 0;4  ta Dấu đạt a  b  c  Vậy gi{ trị nhỏ P 8/9 4) Đánh giá xoay quanh đại lượng (a  b),(b  c ),(c  a) Ví dụ Cho c{c số thực khơng }m a,b,c có tổng Tìm gi{ trị lớn nhất, gi{ trị nhỏ biểu thức P  a  b b  c c  a  Lời giải 2 Ta có: P  a  b  b  c  c  a  Khơng tính tổng qu{t ta giả sử a  b  c  2 P  a  c  b  b a  c  Đặt t  a  c ta có P  2t 1 t 1 t   2t  3t  t  2 Ta có: t  a  c  1 b  1,t  a c  1  a b c  Vậy t   ;1   2 1  Xét h|m số f (t )  2t  3t  t  liên tục  ;1 ta có:    t   1   t   ;1   2 f '(t )  2t  3t  t 6t  6t  1; f '(t )   t    t     1 Ta có f    f (1)  0, f   Do a     1      108 Suy  f (t )  108 hay P  108   3 P  18 18 Tại a 3 3 , b  0, c  6 P , 18 3 3 3 ,b  , c  P   6 18 14 Bài HD : Đ{nh gi{ t  x  y  z  3;4  Bài HD : Đặt t  x  y  z  3;9 Bài HD : Sử dụng đẳng thức kết hợp AM – GM ta có : x  y  z   x  y  z   3 x  y  y  z  z  x   27  3 x  y  y  z  z  x   27  24 xyz Đưa khảo s{t h|m số với t  xyz Bài Sử dụng bất đẳng thức C-S ta có :  x  y  z  x  y  z    x  xy    y  yz    z  zx   x y  y z  z x  x y  y z  z x  x y  y z  z x  3 x y  y z  z x  Do x y  y z  z x  x  y  z  P   x  y  z 1 x yz  x yz Đặt t  x  y  z Ta có x  y  z   x  y  z   3 x  y  z   t  2 Xét h|m số f (t )  f '(t )   t 1 t  t với t  10 t 10   0, t  t2 t2    3;3  3;3 ta có  3;3  Do f(t) l| h|m nghịch biến  13 3;3 Suy P  f (t )  f (3)   Đẳng thức xảy v| x  y  z  Vậy gi{ trị nhỏ P 13 đạt x  y  z  Bài Ta có :  x  y  z    x  y  z  x  y  z    x  xy    y  yz    z  zx   x y  y z  z x  x y  y z  z x  x y  y z  z x  3x y  y z  z x   x y  y2 z  z x  x  y2  z Suy : P  x  y2  z  2  x y z  x  y  z   x  y  z xy  yz  zx 2  x  y  z  x  y2  z 2x  y2  z   x  y2  z 2x  y2  z  Đặt t  x  y  z ,t  3 P  f (t )  t  t  f (3)  2t Đẳng thức xảy v| x  y  z  Bài 10 HD : Đặt t  x  y  z ,t  3 Bài 11 Sử dụng đẳng thức kết hợp bất đẳng thức AM – GM ta có : 28  x  y  y  z  z  x    x  y  z  xy  yz  zx  xyz   x  y  z  xy  yz  zx  1   x  y  z  xyz  x  y  z  1   x  y  z   x  y  z  1 Đặt t  x  y  z ,t  3 P  t 3t  72 Xét h|m số f (t )  t 3t  t 1 72 t 1 1 1 với t  ta có f '(t )  3t t  1  72 t  1  0, t  f(t) l| h|m đồng biến 3; Vì P  f (t )  f (3)  44 Đẳng thức xảy v| x  y  z  Vậy gi{ trị nhỏ P 44 đạt x  y  z  Bài 12 Ta có 2 ab  bc  ca   a  b  c   a  b  c   3a  b  c   3a  b  c    Và theo bất đẳng thức AM – GM dạng luỹ thừa ta có : a  b  c  a  b  c  Suy P  a  b  c   3a  b  c  a  b  c    3a  b  c   3a  b  c   Theo giả thiết ta có : 3a  b  c    3a  b  c   a  b  c   a  b  c 1a  b  c  4   a  b  c  Suy  3a  b  c  3a  b  c    1  4  1   3a  b  c   3.4  4 Do P  a  b  c   3a  b  c   3a  b  c   13 Đặt t  a  b  c ,0  t  4 : P t3 13 923 923  3t  3t   t  4t  23t  65  , 0  t  9 36 36 Đẳng thức xảy v| a  b  c  Vậy gi{ trị nhỏ P  923 đạt a  b  c  36 Bài 13 Theo giả thiết ta có   x , y, z  Do x   0, y   0, z   Vì P đạt gi{ trị nhỏ v| x,y,z }m Không tính tổng qu{t giả sử x  max x , y,z 1  x  1 P   x  2 yz   y  z   4   x  2  y  z  2  x  1   x  2 x  1   2 Xét h|m số f ( x )   x  2 x  1 với x  1;0 ta có 29  x  1  f '( x )  x  x  ; f '( x )    x   2    25 Lập bảng biến thiên suy f ( x )  f      27 x 1;0  Đẳng thức xảy v|    x      1 5  1    x ; y; z    ;  ;  ; ;  ;   y  z    3   3    2  x  y  z       25 đạt hai biến  v| biến  3 27 Vậy gi{ trị nhỏ P Bài 14 Ta có  xy  yz  zx y z x    xyz z x y  x y y2 z z x y/z z /x x/y      z3 x y ( z / x )  x / y 2 ( y / z )  a b c 1      b2 c a2 a b c  ab  bc  ca  3abc a  b  c   a  b  c  13 x y z , t  a  b  c  3, a  , b  , c  3t y z x 13 40  f '(t )    0, t   S  f (t )  f (3)  t 3t  S  f (t )  3t  Bài tập tương tự Cho x,y,z l| c{c số thực dương Tìm gi{ trị nhỏ biểu thức P x5 y5 z5 xyz  2 2 y z z x x y 2( x y  y z  z x ) 1  Bài 15 Không tính tổng qu{t giả sử x  max x , y, z  x   ;1   3  2 Ta có P  x  y  z  x   y  z   yz  x   y  z   x    x    3  Xét h|m số f ( x )  x    x  đoạn   f '( x )  x  3; f '( x )   x  Do P  1   ;1 ta có   1 Ta có f    f (1)  ; f    4        đẳng thức xảy v| x  , y  0, z  v| c{c ho{n vị 2 Bài 16 Ta có : P   x  y  z    xy  yz  zx   100  xyz    y  z  10  x  y  z  10  x     Từ điều kiện ta có :  x 10  x    yz     yz  x 1  x  y  z   x 10  x    x 1   30 Suy P  f ( x )  100  x 10  x  x 1 Mặt kh{c :  y  z   yz  10  x   x 10  x  x 1   x 110  x   x  x  x 10    x  Xét h|m số f ( x )  100  f '(x)  x 10  x  x 2 x 13x  20  x 1 liên tục 2;5 ta có x 1  x  x 2;5  ; f '( x )     x  Bảng biến thiên : t 2  f’(t) 75 f(t)  0  75 36 36 75 đạt x  5, y  z  2 Gi{ trị nhỏ P 36 đạt x  2, y  z  (chú ý có trường hợp Từ bảng biến thiên suy gi{ trị lớn P xảy dấu bất đẳng thức  y  z   yz trường hợp max v| min) Bài 17 Ta có P  x  y  z   x  y  z    x y  y z  z x    2   x  y  z    xy  yz  zx    xy  yz  zx   xyz  xy  yz  zx  x  y  z   Theo giả thiết ta có  , đặt t  xy  yz  zx  P  t  32t 144     xyz  Ta có 2 x  y  z   yz  4  x   , giải bất phương trình n|y ta suy 3  x  Ta có t  x  y  z   yz  x 4  x   2 , xét h|m số f ( x )  x 4  x   đoạn x x   3  5,2 ta t  5, 5 1       5 1   ta có điều phải Tương tự xét h|m số f (t )  t  32t 144 đoạn 5,   chứng minh Bài 18 Nhận xét Để ý hai vế bất đẳng thức bỏ số 2014 ta có đẳng thức v| thay t  2014 ta h|m số m| f (t )  f (0) Xét h|m số f (t )  t a t b t c   0; t b t c t a 31 Bất đẳng thức chứng minh chứng minh f(t) l| h|m nghịch biến 0; f '(t )  b a t  b   c b t  c   a c t  a   b c  c a t  b   c b t  c   a c t  a    1      a  c      b  c   2 2 t  a  t  b   t  b  t  c    a  c b  a 2t  a  b  b  c  2t  b  c   2 2 t  a  t  b  t  b   t  c  Để f '(t )  ta cần giả sử a  max a, b, c  b|i to{n chứng minh Đẳng thức xảy v| f '(t )  0, t   a  b  c  1 1  1 Bài 19 Xét h|m số f ( x )   x  y  z     1  y  z 1    1;4  ta có:  x y z   y z  1 1 x  yz   x  yz  y  z   f '( x )       y  z     0  yz x  x y z x2 x yz Do f(x) l| h|m nghịch biến 1;4  suy f ( x )  f (1)  hay 1 1  1  x  y  z      1  y  z 1    y z x y z  Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy v| x   1 1 Nhận xét Để tìm gi{ trị lớn P   x  y  z     với điều kiện ta xét  x y z   1 tiếp h|m số g ( y )  1  y  z 1    (xem thêm chủ đề kỹ thuật khảo s{t h|m nhiều  y z  biến) Bài 20 Ta có ab  bc  ca  3 (abc )2 1  a1  b 1  c    ab  bc  ca  a  b  c  abc  1  abc  Khi P  t  , t  abc ,0  t  t 1  3t Xét h|m số f t   t t  13t  t 1 t   ,,0  t   f t    2  3t t  3t  1 1  t  Từ suy MaxP   t 1 a  b  c 1 Bài 21 Ta có: x  y  z 1 x  y  z 1 x  y  z 1   x 1 y 1 z 1  1      x  y  z  1    x  y  z  1 P 3  Tìm gi{ trị nhỏ P Sử dụng bất đẳng thức C-S ta có: 32 1    x 1 y 1 z 1 x  y  z  Suy P    x  y  z  1 x  y  z 3 t  1 3  Đặt t  x  y  z , t   ;3 P  f (t )  3   t 3 t  1 3   liên tục đoạn  ;3 ta có:   t 3 3  3  18 f '(t )   0, t   ;3 f(t) đồng biến  ;3     2  t  3 Xét h|m số f (t )  3 Suy P  f (t )  f    Đẳng thức xảy v| x  y  z    Vậy gi{ trị nhỏ P đạt x  y  z  Tìm gi{ trị lớn P Ta có:   1 2 2 1  x  x     x  x    2 x  3x 1  x   x  12 x  5     x 1 Tương tự ta có: y z   ;   y 1 z 1 Cộng theo vế bất đẳng thức ta được: 1 x  yz     x 1 y 1 z 1  x  y  z    Suy P   x  y  z  1  2 3   t 5 Đặt t  x  y  z , t   ;3 ta được: P  t  1    2t  73  t    Đẳng     thức xảy v| x  y  z  Vậy gi{ trị lớn P đạt x  y  z  Bài 22 Gọi biểu thức vế tr{i bất đẳng thức l| P ta có P  abc a  b  c   ab  bc  ca   9abc  2abc ab  bc  ca    Ta có ab  bc  ca   3abc a  b  c   9abc Suy P ab  bc  ca  9  ab  bc  ca   Đặt t  ab  bc  ca suy P  f (t )  Xét hàm số f (t )  f '(t )   2 ab  bc  ca   ab  bc  ca  2t t2 2t  t với t  0;3 ta có 2t  2t ; f '(t )   t  33 Ta có f’(t) đổi dấu từ }m sang dương qua t  nên f(t) đạt cực đại t  Suy P  f (t )  f (3)  Đẳng thức xảy v| a  b  c  Bài 23 Ta có: yz   y  z   y  z   x 1 x   x 1 2  1 Suy P  x  x    x  x  x  2 2 Mặt kh{c:  y  z   yz  x  2 x 1   x     Đặt t  x ,t  0;  P  f (t )  t  t  t     Xét h|m số f (t )  t  t  t liên tục đoạn  2  0;  ta có   1 f '(t )  3t  2t  ; f '(t )   t  t  1 Ta có f (0)  f    0, f   Suy max f (t )   2 t  0;    x        2 f      54 1 Do P  đẳng thức xảy 54 54 ,y  z  Vậy gi{ trị lớn P 1 ,y  z  đặt x  54 Bài 24 Nếu a  b  c   a  b  c  bất đẳng thức trở th|nh đẳng thức + Nếu a  b  c  viết lại bất đẳng thức dạng : a  b  c a  b  c   27abc a  b  c  Đặt x  a 2 a b c ,y   10 b 2 a b c ,z  c 2 a b c  x  y2  z  Bất đẳng thức trở th|nh :  x  y  z  27 xyz  10   x  y  z  xyz  Khơng tính tổng qu{t giả sử x  max x , y , z   x  10 x  y2  z  3 Ta có  x 2  yz    y  z  Đặt t  yz  t    x   y  z    2  yz 2  4  2 yz 181y z  36 yz  8    y  z 1 x   2  1 Khi P  f (t )  2t 181t  36t  8 với t   ;  ta có:  3   t    f '(t )  486t  18t  20; f '(t )     t   27 34   29 Ta có f    ; f     100    ;f     1369    ;f  27  243   25        100 100 10 Suy Max f (t )  f     P2  P   1    9 t  ;     3 Đẳng thức xảy chẳng hạn a  1, b  c  Bài 25 Ta có: a  bb  c c  a  a  b  c ab  bc  ca  abc  3a  b  c  abc Khi P   abc 3a  b  c  abc Mặt kh{c ab  bc  ca   3abc a  b  c   a  b  c  Suy P  abc 4 abc    abc  abc abc abc  abc 4t Đặt t  abc ,0  t  1 P  f (t)   t 9t2 4t Xét h|m số f (t)   0;1 ta có: t 9t2 2 2 4t  36 t 4t  36 9  t  f '(t )      0, t  0;1 2 t t 9  t  9  t  nên f(t) l| h|m nghịch biến 0;1 Do f (t )  f (1)  đạt a  b  c  Cách 2: Ta đ{nh gi{ nhanh thơng qua bất đẳng thức AM-GM sau: Vậy gi{ trị nhỏ P P 1 1      2abc 2abc a  b b  c c  a  2abc a  b b  c c  a  2  2  2  2 ac  bc ab  ac bc  ab   2ab  2bc  2ca      xảy a  b  c  Vậy gi{ trị nhỏ P Bài 26 Không tính tổng qu{t giả sử e  a, b, c , d , e  viết lại biểu thức P dạng: P  bc a  d  e   e a  c b  d  Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta được: 3 2  b  c  a  d  e  1 2e  bc a  d  e             a  c  b  d  1 e  e a  c b  d   e    e       1  2e  1  e  Suy P     e       Với a, b, c , d , e  a  b  c  d  e  1, e  a, b, c , d , e    e  35  1 1  2e  1  e  Xét h|m số f (e )   0;  ta được:  e             1 1 f '(e )  5e  4e  1  1 5e e  1  0, e  0;  nên f(e) l| h|m đồng biến   36 36  1 1 0;  Do f (e )  f      25   Vậy gi{ trị lớn P Bài 27 Ta có:  a 1 đạt a  b  c  d  e  25 b   c a  b a  c  b  c b  a  c  a c  b  ab  bc  ca  a  b b  c c  a  a  bb  c c  a Và 2 a  b  c  a  b  c  a  b  c  a  b  c   ab  bc  ca    a  b  c   a  b  c   Mặt kh{c: a  b b  c c  a   a  b  c ab  bc  ca  abc  a  b  c ab  bc  ca   a  b  c ab  bc  ca  8 Suy ra: a  b b  c c  a   a  b  c ab  bc  ca   a  b  c  Suy P   a  b  c a  b  c   a  b  c    Đặt t  a  b  c , t  3ab  bc  ca    P  f (t )  Xét h|m số f (t )  f '(t )    2t  t  4t  2t  t  với t  ta có: 4t  1 t   0, t  Do f(t) l| h|m nghịch biến 3; 4t Suy P  f (t )  f (3)  15 Đẳng thức xảy v| a  b  c  Vậy gi{ trị lớn P 15 đạt a  b  c  Bài 28 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: 1 a a 1  b b  1  c c  1  a  b  c  a  b  c  a  b  c   a  b  c  t3 t2  31  Đặt t  a  b  c , t  0;3   P  f (t )     t 1  Xét h|m số f (t )    t 1  31  t3 t2  liên tục đoạn 0;3  ta có:   36   t t    1   f '(t )     t  13  t  t  279   Ta có: f '(t )   t  3t  279  t t  2 t 1  t  (do vế tr{i l| h|m số nghịch biến) Ta có f '(t ) đổi dấu từ dương sang }m qua t  nên f(t) đạt cực đại t  Do P  f (t )  f (3)  Vậy gi{ trị lớn P đạt a  b  c  Bài 29 Tìm gi{ trị nhỏ P Ta có: x  3x  x  x  3  x  x  3  x  3  0,  x  0;3 Nếu ab  bc  ca  9 27  P    5 Xét với ab  bc  ca  ta có: a a  3  b b  3  c c  3 a4  b4  c   a3  b3  c a3  b3  c   a  b  c  a  b  c    a  b  c  a  b  c  a3  b3  c a3  b3  c ab  bc  ca ab  bc  ca ab  bc  ca  18  18  18 a  b3  c a  b  c  3abc 3.9  ab  bc  ca    ab  bc  ca ab  bc  ca  Vậy P   ab  bc  ca  3ab  bc  ca  ab  bc  ca     2t Đặt t  ab  bc  ca,t  0;  P  f (t )    3t  3t   t 3 t 3    Xét h|m số f (t )  3t   f '(t )   5 t 3 3  ta có: t 3 4t  ; f '(t )   t     1 t  3    t 3 Bảng biến thiên: t f’(t) f(t)   11 37 27 Dựa v|o bảng biến thiên suy P  f (0)  Vậy gi{ trị nhỏ P đạt a  3, b  c  c{c ho{n vị Bài 30 Không tính tổng qu{t giả sử c  a, b, c  b  bc  c  b  c c  b   b , c  ca  a  a  c c  a   a Suy ra: P  1 a b c a b     a b ab a  ab  b a  b   3ab 2 a b a  b   3ab Đặt t   a  b  ab  1  ab a  b  ab a  b   1 1  ,0  t   P  f (t )     t  t a  b  ab Xét h|m số f (t )  1   3t t  1 0;  ta có   3   1 3t  1  3t  16 f '(t )      0, t  0;  3 2   t 1  3t  2t 1  3t  2t 1  3t   1 Suy f(t) nghịch biến 0;  P  f (t )    1 f      Vậy gi{ trị nhỏ P đạt a  b  , c  c{c ho{n vị Bài 31 Không tính tổng qu{t giả sử b l| số nằm a v| c Khi đó: b  a b  c    b  ac  ab  bc  b c  c a  abc  bc  a b  b c  c a  a b  abc  bc  b a  ac  c  Suy abc abc ac   2 2 a b  b c  c a b a  ac  c  a  ac  c 2 Ta cần đ{nh gi{ Ta có: a  b  c  a b c a  b  c  a b c   ac a  ac  c ab  bc  ca a  b  c  Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: ab  bc  ca a  ac  c   ab  bc  ca  a  ac  c  2 2  b a  c   a  c    a  b  c  a  c    38 Suy ab  bc  ca a  b  c   a  c  a  ac  c  Do P  2 a  c  a  ac  c Đặt t  1  3ac a  ac  c 2   1 ac 3ac  2 a  ac  c a  ac  c   ac  ,  t  1 đó:   a  ac  c  P  f (t )  t  3 1 t    t  t     ;1 ta có        ;1 Do f(t) nghịch biến  ;1    3 Xét h|m số f (t )   t  t  liên tục đoạn 4  f '(t )   t   0, t    Suy P  f (t )  f (1)  Đẳng thức xảy v| a  b, c  Vậy gi{ trị nhỏ P đạt a  b, c  c{c ho{n vị Bài 34 Đ}y l| biểu thức ho{n vị cần tìm c{ch đ{nh gi{ chuyển biểu thức đối xứng c{ch thực l| xét phần tương ứng với P cụ thể l| Q  x y  y2 z  z x Theo giả thiết ta có   x  y  z   x  y  z   xy  yz  zx       3 3   x  y  z   x  y  z    x  y  y  z  z  x   3xyz    64  x y  y z  z x   xy  yz  zx    xyz  x  y  z  xy  yz  zx   x y z   3x y z    27    Khi P  Q  xy  x  y   yz  y  z   zx  x  z   3xyz     64  P Q  x y  y z  z x  xyz  x  y  z   3x y z  x y z    27   Theo định lý Vi-ét P,Q l| nghiệm phương trình x  3tx  9t  3t  Suy P  64  với t  xyz 27 256 256 3t   27t  27t 27 27 P  2 Khảo s{t P ta tìm Max v| Min Bài tập tương tự Cho x,y,z l| c{c số thực thỏa mãn x  y  z  x  y  z  Tìm gi{ trị lớn v| nhỏ biểu thức P  x y  y z  z x 39   a  c   2ac      b      ac  Bài 35 Theo giả thiết ta có    b  2b  1  a  c    2b         b    1  16 Do P  b c  a   b c  a  2ca   b 1     2b     2 2 2 2  b  c  Bài 36 Ta có P  a  (a  1)(b  c )  bc  a  (a  1)(b  c )     Ta cần rút b+c theo a  x   a  2b   x  1;1 ta có Theo giả thiết ta có     2  x  a  2c     a b c  x2 3   a  b  c  x     b  c  x    b c  4x    2     a  b  c  1 a  2b  12c  1   x Ta có 2 a  b  c   3b  c   12 ab  bc  ca 2a  b  c   12 ab  bc  ca  Do 1 2 P  a  b  c  ab  bc  ca  a  b  c  a  b  c   b  c  2 x x    2 x 2  x    x  3  x  x 6    6, x  1;1 3 Dấu xảy v| a  b  c  Bài 37 Theo giả thiết ta có:  x  y  z  x  y  z  xy  yz  zx   3 2   x  y  z   x  y  z    x  y  z      2  x  y2  z  Khi P  x  y  z   34 3 x  y  z  x  y2  z x  y2  z 1   1  1 2 x  y  z 1 x  y  z 1 x  y  z 1 1 Với x  2, y  z  P   1 Bài tập tương tự Cho x,y,z l| c{c số thực không }m thoả mãn điều kiện x  y  z   3xyz Tìm gi{ trị nhỏ biểu thức P  x  y  3z Bài 38 Tìm gi{ trị nhỏ Khơng tính tổng qu{t giả sử a  a, b, c   a   b  c   a  Khi 3 2 b 1  c 1  b  c  2 b 1  b 1c 1  c 1   b 1  c 12 b 1  c 12  b  c  23   b  c  2    4   40 Suy 1 3 3 3 P  a 1  b  c  2  a 1  1 a   a 1   , a  0;1 4 4 Vậy gi{ trị nhỏ P  3 đạt a  0, b  c  c{c ho{n vị + Tìm giá trị lớn Sử dụng đẳng thức x  y  z   x  y  z   3 x  y  y  z  z  x  Ta có: P  a  b  c  3  a  b  2b  c  2c  a  2  3 a  b  2b  c  2c  a  2 2  P  b  c  2 a  b  2 c  a  2 Ta có b  c   0,a  b  2  a  c  2  a 1  + Nếu a  b   0, a  c    P  + Nếu tồn thừa số dương thừa số }m ta giả sử a  b   0, a  c   P  b  c  22  b  a a  c  2  b  c   a  c    2  b  a     3 3  c 1  3 1  4 Đẳng thức xảy v| a  b  0, c  Vậy gi{ trị lớn P Bài 39 Giả sử c  a, b, c    c  a, b  1   P  a  b   a  b     a  b 2 a b    Ta có:  a  b   a  b  2 a  b    a b    1  a  ab  b      a  b             b a b a a b  a  b  a b 1  b a   a  b    a  b     a b  b a   b a  2  b a 2 t   a b Đặt t   ,t  2 P  f (t )  t  t     t   b a  t   Xét h|m số f (t )  t  t   2; ta có  t     f '(t )  2t   ; f '(t )   2t  1t  2   2  t  2  t 2  2t  7t  4t    t   33 41  33 f’(t) đổi dầu từ }m sang dương nên f(t) đạt cực tiểu   33  59  11 33  33   hay f (t )  f  4   Tại t  Vậy gi{ trị nhỏ P 59  11 33 a b  33 đạt   ,c  b a 42