Chuong 02b

CHỦ ĐỀ 2: KỸ THUẬT GHÉP CẶP TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC AM – GM NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP Ghép cặp trực tiếp hạng tử vế bất đẳng thức Ta cần chứng minh bất đẳng thức A + B +C ³ X +Y + Z Nếu X £ AB,Y £ BC , Z £ CA Ta thực ghép cặp sử dụng bất đẳng thức AM- GM cho số dương sau: A + B ³ AB ³ 2X B +C ³ BC ³ 2Y C + A ³ CA ³ 2Z Cộng theo vế bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh Ghép cặp kết hợp nhân tử vế bất đẳng thức Ta cần chứng minh bất đẳng thức A + B +C ³ X +Y + Z Ta thực đánh sau A + X ³ AX ³ 2Y B +Y ³ BY ³ 2Z C + Z ³ CZ ³ 2X Cộng lại theo vế bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh Biến đổi điều kiện bất đẳng thức trước ghép cặp Áp dụng với bất đẳng thức có điều kiện chưa tương đồng với bất đẳng thức cần chứng minh Thông thường ta sử dụng phép bình phương vế, quy đồng vế bất đẳng thức(xem tập mẫu) BÀI TẬP MẪU Bài Cho x,y,z số thực dương thoả mãn điều kiện xy + xz = Chứng minh 3yz 4zx 5xy + + ³ x y z Lời giải Gọi P biểu thức vế trái bất đẳng thức Ta viết lại P dạng ỉyz zxư ỉxy zx÷ yz x ÷+ 2ổ ỗ P =ỗ + ữ + ữ + 3ỗ + ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ çx ÷ è çx çz ỳ zø è è ø Sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có yz zx yz zx + ³ = 2z x y x y yz xy yz xy + ³ = 2y x z x z xy zx xy zx + ³ = 2x z y z y Suy P ³ 2z + 4y + 6x = 2( x + z) + 4( x + y) ³ zx + xy = ìï x = y = z ï Û x = y= z= Đẳng thức xảy í ïï xy + zx = ỵ Nhận xét Để có phân tích ta sử dụng đồng thức sau: æyz zxö æxy zx ö 3yz 4zx 5xy yz xyö ữ+ bổ ữ ỗ ỗ + + = aỗ + ữ + c ữ ỗ + ữ ỗ + ữ ç ÷ ÷ ÷ è çx ÷ è ÷ ç çz x y z ỳ zø ỳ èx ìï a + b = ïï Û ïí b+ c = Û ïï ïỵï c + a = ìï a = ïï ỉxy zx ỉyz x yz zxư ïí b = Þ P = ỉ ữ ữ ỗ ỗ ữ ỗ ữ ữ + + + + + ữ ỗ ỗ ữ ữ ữ ố ỗx ữ ỗ ữ ỗx ỗz ùù ố ỳ zø ỳ è ïỵï c = 2 Bài Cho x,y,z số thực dương thoả mãn điều kiện x + y + z = Chứng minh xy yz zx + + ³ z x y Lời giải Phân tích tìm lời giải: Nếu sử dụng ghép cặp chẳng hạn xy yz + ³ 2y điều kiện cho dạng bậc z x ta ghép cặp sử dụng trực tiếp cần tạo nhân tử có 2 chứa x , y , z lựa chọn phép bình phương vế bất đẳng thức Lời giải chi tiết: Bình phương vế bất đẳng thức cần chứng minh viết dạng x2 y2 y2 z2 z2 x2 + + + 2( x2 + y2 + z2 ) ³ z2 x y Û x2 y2 y2 z2 z2x2 + + ³ z2 x y Sử dụng bất đẳng thức AM –GM cho số dương ta x2 y2 y2 z2 x2 y2 y2 z2 + ³ = 2y2 z2 x2 z2 x Tương tự ta có 2 y2 z2 z2 x2 z2 x2 x y + ³ z ; + ³ 2x2 x2 y2 z2 y2 Cộng theo vế bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy x = y = z = Bài Chứng minh rẳng với a,b,c dương ta ln có 1 + + ³ b( a+ b) c( c + b) a( a + c) 2( ab+ bc + ca) Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với ab+ bc + ca ab+ bc + ca ab+ bc + ca + + ³ b( a+ b) c( c + b) a( a + c) c b a a b c + + + + + ³ b a c a + b b+ c c + a b+ c a+ b c + a a b c 15 Û + + + + + ³ b a c a + b b+ c c + a Û Sử dụng bất đẳng thức AM – GM cho số dương ta có b+ c b b+ c b + ³ = 4b b+ c 4b b+ c Tương tự ta có: a+ b a c+ a c + ³ 1; + ³ 4a a+ b 4c c+ a Cộng theo vế bất đẳng thức ta 1æ a + b b+ c c + aử a b c ữ ỗ + + + + ữ+ ỗ ữ ố a 4ỗ b c ø a + b b+ c c + a Mặt khác 3ỉ b c 3ỉ 3ỉ a + b b+ c c+ b c ỗ ữ ỗ + + = ỗ 3+ + + ữ ỗ 3+ 33 ữ = ữ ữ ỗ ỗ ữ ỗ ữ ỗ a ç a b cø ç ÷ 4è b c ø 4è a b c è ø Cộng theo vế bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c Bài Chứng minh với số thực dương x,y,z ta có æ xö 2( x + y + z) æ yö ổ zử ỗ ỗ ỗ ữ 1+ ữ 1+ ữ 1+ ữ 2+ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ ữ xyz ỗ ố yøè z øè xø Lời giải Khai triển vế trái viết lại bất đẳng thức cho dạng x y z x + y+ z x2 y2 z2 + + ³ =3 + +3 y z x yz zx xy xyz Sử dụng bất đẳng thức cho số dương ta có Tương tự ta có: x x y x2 + + ³ 33 y y z yz y y z y2 z z x z2 + + ³ 33 ; + + ³ 33 z z x zx x x y xy Cộng theo vế bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy x = y = z Bài Chứng minh với số thực dương x,y,z ta có æx2 y2 z2 ö x3 y3 y3 z3 z3 x3 ç ÷ + + + + + ³ ç + + ữ ữ ữ ỗ y3 x3 z3 y3 x3 z3 èyz zx xyø Lời giải Sử dụng bất đẳng thức AM –GM cho số dương ta có x3 x3 x3 x3 x2 + + ³ = y3 z3 y3 z3 yz y3 y3 y3 y3 y2 + + ³ = zx z3 x3 z3 x3 z3 z3 z3 z3 3z2 + + ³ = xy x3 y3 x3 y3 Cộng theo vế bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy x = y = z Bài Cho x,y,z số thực không âm Chứng minh ( x + y- z) ( y + z - x) ( z + x - y) £ xyz Lời giải Do tổng thừa số vế trái x + y + z ³ nên có khả sau + TH1: Nếu có thừa số âm thừa số dương lúc bất đẳng thức ln + TH2: Nếu có thừa số âm thừa số dương(điều vô lý) tổng thừa số chẳng hạn ( x + y- z) +( y + z - x) = 2y ³ + TH3: Nếu thừa số khơng âm lúc ta sử dụng bất đẳng thức cho số dương ta æx + y- z + y + z - xö ÷ ÷ ÷= y è ø ( x + y- z) ( y + z - x) £ ççç æy + z - x + z + x - ÷ = z2 ( y + z - x) ( z + x - y) £ ççç ÷ ÷ è ø 2 ỉz + x - y + x + y- zử ữ ỗ z + x y x + y z £ ( )( ) ỗỗ ữ ữ=x ố ứ Nhõn theo vế bất đẳng thức ta é( x + y- z) ( y + z - x) ( z + x - y) ù2 £ x2 y2z2 ë û Û ( x + y- z) ( y + z - x) ( z + x - y) £ xyz Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy x = y = z Nhận xét Vì chưa biết tính âm dương thừa số vế trái nên chưa thể áp dụng trực tiếp bất đẳng thức AM – GM ta cần phân chia trường hợp + Đây dạng bất đẳng thức Schur bậc ba có nhiều ứng dụng việc giải lớp tốn(xem chủ đề sau) Chẳng hạn với x,y,z có tổng ta có bất đẳng thức 4( xy + yz + zx) - 3xyz £ Bài tập tương tự Cho x,y,z số thực dương chứng minh ỉ ỉ ỉ x y z ữ ữ ỗ ỗ ữ ỗ ữ ữ 111Ê ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ ç ÷è z + x øè x + ỳ ÷ è y + zø Bài Cho a,b,c số thực dương thoả mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = Chứng minh a3 b +3 + b3 c +3 + c3 a +3 ³ Lời giải Sử dụng bất đẳng thức AM – GM cho số dương ta có a3 b2 + b3 c2 + c3 a2 + + + + a3 b2 + b3 c2 + c3 a2 + + b2 + 3 ³ a + c2 + 3 ³ b + a2 + 3 ³ c Cộng theo vế bất đẳng thức kết hợp với điều kiện a2 + b2 + c2 = ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c = Bài Cho a,b,c số thực dương thoả mãn điều kiện a + b+ c = Chứng minh ( 1+ a) ( 1+ b) 1+ c2 2 + ( 1+ b) ( 1+ c) 1+ a2 2 + ( 1+ c) ( 1+ a) 1+ b2 ³ 24 Lời giải Gọi P biểu thức vế trái bất đẳng thức Sử dụng bất đẳng thức AM – GM cho số dương ta được: ( 1+ a) ( 1+ b) = ( 1+ ab+ a + b) ³ 4( 1+ ab) ( a + b) = 4a( 1+ b2 ) + 4b( 1+ a2 ) 2 2 Suy ( 1+ a) ( 1+ b) ³ 4a 1+ c2 1+ b2 1+ a2 + b 1+ c2 a+ c2 ( 1+ b) ( 1+ c) ³ 4b Tương tự ta có: 1+ a ( 1+ c) ( 1+ a) 1+ b2 1+ c2 1+ b2 + 4c 1+ a 1+ a2 1+ c2 1+ a2 ³ 4a + 4c 1+ b 1+ b2 Cộng theo vế bất đẳng thức ta có ỉ ỉ ỉ 1+ b2 1+ c2 ÷ 1+ a2 1+ c2 ÷ 1+ a2 1+ b2 ữ ữ+ 4bỗ ữ ữ P 4aỗ + + + 4cỗ + ỗ ỗ ỗ ữ ữ 2ữ 2 ữ ỗ1+ c ỗ1+ c ỗ1+ b2 1+ a2 ứ 1+ b ữ 1+ a ÷ è ø è ø è 1+ b2 1+ c2 1+ a2 1+ c2 1+ a2 1+ b2 + b + c 1+ c2 1+ b2 1+ c2 1+ a2 1+ b2 1+ a2 = 8( a+ b+ c) = 24 ³ 8a Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c = Bài Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn điều kiện a b c + + = a +1 b+1 c +1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = ab+ bc+ ca Lời giải Theo giả thiết kết hợp sử dụng bất đẳng thức AM –GM cho số dương ta có a b c 1 = 1+1= + ³ a +1 b+1 c +1 b+1 c +1 b ³ b+1 Tương tự ta có: c ³ c +1 ( b+1) ( c+1) ( a+1) ( c+1) ( a+1) ( b+1) Lần lượt nhân theo vế hai bất đẳng thức ta được: ( a +1) ( b+1) ab ³ Û ab ³ c +1 ( a+1) ( b+1) ( c +1) ( a+1) ( b+1) Tương tự ta có: bc ³ ( b+1) ( c +1) a +1 ;ca ³ ( c +1) ( a+1) b+1 Cộng lại theo vế bất đẳng thức sử dụng AM-GM ta được: æ ( a+1) ( b+1) ( b+1) ( c+1) ( a +1) ( c+1) ữ ỗ ữ ữ P 4ỗ + + ỗ ữ ỗ ữ c + a + b + ỗ ữ è ø ³ 123 ( a+1) ( b+1) c +1 ( b+1) ( c+1) a +1 ( a+1) ( c+1) b+1 = 12 Đẳng thức xảy a = b = c = Bài 10 Cho x,y,z số thực dương thoả mãn điều kiện xy + yz + zx = Chứng minh 3- 3+ x2 y2 z2 + + ³ ( x + y + z) y z x Lời giải Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức sau 2 x2 y2 z2 ( x + y + z) ( x + y + z ) + + ³ y z x xy + yz + zx Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với: ỉx2 y2 z2 ÷³ (x + y + z)(x2 + y2 + z2 ) (xy + yz + zx)ỗ ỗ + + ữ ữ ữ ỗ y z x ố ứ x3z y3x z3 y + + ³ xz2 + zy2 + yx2 y z x Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: x3z y3x + ³ 2x2 y y z y3x z3 y + ³ 2y2 z z x x3z z3 y + ³ 2z2 x y x Cộng theo vế bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh Gọi P biểu thức vế trái bất đẳng thức ban đầu ta có P ³ 3- + (x + y + z)(x2 + y2 + z2 ) Vậy ta cần chứng minh + (x + y + z)(x2 + y2 + z2 ) ³ (x + y + z)2 3- Û (x + y + z)(x2 + y2 + z2 ) ³ x2 + y2 + z2 + - Û (x2 + y2 + z2 )(x + y + z - 1) ³ - ù( x + y + z - 1) ³ Û é ê( x + y + z) - 2( xy + yz + zx) û ú ë ( ) Û ( x + y + z) - ( x + y + z - 1) ³ Bất đẳng thức x + y + z ³ 3- 3- 3(xy + yz + zx) = Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy x= y= z= Bài tập tương tự Cho x,y,z số thực dương có tổng Chứng minh x2 y2 z2 + + ³ 3( x2 + y2 + z2 ) y z x BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài Chứng minh với số thực x ta có x x x ỉ ỉ ỉ 12ư 15ư 20ử x x x ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ +ố ữ +ố ữ + +5 ỗ5ứ ỗ4ứ ỗ3ứ è Bài Chứng minh với số dương x,y,z ta có x3 y3 z3 + + ³ x2 + y2 + z2 y z x 10 Bài Chứng minh với x,y,z số thực dương ta có x5 y5 z5 + + ³ x3 + y3 + z3 y2 z2 x2 Bài Chứng minh với số thực dương x,y,z ta có x3 y3 z3 + + ³ x + y+ z yz zx xy Bài Cho x,y,z số thực dương thoả mãn điều kiện x + y + z = xyz Chứng minh x y z + + ³ y z x Bài Cho a,b,c độ dài cạnh tam giác Chứng minh a b c + + ³ a + b- c b+ c- a c + a- b Bài Cho a,b,c số thực dương thoả mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = Chứng minh a3 b +1 + b3 c +1 + c3 a +1 ³ Bài Cho x,y,z số thực dương thoả mãn điều kiện xz + yz + xy = Chứng minh 7yz 8zx 9xy + + ³ x y z Bài Cho x,y,z số thực dương thoả mãn điều kiện xyz = Chng minh rng ổ ỗ x+ ỗ ỗ y ố ửổ ỗ ữ 1ữ ỗy + ữ ữỗ ố z ứ ửổ ỗ 1ữ ữ ỗz + ữỗ ứ ố x Bi 10 Cho a,b,c l cỏc số thực dương thỏa mãn 1÷ ÷ ÷£ ø 1 + + = a +1 b+1 c +1 Chứng minh abc³ Bài 11 Cho x,y,z số thực dương chứng minh ỉ ỉ ỉ x y z ữ ữ ỗ ỗ ữ ỗ ữ ữ 11Ê ữ ỗ ỗ ỗ1ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ÷ ÷ è y + zøè z + x øè x + yø HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ Bài Sử dụng bất đẳng thức AM – GM cho số dương ta có x x x x ỉ ỉ ỉ ỉ 12ư 15ư 12ư 15ư x ÷ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ + ữ ữ ữ ữ ỗ ữ ỗ ỗ ữ ç ç ÷ = 2.3 ÷è ç ç5ø ç è5 ø è4 ø è 4ø x x x x æ ỉ ỉ ỉ20ư 15ư 20ư 15ư x ÷ ÷ ÷ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ + ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ố ữ ữố ữ = 2.5 ỗ ỗ3ứ ỗ4ứ ỗ3ứ ố4 ø è x x x x ỉ ỉ ỉ20ư ỉ 20ử 12ử 12ử x ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ç ç + ³ ÷ ç ÷ ÷ç ữ = 2.4 ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ3ứ ç5ø ç3ø ç5ø è è è è Cộng lại theo vế bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy x = Bài Sử dụng bất đẳng thức AM – GM cho số dương ta 11 x3 x3 x3 x3 + + y2 ³ 33 y2 = 3x2 y y y y y3 y3 y3 y3 + + z2 ³ 33 z2 = 3y2 z z z z z3 z3 z3 z3 + + x2 ³ 33 x2 = 3z2 x x x x Cộng theo vế bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy x = y = z Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức AM – GM cho số dương ta có x3 x3 y3 z3 + xy ³ xy = 2x2 ; + yz ³ 2y2 ; + xz ³ 2z2 y y z x 2 Cộng theo vế bất đẳng thức kết hợp với x + y + z ³ xy + yz + zx ta có điều phải chứng minh Bài Sử dụng bất đẳng thức AM – GM cho số dương ta có x5 x5 2 + xy ³ xy = 2x3 y2 y2 y5 y5 + yz2 ³ 2 yz2 = 2y3 z z z5 z5 + zx2 ³ 2 zx2 = 2z3 x x Cộng theo vế bất đẳng thức ta có x5 y5 z5 + + + xy2 + yz2 + zx2 ³ 2( x3 + y3 + z3 ) y2 z2 x2 3 2 Vậy ta cần chứng minh x + y + z ³ xy + yz + zx Bất đẳng thức hiển nhiên theo AM – GM cho số dương 3 3 3 3 Vì x + y + y ³ 3xy ; y + z + z ³ 3yz ; z + x + x ³ 3zx Cộng lại theo vế bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy x = y = z Bài Sử dụng bất đẳng thức AM – GM cho số dương ta có x3 x3 + y + z ³ 33 y.z = 3x yz yz y3 y3 + z + x ³ 33 z.x = 3y zx zx z3 z3 + x + y ³ 33 x.y = 3z xy xy Cộng theo vế bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy x = y = z Bài Theo giả thiết ta có 1 + + = xy yz zx Vậy bất đẳng thức cần chứng minh viết lại dạng: 12 x y z 1 + 3+ 3³ + + xy yz zx y z x Û x4 z3 + y4 x3 + z4 y3 x + y + z ³ xyz x3 y3z3 Û x4 z3 + y4 x3 + z4 y3 ³ ( x + y + z) x2 y2 z2 æx2 z y2x z2 yử ữ x2 y2 z2 ỗ ³ ( x + y + z) x2 y2 z2 ç + + 2÷ ÷ ÷ ç y z x è ø Û x2 z y2 x z2 y + + ³ x + y+ z y2 z x Sử dụng bất đẳng thức AM – GM cho số dương ta có x2 z y2 x x2 z y2 x + + z ³ z = 3x y2 z2 y2 z2 y2 x z2 y y2x z2 y + + x ³ x = 3y z2 x2 z2 x2 z2 y x2 z z2 y x2 z + + y ³ y = 3z x2 y2 x2 y2 Cộng theo vế bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy x = y = z = Bài Sử dụng bất đẳng thức AM – GM cho số dương ta a b c a b c + + ³ 33 a + b- c b+ c- a c + a- b a + b- c b+ c- a c + a- b Chú ý ( a+ b- c) ( b+ c- a) ( c + a- b) £ abc Ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c Bài Sử dụng bất đẳng thức AM – GM cho số dương ta có a3 b +1 + b c +1 c3 a2 +1 a3 + b +1 + + b c +1 b2 +1 2 + c3 a2 +1 + c +1 2 ³ a2 +1 2 ³ a2 ³ b2 c Cộng theo vế bất đẳng thức kết hợp với điều kiện a2 + b2 + c2 = ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c = Bài Gọi P biểu thức vế trái bất đẳng thức ỉyz zxư ỉxy zxư ỉyz x ÷ ữ + ữ + 4ỗ + ữ + 5ỗ + ữ ữ ỗ ỗ Ta vit li P di dng P = 3ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ữ ữ ç çz y ø èx zø è yø èx Sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có yz zx yz zx + ³ = 2z x y x y yz xy yz xy + ³ = 2y x z x z xy zx xy zx + ³ = 2x z y z y 13 Suy P ³ 6z + 8y +10x = 4( x + z) + 2( z + y) + 6( x + y) ³ xz + yz +12 xy = ìï x = y = z ï Û x = y= z= Đẳng thức xảy í ïï xz + yz + xy = ỵ Bài Vì x,y,z số thực dương thoả mãn xyz = 1nên tồn số thực dương a,b,c a b c thoả mãn x = , y = , z = bất đẳng thức viết lại dạng: b c a ( a+ b- c) ( b+ c- a) ( c + a- b) £ abc Đây bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy x = y = z = Cách 2: Theo giả thiết ta có ỉ 1÷ ổ 1ử ữ= xỗ x + - 1= x ç 1+ - ÷ 1+ z - ÷ ÷ ç ç ÷ ç ÷ ç è y xø è xy xứ ổ ị ỗ ỗx + ỗ y ố ổ ỗ = xỗ z2 ỗ ỗ ố ổ1 ỗ ç ç èx ÷ỉ çz + 1÷ ÷ ç ÷ç è x ø ỉ 1ưỉ ç ç 1÷ 1+ z - ÷ z+ ÷ ÷ ç ç ÷= xè ÷è ç ç ø xø x 1÷ ÷ ÷ ø ưư ÷ ÷£ xz2 1÷ ÷ ÷÷ ÷ ø ÷ ø ưỉ ç ÷ 1÷ x - +1÷ £ yx2 ÷ ç ữ ữ ỗ ữ ứố y ứ Tng t ta có: ỉ ỉ ÷ ữ ỗ ỗ z + - 1ữ y + - 1ữ ỗ ữỗ ữÊ zy ỗ ỗ ố x ứ ố z ứ ổ ỗ ỗy + ỗ ố z Nhân theo vế bất đẳng thức kết hợp điều kiện xyz = 1ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy x = y = z = Bài 10 Theo giả thiết ta có a 1 = 1= + a +1 a +1 b+1 c +1 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho số dương ta a ³ a +1 ( b+1) ( c+1) b ³ b+1 Tương tự ta có: c ³ c +1 ( a+1) ( c+1) ( a+1) ( b+1) Nhân theo vế bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c = Nhận xét Với cách làm tương tự ta xử lý toán tổng quát cho n số dương Bài toán Với x1, x2, , xn > thỏa mãn 1 + + + = 1ta ln có 1+ x1 1+ x2 1+ xn n x1x2 xn ³ ( n- 1) Bài 11 Bất đẳng thức viết dạng tương đương: 8( x + y- z) ( y + z - x) ( z + x - y) £ ( x + y) ( y + z) ( z + x) 14