Cđ10 giai phương trình

TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN CHUN ĐỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Dạng 1: PHƯƠNG TRÌNH CĨ HỆ SỐ ĐỐI XỨNG Phương pháp giải: Do x=0 khơng phải nghiệm phương trình nên chia hai vế cho x , đặt ẩn phụ Bài 1: Giải phương trình: x  3x  x  3x  0 HD: Thấy x=0 nghiệm phương trình: Chia hai vế cho x ta được: x  3x     1    0   x     x    0 x x 3 x    1  y  x   y  , Thay vào phương trình ta có: x x y   3y  0 Đặt x  Bài 2: Giải phương trình: x  25x  12 x  25x  0 HD: Nhận thấy x = khơng phải nghiệm phương trình, chia hai vế PT x 0 ta được:   25  1  0   x    25  x    12 0 x x x x    1 Đặt: x  t  x  t  , Thay vào phương trình ta được: x x t   25t  12 0  6t  25t  24 0 x  25x  12    Bài 3: Giải phương trình: x  5x  12 x  5x  0 HD: Nhận thấy x=0 nghiệm PT, chia hai vế PT cho x 0 , ta được:    1  0   x     x    12 0 x x x x    1 Đặt: x  t  x  t  , Thay vào phương trình ta được: x x t  5t  14 0   t  7  t   x  5x  12  Bài 4: Giải phương trình: x  x  x  x  0 Bài 5: Giải phương trình: x  3x  x  3x  0 HD: Nhận thấy x = nghiệm PT, chia hai vế PT cho x 0 , ta được: x  3x   Đặt x   1   0   x    x x x    1  x    0 x  t , Phương trình tương đương với: t  3t  0 x Bài 6: Giải phương trình: x  x  14 x  x  0 HD: File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Nhận thấy x=0 nghiệm phương trình , chia hai vế PT cho x 0 ta được: x  x  14  Đặt: x     1  0   x     x    14 0 x x x x    t , phương trình trở thành: 2t  9t  10 0 x Bài 7: Giải phương trình: x  3x  x  3x  0 Bài 8: Giải phương trình: 3x  13x  16 x  13x  0 Bài 9: Giải phương trình: x  5x  38x  5x  0 Bài 10: Giải phương trình: x  x  36 x  x  0 Bài 11: Giải phương trình: x  x  x  x  0 Bài 12: Giải phương trình: x  5x  x  5x  0 Bài 13: Chứng minh phương trình sau vô nghiệm: x  x  x  x  0 Bài 14: Chứng minh phương trình sau vơ nghiệm: x  x  x  x  0 HD: Nhân hai vế phương trình với x-1 ta được:  x  1  x  x  x  x   x  0  x 1  x 1 Cách 2: Đặt y  x   x Bài 15: Chứng minh phương trình sau vơ nghiệm: x  x  x  3x  0 HD: 2 Biến đổi phương trình thành:  x  x  1  x  x   0 File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN Dạng 2: PHƯƠNG TRÌNH DẠNG  x  a   x  b   x  c   x  d  k Phương pháp: Nhận xét tích a  d b  c , nhóm hợp lý tạo biểu thức chung để đạt ẩn phụ Đôi ta phải nhân thêm với hệ số để có biểu thức chung Bài 1: Giải phương trình:  x  7  x  5  x    x   72 HD: Phương trình tương đương với  x  7  x    x  5  x   72   x  x  14 x  x  20  72 0   Đặt x  x  14 t , phương trình trở thành: t  t    72 0   t  12   t   0   23 Với t  12  x  x  14  12   x    0 2  Với t 6  x  x  14 6   x  1  x   0 Bài 2: Giải phương trình:  x  1  x  3  x  5  x  7 297 HD: Phương trình tương đương với:  x  1  x  5  x  3  x  7  297 0   x  x  21 x  x   297 0  Đặt x  x  t phương trình trở thành:  t  16 t  297 0   t  8  192 0   t  27  t  11 0 Với t 27  x  x  27   x  8  x   0 Với t  11  x  x   11   x    0 Bài 3: Giải phương trình sau:  x  7  x  5  x    x   72 HD: 2 Biến đổi phương trình thành:  x  x   x  x   24 Đặt x  x  y , Khi phương trình trở thành: 2  y  1  y  1 24  y  24  y 25 Bài 4: Giải phương trình:  x  1  x    x    x  5 40 Bài 5: Giải phương trình: x  x  1  x  1  x   24 Bài 6: Giải phương trình:  x    x  5  x    x  7 1680 Bài 7: Giải phương trình: x  x  1  x  1  x   24 Bài 8: Giải phương trình:  x  1  x  3  x  5  x  7 297 Bài 9: Giải phương trình: x  x  1  x    x  3 24 Bài 10: Giải phương trình:  x  2  x  2  x File word: Zalo_0946 513 000  10 72  -File word: Zalo_0946 513 000  TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN HD: Đặt x   y Phương trình trở thành: y  y   72  y  y  81   y  3  92 0 Bài 11: Giải phương trình: x  x  1  x  1 9 HD: Nhân vào hai vế ta được: 8x  8x  1  8x   72 2 Đặt 8x   y , ta :  y  1 y  y  1 72   y  9  y  8 0 Bài 12: Giải phương trình:  12 x  7  3x    x  1 3 HD: Nhân hai vế với 24 ta được:  12 x  7  12 x  8  12 x   72 Đặt 12   y Bài 13: Giải phương trình:  x  1  x  1  x  3 18 HD: Nhân hai vế với ta được:  x  1  x    x  3 0 , Dặt x   y Bài 14: Giải phương trình:  x  7  3x    x  1 6 HD: Nhân hai vế với 12 ta được:  x  7  x  8  x   72 Đặt y 6 x  Bài 15: Giải phương trình:  x  1  12 x  1  3x    x  1  0 HD : Phương trình   x  1  3x    12 x  1  x  1  0  12 x  11x  12 x  11x   0    Đặt 12 x  11x  t phương trình trở thành:  t  3 t  0   t    t  1 0 Với t   12 x  11x    12 x  11x  0 Với t 1  12 x  11x  1   3x    x  1 0 Bài 16: Giải phương trình:  x  1  x  8x  3 18 HD: Biến đổi phương trình thành:  x  1 2  x  x   1 18   x  1   x  1  1 18       Đặt  x  1 t ,  t 0  , Thay vào phương trình ta được: t  4t  1 18  4t  t  18 0 Bài 17: Giải phương trình:  x    x  3  x    x    x 0 HD: Vì x 0 khơng nghiệm phương trình nên chia hai vế phương trình cho x ta được: File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 12 12  12    4 x   1  0 Đặt t  x  , ta có: x x x x     t 1  t    t  1  0  t  3t  0    t 2  x 4 12 1  x  x  12 0   Với t 1  x  x  x  Với t 2  x  x  12 0  x 1  13 Vậy phương trình cho có bốn nghiệm: x  3; x 4; x 1  13 Dạng 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA ĐƯỢC VỀ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG  x  a   x  b  Bài 1: Giải phương trình: 4  x  1   x  3 c 82 HD: 4 Đặt y  x  , ta có:  y  1   y  1 82  y  y  40 0 Bài 2: Giải phương trình:  x     x  8 16 HD: 4 Đặt x  y , phương trình trở thành:  y  1   y  1 16 Rút gọn ta được: y  12 y  16  y  y2  0 4 Bài 3: Giải phương trình:  x     x  6 82 4 Bài 4: Giải phương trình:  x  3   x  5 2 4  x  3   x  5 16 Bài 6: Giải phương trình:  x     x  3 1 Bài 7: Giải phương trình:  x  1   x  3 82 Bài 8: Giải phương trình:  x  2,5   x  1,5 1 Bài 9: Giải phương trình:   x    x   32 Bài 5: Giải phương trình: 4 4 4 4 4 Bài 10: Giải phương trình:  x  1   x  3 2 File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Dạng 4: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH ĐẶT ẨN PHỤ Bài 1: Giải phương trình: x  3x   x  3x   24 0 Bài 2: Giải phương trình: Bài 3: Giải phương trình:  x x 2     x    x  x  12  x    15  x  x  10  1 2 2 HD : Đặt : x  x   x  3 t ,  t 0  , Thay vào phương trình ta : t  15  t  1 1  t  15t  16 0   t  1  t  16  0 Bài 4: Giải phương trình: x 2  x   x   43  HD : Biến đổi phương trình : x  x  x  x  43 Đặt x  x  y     2 Bài 5: Giải phương trình:  x  3  16  x  3 0 HD : 2 2 Ta có: PT   x  3   x  12  0   x   x  12   x   x  12  0   x  x  15  x  x   0 Bài 6: Giải phương trình sau: x  x  x  0 HD: 2 Biến đổi phương trình thành:  x  x  x  x  8x  5 0  x  x  x  x  0     4 Bài 7: Giải phương trình:   x     x    x  HD: 3  x  y   x  y  z , phương trình trở thành:   x z Đặt  y  z   y  z   yz y2  3yz  2z 0 Bài 8: Giải phương trình:    x  7   x    15  x  HD:   2 Đặt x  a, x  b  a4  b   a  b  0  4ab  a  ab  b  0  3 Bài 9: Giải phương trình:  x  1   x    x  1  HD:  x  y Đặt   x  z   x t ta có: x  y  z 0 Phương trình trở thành: y3  z  t 0 yzt 0  x  1  x     x  0 File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN  x  1   x   Bài 10: Giải phương trình: HD:  x  1 Đặt x  a, x  b,1  x c  a  b  c 0 3 Phương trình tương đương với  x  1   x      x  0  a3  b  c 0 x Bài 11 : Giải phương trình: 2   3x x   x 0    HD: 2 Đặt x   y  y  3xy  x 0   x  y   y  x 0  Bài 12: Giải phương trình: x  x  x  1  12  x  1 0 HD :  x a 2 Đặt  Khi phương trình trở thành: a  4ab  12b 0   a  6b   a  2b  0  x  1 b Với a 6b  x 6  x  1  x  12 x  0   x    30   Với a  2b  x  x  0   x    2 Bài 13: Giải phương trình:  3x  8x    x    12 x 0 HD: Phương trình tương đương với:   3x    x    x    x    12 x 0 2  3x  x   x    12 x 0  x  x  x   x    12 x 0     2 2   x   x     x    12 x 0  x  x     x    12 x 0     x a Đặt:  , Khi phương trình trở thành:   x   b 12 a  ab  b 0  12a  6ab  ab  b 0  6a  a  b   b  2a  b  0   6a  b   a  b  0  6a  b 0    2a  b 0  6a b  x  x  x   x  x  0   a b 0  l   2 2 Bài 14: Giải phương trình: x  x  x  192 Giải pt ta được: x     HD: Biến đổi phương trình thành:  x  1  x  1  x  3 192   x  1  x  1  x  3 192 2 Đặt x   y  Phương trình trở thành:  y   y  y   192  y  y   192 Đặt y  z , Phương trình trở thành:  z    z   192  z 14 3 Bài 15: Giải phương trình: x   x  1   x    x  3 HD: 3 Đặt x  y  , Phương trình trở thành:  y  3   y     y  5  y  6 File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN  y y  y  21 0   2 Bài 16: Giải phương trình:  x  x  1   x  1 5  x3  1 HD : Vì x  khơng nghiệm phương trình nên chia hai vế cho x3  ta được: x2  x 1 x 1 x  x 1 2 Đặt t   3t  5  3t  5t  0  t 2, t  x 1 x  x 1 x 1 t t 2  x  x  0  x  t   13  3x  x  0 phương trình vơ nghiệm Bài 17: Giải phương trình:  x  1  x    x  3  x    x   360 HD: 2 Phương trình   x  x    x  x    x  x   360 Đặt t x  x , ta có phương trình:  y    y    y   360  x 0  y y  22 y  157 0  y 0  x  x 0    x  Vậy phương trình có hai nghiệm: x 0; x    Bài 18: Giải phương trình:  x  x    x3  24 x  30 0 HD: 3 Ta có: x  x  30 5  x  x    x  nên phương trình tương đương x     x   x  24 x  x3  24 x  30 0 Đặt u x  x  Ta hệ: u  5u   x   u  x  u  ux  x  0  u  x   x  x  u  x  x  0   x  1  x  x   0  x    Vậy x  nghiệm phương trình 2 Bài 19: Giải phương trình:  x  x    x  x  3 6 HD:  t 2 Đặt x  x  t Phương trình cho thành t  t  1 6    t  Với t 2 x  x  2  x  x 0  x 0 x  Với t  x  x    x  x  0  x   Vậy tập nghiệm phương trình S  1;0;   1   21 21   21  ;  2  Bài 20: Giải phương trình:  x    3x    x  1 1 HD: File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN 2 Biến đổi phương trình thành  36 x  84 x  49   36 x  84 x  48  12  t 3 Đặt t 36 x  84 x  48 phương trình thành t  t  1 12    t  Với t 3 36 x  84 x  48 3  36 x  84 x  45 0  x  x  Với t  36 x  84 x  48   36 x  84 x  52 0 , phương trình vơ nghiệm   3 2 Vậy tập nghiệm phương trình S   ;   4 Bài 21: Giải phương trình:  x  1   x  3 82 HD:  y 1  x 0   Đặt y x 1 phương trình cho thành 24 y  48 y  216 82    y   x  Vậy tập nghiệm phương trình cho S   2; 0 Bài 22: Giải phương trình:  x  1  x    x    x  5 10 HD: x 1  x   x   x  x  phương trình trở thành:  y   x   y  y  10  y  y  0     y   x   Đặt y       Vậy tập nghiệm phương trình S    3;  Bài 23: Giải phương trình:  x  x    x  x   2 x HD: Do x 0 khơng phải nghiệm phương trình, chia hai vế cho x ta được: 2 2  2    x   1  x    2 Đặt y x  phương trình trở thành x  x x    x  0  y    x  x     y 1  y   2    y   x    x   x Bài 24: Giải phương trình:  x    x  1  x    x   4 x HD: Biến đổi phương trình thành:   x  2  x  4    x  1  x  8  4 x   x  x    x  x   4 x Do x 2 không nghiệm nên chia hai vế phương trình cho x ta được: File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 8     x     x    4 Đặt y  x  phương trình trở thành x x x     y 5  y    y   4  y  15 y  50 0    y 10 Với y 5 x  5  x  x  0 (vô nghiệm) x  x 5  17 Với y 10 x  10  x  10 x  0   x  x 5  17   Vậy tập nghiệm phương trình S   17;5  17 2 Bài 25: Giải phương trình:  x  x  1   x  3x  1  x 0 HD: Do x 0 không nghiệm phương trình, chia hai vế phương trình cho x ta 2 1      x      x     0 Đặt y  x  , phương trình trở thành: x x x       1  x   x   y   2 x    y     y  3  0  y  0   Suy   1  x    y  x   x       ; Vậy tập nghiệm phương trình S     Bài 26: Giải phương trình: 3x  x3  x  x  0 HD: Phương trình khơng nhận x 0 nghiệm, chia hai vế cho x :  1    x     x    0 Đặt t  x  phương trình trở thành 3t  4t  0 x  x x   3t  4t  0  t 1 t  1 1 Với t 1 x  1  x  x  0  x  x  x 2 1 1  37  37 Với t  x    3x  x  0  x3  x4  x 2 1    37  37  ; ; ; Vậy tập nghiệm phương trình S   2   Bài 27: Giải phương trình: x  21x3  34 x  105 x  50 0 (1) HD: 105 50  k  25 nên phương trình phương trình bậc bốn có hệ số đối  21 5 25  25   xứng tỉ lệ  1   x    21 x    34 0 Đặt t  x  suy t  x   10 x  x x x   Phương trình trở thành 2t  21t  54 0  t 6 t  Ta thấy k  File word: Zalo_0946 513 000 10 -File word: Zalo_0946 513 000