Cđ13 chứng minh ba điểm thẳng hàng

TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Chuyên đề 13 CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG A Kiến thức cần nhớ Ba điểm thuộc đường thẳng gọi ba điểm thẳng hàng Để chứng minh ba điểm thẳng hàng, sử dụng số phương pháp sau đây: Phương pháp · · Nếu ABD + DBC = 180° ba Điểm A; B; C thẳng hàng Phương pháp Nếu AB // a AC // a ba điểm A; B; C thẳng hàng (Cơ sở phương pháp là: tiên đề Ơ-Clit) Phương pháp Nếu AB ^ a; AC ^ a ba điểm A; B; C thẳng hàng (Cơ sở phương pháp là: Có đường thẳng a’ qua điểm O vuông góc với đường thẳng a cho trước) Hoặc A; B; C thuộc đường trung trực đoạn thẳng Phương pháp Nếu tia OA tia OB hai tia phân giác góc xOy ba điếm O; A; B thẳng hàng (Cơ sở phương pháp là: Mỗi góc khác góc bẹt có tia phân giác) * Hoặc: Hai tia OA OB nằm nửa mặt phẳng bờ chứa · · tia Ox, xOA ba điểm O, A, B thẳng hàng = xOB Nếu K trung điểm BD, K’ giao điểm BD AC Nếu K’ trung điểm BD K ¢º K A, K, C thẳng hàng (Cơ sở phương pháp là: Mỗi đoạn thẳng có trung điểm) B Một số ví dụ File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN Ví dụ Cho tam giác ABC vuông A, M trung điểm AC Kẻ tia Cx vng góc CA (tia Cx điểm B hai nửa mặt phẳng đối bờ AC).Trên tia Cx lấy điểm D cho CD = AB Chứng minh ba điểm B, M, D thẳng hàng Giải * Tìm cách giải Muốn B, M, D thẳng hàng · · cần chứng minh BMC + CMD = 180° Do · · AMB + BMC = 180° nên cần chứng minh · · AMB = DMC * Trình bày lời giải D AMB D CMD có: · · AB = DC (gt), BAM = DCM = 90°, MA = MC (M trung điểm AC) · · Do đó: D AMB = D CMD (c.g.c), suy ra: AMB = DMC · · · · Mà AMB + BMC = 180° (kề bù) nên BMC + CMD = 180° Vậy ba điểm B; M; D thẳng hàng Ví dụ Cho hai đoạn thẳng AC BD cắt trung điểm O đoạn Trên tia AB lấy điểm M cho B trung điểm AM, tia AD lấy điểm N cho D trung điểm AN Chứng minh ba điểm M, C, N thẳng hàng Giải * Tìm cách giải Chứng minh: CM // BD CN // BD từ suy M, C, N thẳng hàng * Trình bày lời giải D AOD  D COB có OA = OC (vì O trung điểm AC) · · (hai góc đối đỉnh) AOD = COB OD = OB (vì O trung điểm BD)   COB (c.g.c) Do D AOD =D · · Suy ra: DAO Mà hai góc vị tri so le trong, = OCB · · do: AD // BC, nên DAB (ở vị trí đồng vị) = CBM · · , AB = BM (B trung điểm AM) D DAB D CBM có: AD = BC (do D AOD = D COB ), DAB = CBM · · Vậy D DAB = D CBM (c.g.c) Suy ABD Do BD // CM (1) = BMC Lập luận tương tự ta BD // CN (2) Từ (1) (2), theo tiên đề Ơ-Clit suy ba điểm M, C, N thẳng hàng File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có AB = AC Gọi M trung điểm BC a) Chứng minh AM ^ BC b) Vẽ hai đường tròn tâm B tâm C có bán kính cho chúng cắt hai điểm P Q Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng Giải * Tìm cách giải Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng, có thể: - Chứng minh AM, PM, QM vng góc BC - Hoặc AP, AQ tia phân giác góc BAC * Trình bày lời giải a) D ABM D ACM có: AB =AC (giả thiết), AM chung, MB = MC (M trung điểm BC) · · Vậy D ABM = D ACM (c.c.c), AMB (hai góc tương ứng) = AMC · · · · Mà AMB + AMC = 180° (hai góc kề bù) nên AMB = AMC = 90° Do đó: AM ^ BC (điều phải chứng minh) b) Cách Chứng minh tương tự ta được: D BPM = D CPM (c.c.c) · · · · · · Suy ra: PMB (hai góc tương ứng), mà PMB = PMC + PMC = 180° nên PMB = PMC = 90° Do đó: PM ^ BC Lập luận tương tự QM ^ BC Từ điểm M BC có AM ^ BC, PM ^ BC, QM ^ BC nên ba điểm A, P, Q thẳng hàng (điều phải chứng minh) - Cách D BPA D CPA có AB = AC, AP cạnh chung, BP = CP (cùng bán kính) · · · Þ D BPA = D CPA (c.c.c) Þ BAP Vậy AP tia phân giác BAC (1) = CAP D ABQ D ACQ có AB = AC, AQ cạnh chung, BQ = CQ (cùng bán kính) Þ D ABQ = D ACQ · · (c.c.c) Þ BAQ = CAQ · Vậy AQ tia phân giác BAC (2) Từ (1) (2) suy ba điểm A; P; Q thẳng hàng Ví dụ Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh AB lấy điểm M, tia đối tia CA lấy điểm N cho BM = CN Gọi K trung điểm MN Chứng minh ba điểm B, K, C thẳng hàng Giải File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN - Cách Kẻ ME ^ BC; NF ^ BC ( E; F Ỵ BC) D BME D CNF vuông E F có: · · · BM = CN (gt), MBE (cùng ACB ) = NCF Do đó: D BME = D CNF (cạnh huyền-góc nhọn) Suy ra: ME = NF Gọi K ¢ giao điểm BC MN · · D MEK ¢ D NFK ¢vng E F có: ME = NF (cmt), EMK ¢= FNK ¢ (so le ME // FN) Vậy D MEK ¢= D NFK ¢(g-c-g) Do đó: MK ¢= NK ¢ Vậy K ¢ trung điểm MN, mà K trung điểm MN nên K = K ¢ Do ba điểm B, K, C thẳng hàng - Cách Kẻ ME // AC ( E Ỵ BC ) · · (hai góc đồng vị) Þ ACB = MEB · · · · Mà ACB nên MBE = ABC = MEB Vậy D MBE cân M Do đó: MB = ME, kết hợp với giả thiết MB = NC ta ME = CN Gọi K ¢ giao điểm BC MN · ¢ME = K · ¢NC D MEK ¢và D NCK ¢ có: K (so le ME //AC) · · ME = CN (chứng minh trên), MEK ¢= NCK ¢ (so le ME //AC) Do đó: D MEK ¢= D NCK  (g.c.g) ị MK Â= NK  Vy K ¢ trung điểm MN, mà K trung điểm MN nên K º K ¢ Do ba điểm B, K, C thẳng hàng - Lưu ý Cả hai cách giải trên, có nhiều bạn chứng minh D MEK = D NCK vơ tình thừa nhận B, K, C thẳng hàng, việc chứng minh nghe có lý khơng biết chưa xác · Ví dụ Cho tam giác ABC cân A, BAC = 108° Gọi O điểm nằm tia phân giác góc C · cho CBO = 12° Vẽ tam giác BOM (M A thuộc nửa mặt phẳng bờ BO) Chứng minh ba điểm C, A, M thẳng hàng Giải · · * Tìm cách giải Chứng minh OCA từ suy tia CA tia CM trùng = OCM * Trình bày lời giải Tam giác ABC cân A nên File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 180°- 108° · · ABC = ACB = = 36° (tính chất tam giác cân) · Mà CO tia phân giác ACB , · · · nên ACO = BCO = 18° Do BOC = 150° · D BOM nên BOM = 60° · = 360° — ( 150°+ 60°) = 150° Vậy: MOC D BOC D MOC có: OB = OM (vì D BOM đều); · · BOC = MOC = 150°; OC chung, đó: D BOC = D MOC (c.g.c) · · · · · · Suy ra: OCB mà OCB (gt) nên OCA = OCM = OCA = OCM · · Hai tia CA CM nằm nửa mặt phẳng bờ CO OCA = OCM nên tia CA tia CM trùng Vậy ba điểm C, A, M thẳng hàng (đpcm) µ = 60° Vẽ tia Cx ^ BC lấy CE = CA (CE CA Ví dụ Cho tam giác ABC vng A B phía với BC) Trên tia đối tia BC lấy F cho BF = BA Chứng minh rằng: a) D ACE đều; b) E, A, F thẳng hàng Giải * Tìm cách giải Nhận thấy tam giác µ = 60° nên ABC vuông A B · · ACB = 30°Þ ACE = 60° D CAE Do muốn chứng tỏ B, A, F thẳng hàng cần · chứng tỏ BAF = 30° * Trình bày lời giải · µ = 60° nên ACB a) ABC vuông A B = 30° · Þ ACE = 60° mà CA = CB nên D CAE · · b) Ta có: BA = BF (gt) Þ D BFA cân Þ ABC = BAF · Suy ra: BAF = 30° · · · Vậy: FAB + BAC + CAE = 30°+ 90°+ 60°= 180° Ta suy ba điểm F; A; E thẳng hàng File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN C Bài Tập vận dụng 13.1 Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Trên tia đối tia MA lấy điểm E cho ME = MA a) Chứng minh AC = EB AC // BE b) Gọi I điểm AC; K điểm EB cho AI = EK Chứng minh ba điểm I, M, K thẳng hàng µ < 90° Kẻ BD vng góc với AC, kẻ CE vng góc với AB Gọi K 13.2 Cho D ABC cân A, có góc A giao điểm BD CE Chứng minh rằng: a) D BCE = D CBD; b) D BEK = D CDK ; c) AK phân giác góc BAC d) Ba điểm A, K, I thẳng hàng (với I trung điểm BC) · 13.3 Cho D ABC có AB < AC Kẻ tia phân giác AD BAC (D thuộc BC) Trên cạnh AC lấy điểm E cho AE = AB, tia AB lấy điểm F cho AF = AC Chứng minh rằng: a) D BDF = D EDC; b) F, D E thẳng hàng; c) AD ^ FC 13 Cho tam giác ABC vuông cân A Vẽ phía ngồi tam giác ABC tam giác BCM cân M có góc đáy 15° Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C, vẽ tam giác ABN Chứng minh ba điểm B, M, N thẳng hàng 13.5 Cho tam giác ABC Vẽ phía ngồi tam giác ABC tam giác vng A D ADB; D ACE có AB = AD, AC= AE Kẻ AH vng góc BC; DM vng góc AH EN vng góc AH Chứng minh rằng: a) DM= AH b) Gọi I trung điểm MN Chứng minh D, I, E thẳng hàng 13.6 Cho góc xOy Trên hai cạnh Ox Oy lấy hai điểm B C cho OB = OC Vẽ đường tròn tâm B tâm C có bán kính cho chúng cắt hai điểm A D nằm góc xOy Chứng minh ba điểm O, A, D thẳng hàng 13.7 Cho tam giác ABC vuông A Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, vẽ điểm D, E cho BD vng góc BA, BE vng góc BC Gọi M trung điểm đoạn thẳng CE Chứng minh A, D, M thẳng hàng 1· · = ABC 13.8 Cho D ABC vuông A, BC = 2AB Gọi D điểm cạnh AC cho ABD Lấy E 1· · = ACB điểm cạnh AB cho ACE BD CE cắt F; I K theo thứ tự chân File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN đường vng góc kẻ từ F đến BC AC Vẽ điểm G H cho I trung điểm FG, K trung điểm FH Chứng minh ba điểm H, D, G thẳng hàng · 13.9 Cho tam giác ABC vuông A Kẻ AH vng góc với BC H; ACB = 30° Dựng tam giác ACD (D B nằm khác phía AC) Kẻ HK vng góc với AC K Đường thẳng qua H song song với AD cắt AB kéo dài M Chứng minh ba điểm M, K, D thẳng hàng HƯỚNG DẪN GIẢI 13.1 a) D AMC D EMB có MA = ME, ·AMC = EMB · ; MB = MC Þ D AMC = D EMB (c.g.c) · · Þ AC = EB; CAM = MEB Þ AC / / BD b) D AIM D EKM có AM = EM; · · CAM = MEB ; AI = EK Þ D AIM = D EKM (c.g.c) · · · · · · mà AMI Þ AMI = EMK + IME = 180°Þ EMK + IME = 180° Þ I, M, K thẳng hàng 13.2 · · · · a) D BCE D CBD có BEC ; BC cạnh chung = CDB = 90°; EBC = DCB Þ D BCE = D CBD (cạnh huyền, góc nhọn) b) D BCE = D CBD Þ BE = CD D BKE D CDK có · · · · BEK = CDK = 90°; BE = CD; BKE = CKD Þ D BKE = D CKD (góc nhọn, cạnh góc vng) c) D BKE = D CKD Þ KE = KD · · D AEK D ADK có AEK = ADK = 90° ; · · AI chung; KE = KD Þ D AEK = D ADK Þ EAK = DAK · Hay AK tia phân giác BAC (1) d) D ABI D ACI có AB = AC; AI cạnh chung; BI = CI Þ D ABI = D ACI (c.c.c) · · · hay AI tia phân giác BAC (2) Þ BAI = CAI Từ (1) (2) suy A; K; I thẳng hàng 13.3 · · a)  D ABD D AED có AB = AE; BAD ; AD cạnh chung = EAD File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN · · Þ D ABD = D AED (c.g.c) Þ BD = ED; ABD = AED · · · · · · Mặt khác ABD + DBF = 180°; AED + DEC = 180° nên DBF = DEC Ta có AF = AC; AB = AE Þ BF = EC D BDF D EDC có BF = CF; · · DBF = DEC ; DB = DE Þ D BDF = D EDC (c.g.c) b) D BDF = D EDC · · mà Þ BDF = EDC · · BDF + FDC = 180° · · Þ EDC + FDC = 180° Þ F, D, E thẳng hàng c) Gọi H giao điểm AD CF · · ; AH chung D AHF D AHC có AF = AC; FAH = CAH · · · · D AHF = DAHC (c.g.c) Þ AHF mà AHF = AHC + AHC = 180° · · Þ AHF = AHC = 90° Vậy AH ^ FC hay AD ^ FC 13.4 · Gợi ý: Tính góc ABN = 60° · · Þ ·ABM = ABC + CBM = 60° mà BN; BM thuộc nửa mặt phẳng bờ AB nên tia BM trùng với tia BN Vậy B, M, N thẳng hàng 13.5 · · · · · a) Ta có D DMA vng M nên MDA + MAD = 90° mà BAH + MAD = 90° (vì BAD = 90° ) · · Þ MDA = BAH · · Xét D DMA D AHB có DMA = AHB = 90° ; · · MDA = BAH ; AD = AB nên D DMA = D AHB (cạnh huyền, góc nhọn) Þ DM = AH b) Chứng minh tương tự câu a, ta có: D ANE = D CHA, suy AH = EN · · ( = 90°) , = INE Xét D MID D NIE có IMD IM = IN, DM = DN (= AH), suy File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN · · D MID = D NIE (c.g.c) Þ MID = NIE · · · · Mặt khác MID + NID = 180°Þ NIE + NID = 180° Vậy D, I, E thẳng hàng 13.6 D BOD  D COD có: OB = OC (gt); OD cạnh chung; BD = CD (D giao điểm hai đường tròn tâm B tâm C bán kính) Vậy D BOD = D COD · · (c.c.c), suy ra: BOD = COD Điểm D nằm góc xOy nên tia OD nằm hai tia Ox Oy · Do OD tia phân giác xOy Chứng minh tương tự ta OA · tia phân giác xOy Góc xOy có tia phân giác nên hai tia OD OA trùng Vậy ba điểm O, D, A thẳng hàng 13.7 Kẻ MK ^ AB; MH ^ AC, Ta có M trung điểm CE nên D BME = D BMC (c.c.c) · · Þ EBM = CBM = 45° · · · Mặt khác EBC = 90°Þ KBE + ABC = 90° · · · · · · Mà ACB + ABC = 90° ,suy ra: KBE = ACB Þ KBM = HCM Lại có BM = MC Þ D KBM = D HCM (cạnh huyền, góc nhọn) Þ MK = MH Þ D AKM = D AHM (cạnh huyền, cạnh · · góc vng) Þ KAM = HAM Þ AM tia phân giác góc A Mặt khác, D BAD vng cân A · Þ BAD = 45°Þ AD tia phân giác góc A Þ A; D; M thẳng hàng (vì A; D; M thuộc tia phân giác góc A) · · 13.8 Theo đề D ABC vng A có BC = 2AB nên ABC = 60°; ACB = 30° 1· · · ABD = ABC = 20°Þ DBC = 40° File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 1· · · ABD = ABC = 10°Þ BCE = 20° D CIF D CIG có IF = IG (gt) · · CIF = CIG = 90° ; IC: cạnh chung Þ D CIF = D CIG (c.g.c) · · Þ CG = CF ICG = ICF = 20° Tương tự D CKF = D CKH (c.g.c) · · Þ CF = CH KCH = KCF = 10° · · · · Từ suy CG = CH GCF + FCH = ACB = 60° , CHG = 60° (1) · · D DKF = D DKH có KF = KH (giả thiết), DKF = DKH = 90° , KD: cạnh chung, DF = DH, · · D CDF = D CDH (c.c.c) suy CHD = CFD · · · D ABD vng A có ABD = 20°Þ ADB = 70°Þ CDF = 110° · · · · = 60° (2) Þ CFD = 180°- CDF - FCD = 180°- 110°- 10°= 60° CHD · · Từ (1) (2) suy CHD Mà hai tia HD, HG nằm nửa mặt phẳng bờ = 60°= CHG đường thẳng HC nên HD trùng với HG, nghĩa ba điểm H, D, G thẳng hàng 13.9 Gọi F trung điểm AC Þ AH = AC Þ D AHF Þ HF / / AD Þ M, H, F thẳng hàng Mà AK = KF; D AMF = D FDA ( g.c.g ) Þ AM = DF Þ D AMK = D FDK (c.g.c) · · Þ AKM = DKF Þ M, K, D thẳng hàng File word: Zalo_0946 513 000 10 -File word: Zalo_0946 513 000