Cđ4 tiên đề ơ clít tính chất của hai đường thẳng song song

TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN Chương I HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GÓC HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG Chuyên đề TIÊN ĐỀ Ơ-CLÍT TÍNH CHẤT CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG A Kiến thức cần nhớ Tiên đề Ơ-clít: Qua điểm ngồi đường thẳng có đường thẳng song song với đường thẳng Trong hình 4.1, đường thẳng m qua O song song với a Tính chất hai đường thẳng song song Nếu đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì: a) Hai góc so le nhau; b) Hai góc đồng vị nhau; c) Hai góc phía bù Quan hệ tính vng góc với tính song song a) Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng thứ ba chúng song song với (h.4.2); b) Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng song song vng góc với đường thẳng (h.4.2); c) Hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba chúng song song với (h.4.3) B Một số ví dụ µ 60 Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa A vẽ tia Cx Cy Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, µA 75 ; B · cho ·ACx 75 ; BCy 120 Chứng tỏ tia Cx Cy trùng Giải (h.4.4) * Tìm cách giải Để chứng tỏ hai tia Cx Cy trùng ta chứng tỏ hai đường thẳng chứa hai tia trùng nhau, đồng thời hai tia nằm nửa mặt phẳng bờ BC * Trình bày lời giải Ta có ·ACx  µA 75  Cx / / AB (vì có cặp góc so le nhau) (1) File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN · µ 120  60 180 Ta có BCy B  Cy / / AB (vì có cặp góc phía bù nhau) (2) Từ (1) (2), theo tiên đề Ơ-clít, ta có hai đường thẳng Cx Cy trùng Mặt khác, hai tia Cx Cy nằm nửa mặt phẳng bờ BC có chứa A nên hai tia ny trựng ả 30 Tớnh s đo góc ¶A B Ví dụ 2: Hình 4.5 có a / /b µ A1  B 2 Giải * Tìm cách giải ¶ so le với góc µ µ nên cần tớnh à l cú th suy ảA v B ¶ Vì a / /b ¶A2 , B A1 , B A1 , B 1 2 * Trình bày lời giải µ 180 (cặp góc phía) Ta có a / /b nên µ A1  B µ 30 (đề bài) nên µ A1  180  30  : 105 Mặt khác, µ A1  B µ 180  105 75 B µ 75 (cặp góc so le trong); B ả A 105 (cp gúc so le trong) Suy ¶A2 B ¶ ;B µ B ¶ x  y Ví dụ 3: Tính số đo x, y hình 4.6, biết µ A1  A 2 Giải * Tìm cách giải Nếu chứng minh a / / b tìm x y (đây tốn tìm hai số biết tổng tỉ số) * Trình bày lời giải Ta cú A1 ảA2 180 (k bự) m µ A1  ¶A2 (đề bài) nên µ A1 180 : 90 Suy AB  a Tương tự AB  b Do a / /b (cùng vng góc với AB) 180 3 54 ; y 126 Ta có x  y 180 (cặp góc phía) mà x  y nên x  10 µ 70 ; ·AOB 100 Chứng tỏ Ax / / By Ví dụ 4: Hình 4.7 có µA 30 ; B Giải * Tìm cách giải Ta phải chứng minh hai đường thẳng Ax By song song Giữa hai đường thẳng chưa có đường thẳng thứ ba cắt chúng nên chưa thể vận dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh chúng song song File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Ta vẽ thêm đường thẳng thứ ba làm trung gian dùng dấu hiệu: hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba song song * Trình bày lời giải (h.4.8) µ 30 (cặp góc so le trong) Ở góc AOB, vẽ tia Ot / / Ax Khi ·AOt  A · Suy BOt 100  30 70 µ BOt · (70 ) Vậy B Do By / / Ot (vì có cặp so le nhau) Từ suy Ax / / By (vì song song với Ot) C Bài tập vận dụng  Tiên đề Ơ-clít 4.1 Cho tam giác ABC Vẽ điểm M cho góc BAM so le với góc B Vẽ điểm N góc CAN so le với góc C Chứng tỏ ba điểm M, A, N thẳng hàng Hướng dẫn giải (h.4.19) · µ suy AM / / BC (vì có cặp góc so le Ta có BAM B nhau) · µ suy AN / / BC (vì có cặp góc so le nhau) CAN C Theo tiên đề Ơ-clít qua điểm A có đường thẳng song song với BC, ba điểm M, A, N thẳng hàng 4.2 Qua điểm A đường thẳng a vẽ 101 đường thẳng Chứng tỏ có 100 đường thẳng cắt a Hướng dẫn giải (h.4.20) Giả sử số 101 đường thẳng vẽ qua A có chưa đến 100 đường thẳng cắt a Suy cịn hai đường thẳng khơng cắt a Hai đường thẳng qua A song song với a Điều vơ lí trái với tiên đề Ơ-clít Vậy điều giả sử sai, qua A có 100 đường thẳng cắt a 4.3 Cho điểm O đường thẳng xy Qua O vẽ n đường thẳng Xác định giá trị nhỏ n để số đường thẳng vẽ, có 10 đường thẳng cắt xy Hướng dẫn giải Trong số n đường thẳng vẽ, nhiều có đường thẳng song song với xy Do muốn có 10 đường thẳng cắt xy số đường thẳng phải vẽ 11 Vậy n 11  Tính chất hai đường thẳng song song File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 4.4 Cho tam giác ABC Từ điểm D cạnh BC vẽ DE / / AB, DF / / AC  E  AC , F  AB  a) Kể tên góc hình vẽ góc A; µ C µ 110 , tính số đo góc A b) Giả sử B Hướng dẫn giải (h.4.21) · µ (cặp góc đồng vị); DF / / AC nên BFD · µ (cặp góc đồng vị) a) Ta có DE / / AB nên DEC A A · · Mặt khác BFD (so le DE / / AB ) FDE · · · Suy µA DEC BFD FDE ả B (cp gúc ng v ca DE / / AB ); D ả C (cp gúc so b) Ta có D le DF / / AC ); ả D ả B C µ 110 Suy FDE · Do D 180  110 70 · Vậy µA 70 (vì µA FDE ) 4.5 Cho tam giác ABC Từ điểm M cạnh BC vẽ MD / / AB, ME / / AC  D  AC , E  AB  Xác định vị trí điểm M để tia MA tia phân giác góc DME Hướng dẫn giải (h.4.22) ¶ (cặp góc so le trong); ME / / AC Ta có MD / / AB suy A1 M ả (cặp góc so le trong) suy ¶A2 M Tia MA nằm hai tia MD ME Do tia MA tia phân giác góc DME ¶ M ¶  A µ A ¶  M giao điểm BC với tia phân giác M 2 góc A µ m  m  90  ; ·ABC 180  2m Bx / / AC Chứng minh tia Bx tia phân 4.6 Hình 4.9 có C giác góc Aby Hướng dẫn giải (h.4.9) Ta có ·ABC 180  2m nên ·ABy 180   180  2m  2m · µ m (cặp góc đồng vị); suy Mặt khác Bx / / AC nên xBy C · ·ABx 2m  m m Vậy ·ABx xBy m Tia Bx nằm hai tia BA By (1) (2) Từ (1) (2) suy tia Bx tia phân giác góc ABy  Vận dụng dấu hiệu nhận biết tính chất hai đường thẳng song song File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN ¶ D ¶ Chứng tỏ b  m 4.7 Hình 4.10, ngồi số đo ghi biết D Hướng dẫn giải (h.4.10) · Ta có ·ACD 180  120 60 Vậy ·ACD BAa 60 Suy m / / n (vì có cặp góc đồng vị nhau) ¶ D ¶ 180 mà D ¶ D ¶ nên D ¶ 90 Ta có D 2 Suy b  n b  m (vì m / / n ) · · 4.8 Hình 4.11 có AB  AC , CD  AC OE  AC Biết OAB m ; OCD 50 Tìm giá trị m để tia OE tia phân giác góc AOC Hướng dẫn giải (h.4.11) Ta có AB  AC ; CD  AC ; OE  AC (đề bài) Suy AB / / CD / / OE (cùng vng góc với AC) · · · Do ·AOE OAB m (cặp góc so le trong); EOC OCD 50 (cặp góc so le trong) · Tia OE nằm hai tia OA OC nên tia OE tia phân giác góc AOC  ·AOE EOC  m 50 · 4.9 Hình 4.12 có ·AEF 45 , EFC 3 ·AEF Các tia Em Fn tia phân giác góc AEF EFD Chứng tỏ Em / / Fn Hướng dẫn giải (h.4.12) · Ta có ·AEF  EFC 45  45 180 Suy AB / / CD (vì có cặp góc phía bù nhau) · Do ·AEF EFD (cặp góc so le trong) µ  ·AEF ; F µ  EFD · µ F µ , dẫn tới Em / / Fn (vì có cặp góc so le nhau) Mặt khác E nên E 1 1 2 File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN µ Ax / / Bm Chứng tỏ Ay / / Bn 4.10 Hình 4.13 có µA B Hướng dẫn giải (h.4.23) Gọi C giao điểm hai đường thẳng Ay Bm Ta có Ax / / Bm nên µA  ·ACm (cặp góc so le trong) · µ · A Mặt khác, µA mBn nên ·ACm mBn   Do Ay / / Bn (vì có cặp góc đồng vị nhau) µ b  a, b  90  ·AOB a  b Chứng tỏ Ax / / By 4.11 Hình 4.14 có µA a ; B Hướng dẫn giải (h.4.24) µ a (cặp góc so le trong) Ở góc AOB vẽ tia Ot / / Ax Khi ·AOt  A · µ  b  · B Suy BOt b Vậy BOt Do By / / Ot (vì có cặp góc so le nhau) Vậy Ax / / By (vì song song với Ot) 4.12 Hình 4.15 µA m ; C µ n  90  m, n  180  ; có ·AOC 360   m  n  Chứng tỏ AB / / CD Hướng dẫn giải (h.4.25) Trong góc AOC vẽ tia Ot cho Ot / / AB Khi µA  ·AOt 180 (cặp góc phía) Suy ·AOt 180  m ·  ·AOC  ·AOt 360   m  n    180  m  180  n Do COt µ  COt · n   180  n  180 Vậy C Suy CD / / Ot (vì có cặp góc phía bù nhau) Do AB / / CD (vì song song với Ot) µ 140 OA  OB Chứng tỏ AB / / CD 4.13 Hình 4.16 có µA 130 , C File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Hướng dẫn giải (h.4.26) Vì OA  OC nên ·AOC 90 Trong góc AOC vẽ tia Ot cho Ot / / AB Khi µA  ·AOt 180 (cặp góc phía) Suy ·AOt 180  130 50 · Vì ·AOC 90 nên COt 40 µ  COt · Ta có C 140  40 180 Do CD / / Ot (vì có cặp góc phía bù nhau) Suy AB / / CD (vì song song với Ot) 4.14 Cho góc AOB Trên tia OA lấy điểm M, tia OB lấy điểm N Vẽ ngồi góc AOB tia Mx · Ny song song với Cho biết ·AMx 140 , BNy 150 , tính số đo góc AOB Hướng dẫn giải (h.4.27) ¶ 40 Vì ·AMx 140 nên M ¶ 30 · Vì BNy 150 nên N Ở góc AOB vẽ tia Ot / / Mx , Ot / / Ny (vì Mx / / Ny ) ¶ M ¶ 40 (cặp góc so le trong) Ta có O 1 ¶ N ¶ 30 (cặp góc so le trong) O 2 ¶ O ¶ 40  30 70 Suy ·AOB O 4.15 Hình 4.17 có Ax / / By; OA  OB µA 145 Tính số đo góc B Hướng dẫn giải (h.4.28) Ở góc AOB vẽ tia Ot / / Ax Khi Ot / / By (vì Ax / / By ) Ta có OA  OB nên ·AOB 90 ¶ 180 (cặp góc phía) nên O ¶ 180  145 35 Mt khỏc àA O 1 ả 90  35 55 Suy O ¶ B µ 180 (cặp góc phía Ot / / By ) Ta có O File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000 TUYỂN TẬP ĐẦY ĐỦ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN µ 180  55 125 Do B 4.16 Trong hình 4.18 có Ax / / By Tính số đo góc AOB Hướng dẫn giải (h.4.29) Trên nửa mặt phẳng bờ OB có chứa tia By vẽ tia Ot / / By Khi Ot / / Ax (vì Ax / / By ) · · Ta có OBy  BOt 180 (cặp góc phía) · Suy BOt 180  150 30 · Ta có ·AOt OAx 50 (cặp góc so le trong) Từ ·AOB 50  30 20 File word: Zalo_0946 513 000 -File word: Zalo_0946 513 000