S6 chuyên đề 9 chủ đề 7 bất đẳng thức liên quan đến phân số

CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ ĐS6 CHUYÊN ĐỀ – PHÂN SỐ CHỦ ĐỀ 7: BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN PHÂN SỐ PHẦN I TĨM TẮT LÍ THUYẾT I Khái niệm bất đẳng thức Định nghĩa : Số a gọi lớn số b , ký hiệu a  b a  b số dương, tức a  b  Khi ta ký hiệu b  a Ta có: a  b  a  b  Nếu a  b a b , ta viết a b Ta có: a b  a - b 0 Quy ước : Khi nói bất đẳng thức mà khơng rõ ta hiểu bất  đẳng thức Chứng minh bất đẳng thức chứng minh bất đẳng thức  II Các tính chất bất đẳng thức a  b  a c  b  c  Tính chất 1: Tính chất 2: a  b  a  c  b  c Từ ta suy a b  a c b c a c  b  a  b c a  b  ac  bd  c  d  Tính chất 3: ac  bc neáu c > ab  ac  bc c < Tính chất 4: Từ ta suy ab ab TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤCU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC ÁN GIÁO DỤCC Trang CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ a b neáu c >   a  b  c c  a  b neáu c <  c c a  b   ac  bd  c  d   Tính chất 5: Tính chất 6: ab0 0 1  a b * n n Tính chất 7: a  b  0, n  N  a  b 2 Tính chất 8: Nếu a b hai số dương : a  b  a  b 2 Nếu a b hai số khơng âm : a b  a b PHẦN II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: TỔNG LŨY THỪA I Phương pháp giải So sánh số hạng tổng với số hạng tổng liên tiếp để tìm mối quan hệ Nếu muốn chứng minh lớn giá trị k đó, ta cần so sánh với số hạng có mẫu lớn ngược lại I Bài toán Bài 1: Chứng tỏ rằng: A 1 1     1 2 2020 Lời giải: Ta thấy tốn có dạng tổng lũy thừa bậc hai, nên ta phân tích tổng A sau: A 1 1      2.2 3.3 4.4 2018.2019 2019.2020 Đến ta so sánh với phân số có mẫu nhỏ hơn, u cầu tốn chứng minh nhỏ A 1 1      1.2 2.3 3.4 2019.2019 2019.2020   1  1 1  1  1                     1 2  3  4  2018 2019   2019 2020  TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤCU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC ÁN GIÁO DỤCC Trang CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ 1 A  1 2020 1 1 1       100 Bài 2: Chứng tỏ rằng: 6 Lời giải: Ở toán này, ta phải chứng minh hai chiều, chiều thứ ta cần chứng minh: A 1 1 1      A 2 99 100 chứng minh Ta có: A 1 1 1 1 1            5.5 6.6 7.7 99.99 100.100 5.6 6.7 7.8 99.100 100.101 1 96 96 A   101 505 đến đây, ta so sánh 505 với sau: 96 96 1   Ta có: 505 576 cách ta nhân tử mẫu phân số với 96 để hai phân số tử so sánh ta có: A 96 96   505 567 Chiều thứ hai, ta cần chứng minh: A  1 1 1 1       2 99 100 Ta làm tương tự sau: A 1 1 1 1 1            5.5 6.6 7.7 99.99 100.100 4.5 5.6 6.7 98.99 99.100  A Từ  1 1   100  2  2 1  A ta có: 1 1      2 100 Bài 3: Chứng tỏ rằng: Lời giải: Ta biến đổi: 1 1 1 1 1 A            3.3 4.4 99.99 100.100 2.3 3.4 4.5 99.100 TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤCU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC ÁN GIÁO DỤCC Trang CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ A 1 3      100 100 Bài 4: Chứng tỏ rằng: A 1 1      2 100 Lời giải: Nhận thấy tổng lũy thừa mà số mẫu số chẵn nên ta đưa tổng lũy thừa mà số mẫu số tự nhiên liên tiếp sau: A 1 1 1  1 1 1                  50   1.2 2.3 3.4 49.50  1  1  A   1     4 50  200 2 100 A      100  2 2 Bài 5: Chứng tỏ rằng: Lời giải: Nhận thấy có dạng tổng phân số có mẫu lũy thừa số nên ta thực phép tính tổng A Việc tính xác tổng A giảm bớt sai số, nhiên tổng tính 99 100 A 1      98  99 2 2 Ta tính tổng A sau: Sau lấy 2A trừ A theo vế nhóm phân số có mẫu ta được: 1 100 1 1 A      99  100 B      99 2 2 , đặt 2 2 tính tổng B theo cách 1 1 100 A    99  100  B   99 2 , thay vào A ta được: 2 2 ta được: 100 A      100  3 3 Bài 6: Chứng tỏ rằng: Lời giải: TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤCU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC ÁN GIÁO DỤCC Trang CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ 1 1 100 A 1      99  100 3 3 , Tính tượng tự , ta có: 1 1 B      99 3 3 , tính B thay vào tổng A ta Đặt 1 B  2.399 1 100  A 1    100 99 2.3  2A 1 3   A 2 Bài 7: Chứng tỏ rằng: A 1 1      2 n Lời giải: A Ta có: 1 1 1 1          1   2.2 3.3 4.4 n.n 1.2 2.3 3.4 n  n  1 n A Bài 8: Chứng tỏ rằng: 1 1      2 (2n) Lời giải: A Ta có:  1 1  1 1  1 1 1            1   2  2 32 n   1.2 2.3  n  1 n   n    4n  A Bài 9: So sánh 1 1     2 (2n) với Lời giải: A 1 1  1 1 1 1                2 n  4 n  4n 1 1 A       2 n không số tự nhiên Bài 10: Chứng minh với số tự nhiên n  Lời giải: TÀI LIỆU NHĨM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤCU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC ÁN GIÁO DỤCC Trang CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ A 1 Ta có: 1    2 1.2 2.3  n  1 n Mặt khác ta thấy A  Vậy ta có:  A  Bài 11: Chứng tỏ rằng: A 1 1 2020      2 2021 2021 Lời giải: A 1 1 2020     1   1.2 2.3 3.4 2020.2021 2021 2021 1 2016      2016  Bài 12 : Chứng tỏ rằng: 5 Lời giải: 2016 A      2016 5 5 Đặt  2016 1 A 1      2005   2016  5 1 B     2005 5 Đặt Ta có: B 1  2015 1  B  4.52015 , thay vào A ta được: 1 2016 A 1    2016  2015 4.5  A 5   16 15 (1) 2016 7 A     2016      5 5 25 25 28 Mặt khác: (2) Từ (1) (2) ta suy ĐPCM TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤCU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC ÁN GIÁO DỤCC Trang CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ 99 100 A       99  100  3 3 3 16 Bài 13 : Chứng tỏ rằng: Lời giải: Tính tổng A , ta được: Đặt B 1  A (1  1 1 100     99 )  100 3 3 1 1     99 3 3 B  4.399 100  A   99  100  4  A 16 19 A  2  2  2   2  1 2 3 10 Bài 14 : Chứng tỏ rằng: Lời giải: A Ta có: A 1  22  12 32  22 102  92  1   1                   2 2 2 2 10 1     10  1 102 4019 A  2  2  2   1 2 3 2009 2.20102 Bài 15 : Chứng tỏ rằng: Lời giải: 22  12 32  22 42  32 2010  20092 A  2  2  2   2 3 2009 2.2010 Ta có: 1 1 1 A        1  1 2 2 2009 2010 20102 Bài 16: Chứng tỏ rằng: S 1 1 1      2020  2022  2 2 2 Lời giải: TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤCU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC ÁN GIÁO DỤCC Trang CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ 1 1 1 S     10   2022  2024 2 2 2 2  S S 5S 1 1    2024   S  4 2 1 1 B      2020  3 3 Bài 17: Chứng tỏ rằng: Lời giải: 1 1 B      2021 3 3  B Hay 2B 1 B   2021  3 3 B 2 2021 M      2021 3 3 Bài 18: Chứng tỏ rằng: có giá trị khơng ngun Lời giải: 2021 M      2021  3 3 Ta có:  1 2021 M      2021 3 3 Ta có  3M 1  2021    2020 3 3 2021    3M  M      2020   3   2021  1      2021  3 3  1 1 2021  M 1     2020  2021 3 3 1 1 1 N      2020  N 1     2019 3 3 3 Đặt  1  N  N      2019  3   1 1        2020    3 3 TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤCU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC ÁN GIÁO DỤCC Trang CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ  N 1   M 1   M Từ  1 2020 1 2021 2021   2021    2021  2020 2020 2.3 2.3 3 1 1  N  2.32020  2  2   M 1 2021 M      2021 3 3 Vậy khơng có giá trị ngun 19: Chứng tỏ rằng: A 2 2 1003      2 2007 2008 Bài Lời giải: A 2 2 1 1003        2.4 4.6 6.8 2006.2008 2008 2008 3 S    1 1.4 4.7 n ( n  3) Bài 20: Chứng tỏ rằng: Lời giải:   1  1 1 S            1  1  n 3  4  7  n n 3 Bài 21: Chứng tỏ rằng: B 1  1 1      2 2021 2021 Lời giải:   1 B 1        20212  , 2 Đặt A A 1 1     2 20212 ta có: 1 1      1 1.2 2.3 3.4 2020.2021 2021 TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤCU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC ÁN GIÁO DỤCC Trang CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ   A   1 2021 B   A 1    B 2021 2021 1 1     2018  2020  0, 2 2 Bài 22: Chứng tỏ rằng: 2 Lời giải: Đặt A 1 1     2018  2020 2 2 2 1 1 1 A      2020  2022 2 2 Ta có:  A 1 1 A   2022  2 5A 1   A  0, 4 Bài 23: Chứng tỏ rằng: A 1 1     A 50 Lời giải: Ta có: A 1 1 1 1 48 48              3.3 4.4 5.5 50.50 3.4 4.5 50.51 51 153 192 Mặt khác: A 1 1 1 1 1 191 200                3.3 4.4 5.5 50.50 3.4 4.5 49.50 50 450 450  A Vậy 1 A     A 1.2 3.4 99.100 , chứng tỏ rằng: 12 Bài 24: Cho Lời giải: Ta có A 1    51 52 100 TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤCU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC ÁN GIÁO DỤCC 10 Trang