S6 chuyên đề 9 chủ đề 1 hệ thống kiến thức cơ bản

CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ ĐS6.CHUYÊN ĐỀ – PHÂN SỐ CHỦ ĐỀ 1: HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN PHẦN I.TĨM TẮT LÝ THUYẾT a Số có dạng b , a, b  , b 0 gọi phân số n Số nguyên n đồng với phân số a a.m a : n    a, b  Tính chất phân số: b b.m b : n với m, n  , m, n 0 n  ƯC a m a b phân số tối giản Nếu n dạng tối giản phân số b tồn số nguyên k cho a mk , b nk  a, b  1 Nếu PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI Dạng 1: Áp dụng tính chất chia hết để giải toán phân số I.Phương pháp giải Bài toán tổng quát: Tìm số tự nhiên n cho A n B  n có giá trị nguyên Cách làm: A n  d    b    a, b, d    C  n   B  n a  C  n   d Ư Nếu a 1 ta tìm n kết luận Nếu a 1 ta tìm n cần thử lại kết luận Bài toán tổng qt: Đối với tốn: “Tìm số tự nhiên n để phân số tối giản rút gọn được” ta làm sau: Gọi d ước nguyên tố tử mẫu Dùng phép toán cộng, trừ, nhân để khử n để từ tìm d TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤCU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC ÁN GIÁO DỤCC Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Đối với tốn: “Tìm số tự nhiên n để phân số tối giản” ta tìm n để tử số mẫu số không chia hết cho ước nguyên tố Đối với tốn: “Tìm số tự nhiên n để phân số rút gọn được” ta tìm n để tử số mẫu số chia hết cho ước nguyên tố II.Bài toán Bài 1: Cho A n n4 a) Tìm n nguyên để A phân số b) Tìm n nguyên để A số nguyên Lời giải: Điều kiện: n   n   n      n  a) Để A phân số n  0 b) Để phân số A có giá trị số nguyên  n  1  n   Mà Ư   n   5  n      n    5  n    n    n   nên  n    n    5 Ư  5  1; 5; Ta có bảng sau: Vậy n    9;  5;  3;1 n4 1 5 n 3 5 9 A 4 Bài 2: Tìm số tự nhiên n để phân số A n  10 2n  có giá trị số nguyên TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤCU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC ÁN GIÁO DỤCC Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Lời giải: Điều kiện: n   Để phân số A có giá trị số ngun  n  10   2n  8   n  10   n      n    14   n    14  n    n   Ư  14  Ư  14   1; 2; 7; 14 n    n     2;  1;1; 2; 7;14 Mặt khác, n số tự nhiên nên Ta có bảng sau: Vậy n 1 2 14 n 11 18 A 15 13 2 16 4 3 21 14 ( loại ) ( loại) n   2; 6;18 ( loại) Bình luận: - Ngồi cách lập bảng ta để ý rằng:  n  10   2n  8   n  10    n    Kết hợp với -  n      2;  1;1; 2; 7;14 Đối với tốn với trị ngun vì: theo   n 10  2  n   2; 3; 5; 6;11; 18  n   2; 6;18 n   5; 3;11 số ngun thay vào A khơng giá  n  10   2n  8   n  10   n   TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤCU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC ÁN GIÁO DỤCC khơng có điều ngược lại Trang CHUN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ 2n  Bài 3: Chứng minh phân số 4n  tối giản với số tự nhiên n Phân tích: Để chứng minh phân số phân tối giản ta cần chứng minh ước chung lớn tử mẫu phải Lời giải: Điều kiện: n   2n  3d 4n  6d      2n  3, 4n  8 d 4n  8d 4n  8d  2d  d   1; 2 Giả sử ƯCLN Vì 2n  số tự nhiên lẻ nên  d 2 2n  Vậy d 1 nên phân số 4n  phân số tối giản với số tự nhiên n Bài 4: Tìm số tự nhiên n để phân số A 21n  6n  rút gọn Lời giải: Điều kiện: n   Gọi d ước nguyên tố 21n  6n     21n   d  42n   d        6n   d  42n  28 d  22d  d   2;11  6n   2 n  21n  3 2 n lẻ Nếu d 2 ta thấy  21n  3 11   22n  n  3 11 hay 22n   n  3   n  3 11  n  11k Nếu d 11  n 11k   k   6n  6  11k  3   66k  22  11   6n   11 Với n 11k  TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤCU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC ÁN GIÁO DỤCC Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Vậy n lẻ n 11k  phân số A 21n  6n  rút gọn a b 12 c  ;  ;  a , b , c , d Bài 5: Tìm số tự nhiên nhỏ cho: b c 21 d 11 Lời giải: Điều kiện: a, b, c, d   , b 0, c 0, d 0 Ta có: a  b 5  a 3m  b 12 b 5m 4n      c 21   c  c  n 6 k   d 11 d 11k   m, n, k    *  4n5 n5    n  BC  5,    4, 5 1;  6, 7 1 n6 Suy  7n6 mà mặt khác a, b, c, d nhỏ nên n BCNN  5,   n 5.6 30  m 24; k 35  a 72; b 120; c 210; d 385 n 3 Bài 6: Tìm số tự nhiên n để phân số 2n  có giá trị nguyên Lời giải: Điều kiện: n   Cách 1: n 3 Để phân số 2n  có giá trị ngun  n  3  2n     n  3   n  1    n  3  n  1    n  1    n  1  4 n  1 Suy n  ước TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤCU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC ÁN GIÁO DỤCC Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Ư    1; 2; 4 n  1   1;1; 2; 4 mặt khác n số tự nhiên nên n   nên Ta có bảng sau: n 1 5 1 n n 3 2n   Loại Loại n 3 Vậy n 5 phân số 2n  có giá trị nguyên Cách 2: n 3 Để phân số 2n  có giá trị nguyên  n  3  2n     n  3 2n    2n    2n     2n   8  2n    8 2n    4 n  1 Suy n  ước Ư    1; 2; 4 mặt khác n n  1   1;1; 2; 4 số tự nhiên nên n   nên Ta có bảng sau: n 1 n n 3 2n   1 ( loại) ( loại) n 3 Vậy n 5 phân số 2n  có giá trị nguyên Cách 3: TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤCU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC ÁN GIÁO DỤCC Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ n 3 Để phân số 2n  có giá trị nguyên  n   2   n   2  n   2        n  3  2n     n  3   n  1   n  3  n  1   n  1  4  n  1 4 n  1  n  3 2  n   2    n    4; 2; 1  n   5; 3; ; 0 n   n 0    n 5 n 3 Vậy n 5 phân số 2n  có giá trị nguyên Bài 7: Tìm số nguyên n cho: n7 a) 3n  số nguyên 3n  b) 4n  số tự nhiên Lời giải: a) Điều kiện: n   n7 Để phân số 3n  có giá trị số nguyên  n  7  3n  1   n    3n  1   3n  21  3n  1   3n   22   3n  1  22 3n  1  3n  1  22  Ư Ư  22   1; 2; 11; 22 Ta có bảng sau: 3n  1 1 n (loại TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤCU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC ÁN GIÁO DỤCC 2 11  (loại  11 22  22 10 23 7 (loại (loại  Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ n  ) n  ) 7 A n  )  n  ) (loại) n7 n   0;1; 4;  7 Vậy 3n  có giá trị nguyên b) Điều kiện: n   3n  Để phân số 4n  số tự nhiên  3n    4n  5   3n    4n  5   12n  8  4n  5 hay  12n  15  23  4n      4n  5  23  4n  5 Mà Ư  4n  5  4n    23  1; 23 nên 23  n    4n    23  Ư Ta có bảng sau: 4n  1 23 n (loại n  )  23  (loại n  ) 5 A (loại) 3n  Vậy n 7 4n  số tự nhiên Bài 8: Tìm số tự nhiên n để phân số A 8n  193 4n  TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤCU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC ÁN GIÁO DỤCC Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ a) Có giá trị số tự nhiên b) Là phân số tối giản c) Phân số A rút gọn với 150  n  170 Lời giải: Điều kiện: n   a) Để phân số A số tự nhiên  8n  193  4n  3 Mà Ư hay  8n   187   4n  3    4n  3  187  4n  3  4n    4n    187  4n  3   4n  3  Ư  187  23  11; 17; 187 Mà n số tự nhiên nên 4n  0 hay n  suy n   11;17;187 Ta có bảng sau: 4n  11 17 187 n 46 (loại n   ) A Vậy n   2; 46 A 19 8n  193 4n  số tự nhiên b) Gọi d ước nguyên tố 8n  193 4n  thì: 8n  193d 8n  193d 8n  193d      2  4n  3 d 4n  3d 8n  6d    8n  193   8n    d  187d TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤCU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC ÁN GIÁO DỤCC Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ  d   11;17 với n   d số nguyên tố  4n  3 11   4n   11 11   4n   11   n   11   n   11 Với d 11 ta có Do n  11k  k   hay n 11k   k    4n  3 17   4n   17  17   4n  20  17   n  5 17   n  5 17 Với d 17 ta có Do n  17m  m   Vậy với n 11k   k   hay n 17m   m  *  n 17m   m  *  phân số A 8n  193 4n  tối giản c) Từ câu b) ta có: Để phân số A 8n  193 * 4n  rút gọn n 11k   k   n 17m   m    Vì 150  n  170 nên:  k   14;15 TH1: 150  11k   170  148  11k  168 Với k 14 n 156 Với k 15 n 167 TH2: 150  17m   170  155  17m  175  m 10 Với m 10 n 165 Vậy n   156;165;167 phân số A 8n  193 4n  rút gọn 18n  Bài 9: Tìm tất số tự nhiên n để phân số 21n  rút gọn Lời giải: Điều kiện: n   Gọi d ước nguyên tố 18n  21n  thì: TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤCU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC ÁN GIÁO DỤCC 10 Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ 18n  3d  7  18n   d 126n  21d     6  21n   d 21n  7d 126n  42d    126n  42    126n  21  d  21d  d   3; 7 với n   d số nguyên tố 18n  Với d 3 mà 18n  33 n   nên để phân số 21n  rút gọn 21n  73 Mà 21n  73 n   (vì 21n3 73 )  d 3 18n  Với d 7 21n  7 n nên để phân số 21n  rút gọn 18n  37  21n   3n   7   n  1 7  n  17  n  7k  n 7k   k   Vậy với n 7k   k   18n  phân số 21n  rút gọn 4n  Bài 10: Tìm số nguyên n để phân số 2n  có giá trị số nguyên Lời giải Điều kiện: n   4n  Để phân số 2n  số nguyên  4n  5  2n  1 Mà Ư hay  4n     2n  1    2n  1  7  2n  1  2n  1  2n  1   2n  1   2n  1  Ư  7  7  1; 7 Ta có bảng sau: 2n  1 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤCU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC ÁN GIÁO DỤCC 11 7 Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ n 3 A 5 n   0;1;  3; 4 Vậy 4n  2n  số nguyên Bài 11: Cho biểu thức : A 2n  3n  4n    n n n  Tìm giá trị n để: a) A phân số b) A số nguyên Lời giải: Ta có: A 2n  3n  4n  2n   3n    4n   n      n n n n n n 1 a) Để n  phân số n   n      n  0 n 3 n 1 b) Để n  số nguyên  n  1  n  3 Mà Ư hay  n     n  3  n  3  n  3     1; 2; 4   n  3    n  3 hay   n  3   n  3  Ư  4 Ta có bảng sau: n 1 2 4 n 1 A 3 1 Vậy n    1;1; 2; 4; 5; 7 n 1 n  số nguyên TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤCU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC ÁN GIÁO DỤCC 12 Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Bài 12: Với giá trị số tự nhiên a : 8a  19 a) 4a  có giá trị nguyên 5a  17 b) 4a  23 có giá trị lớn Lời giải: Điều kiện: a   8a  19 a) Để 4a  số nguyên  8a  19   4a  1 Mà Ư hay  8a   17   4a  1   4a  1  17  4a  1 hay   4a  1  4a  1  17  4a  1   4a  1  Ư  17   17   1; 17 Ta có bảng sau: 4a  1 a 1 17  Vậy a   0; 4 a) Ta có: 19  (loại a   ) (loại a   ) A  17 8a  19 4a  số nguyên 5 47 5a  17 4a  17  4a  23  47     4a  23 4a  23 4a  23 4  4a  23  5a  17 Để 4a  23 có giá trị lớn 4a  23 có giá trị nhỏ TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤCU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC ÁN GIÁO DỤCC 13 Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Mà a   nên 4a  23 1  4a 24  a 6 5a  17 Vậy a 6 4a  23 có giá trị lớn x z   Bài 13: Tìm x, y, z biết y 10 x  z 7  y Lời giải: x z   x z 10 Ta có: 10 y z   y z z 10 10 Theo đề: x  z 7  y 3 z  z 7  z 10 3 z  z  z 7 10 z 7 10 z 10 3 x  10 3; y  10 6 10 Suy Vậy x 3; y 6; z 10 y   Bài 14: Tìm số nguyên x, y cho x Lời giải: Ta có: TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤCU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC ÁN GIÁO DỤCC 14 Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ y 5 y      x x 3 2y   x 6  2y  x Do đó: x   y  18 2.32 Do x, y số nguyên nên  2y ước 18, mặt khác  y số lẻ Ước lẻ 18 là: 1;  1;3;  3;9;  Ta có: 5 2y 1 3 9 2y 4 14 y 2 x 18  18 6 2 Vậy có sáu cặp số x, y bảng thỏa mãn toán a b a b   Bài 15: Tìm số tự nhiên a, b cho:  Lời giải: Ta ln có: a a  (xảy dấu với a 0 ) b b  (xảy dấu với b 0 ) a b a b a b     Do đó: 5 a b a b   trường hợp a b 0 Xảy TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤCU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC ÁN GIÁO DỤCC 15 Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Dạng 2: Tìm phân số biết mối liên hệ tử mẫu Một số điều kiện cho trước thường gặp:  Biết tử số (hoặc mẫu số), phân số cần tìm lớn phân số nhỏ phân số  Viết phân số dạng tổng phân số biết số tử (hoặc số mẫu)  Liên hệ phép chia phân số cần tìm với phân số cho  Biết phân số phân số biết quan hệ ƯCLN(Tử , Mẫu) tổng (hiệu) tử mẫu  Cộng số vào tử mẫu phân số Phương pháp giải: - Nếu toán cho tử số (mẫu số), biến đổi cho ba phân số đồng tử (đồng mẫu) so sánh phân số ta tìm mẫu số(tử số) cịn thiếu - Ở dạng toán viết phân số dạng tổng phân số biết số tử (hoặc số mẫu) ta phải tìm số thuộc ước mẫu cho tổng chúng tử Khi ta tìm phân số có tổng phân số ban đầu, phân số có tử số ước mẫu nên viết dạng tối giản có tử số - Từ kiện toán ta vận dụng linh hoạt tính chất phân số tối giản với tính chia hết để giải toán - a ( a , b  0) Dạng tốn: Tìm phân số phân số b , biết ƯCLN tử mẫu phân số a c , ta tìm phân số tối giản b sau nhân tử mẫu phân số tối giản với c ta số cần tìm Bài 1: Tìm phân số có tử , biết phân số lớn  11 11  12 nhỏ 15 Phân tích: TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤCU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC ÁN GIÁO DỤCC 16 Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Do phân số có tử số nên ta gọi dạng phân số cần tìm x , sau ta biến đổi ba phân số có tử số Khi so sánh hai phân số tử, phân số có mẫu số lớn nhỏ Khi ta tìm khoảng giá trị x chọn giá trị x phù hợp Lời giải: Gọi mẫu phân số cần tìm x  x  *   11  11 55 55 55        75  11x   60  x   60 11x  75 Ta có: 12 x 15 Vậy phân số cần tìm  Bình luận: Bài tốn thuộc dạng biết tử số (hoặc mẫu số), phân số cần tìm lớn phân số nhỏ phân số 11 Bài 2: Tìm phân số có mẫu 12 , biết phân số lớn 13 nhỏ Lời giải: Gọi tử phân số cần tìm x x 11 420 65 x 1716       420  65 x  1716  x   7;8;9; ; 25; 26 780 780 780 Ta có: 13 12 25 26 ; ; ; ; ; 12 12 Vậy phân số cần tìm là: 12 12 12 11 Bài 3: Hãy viết phân số 15 dạng tổng phân số có tử số có mẫu số khác (15)  1;3;5;15 Phân tích: Nhận thấy mẫu số 15 , Ư ta khơng tìm ba số có tổng 11 Lặp lại cách thử mẫu tử phân số nhân tử mẫu phân số với TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤCU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC ÁN GIÁO DỤCC 17 Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ số tìm số thỏa mãn Dễ thấy nhân tử mẫu phân số với ta phân 44 (60)  1; 2;3; 4;5;10;15; 20;30; 60 số 60 , Ư ta tìm ba số cộng với 44  4;10;30 Lời giải: 11 44   (60)  1; 2;3; 4;5;10;15; 20;30; 60 15 60 Ư 30 10  44  44 10 30 11 1        60 60 60 60 15 15 Bài 4: Hãy viết phân số dạng tổng phân số có tử số có mẫu số khác Lời giải: 10      1; 2;3; 6 Ư   10  10 1        6 6 a a a 12 0 Bài 5: Tìm phân số tối giản b nhỏ (với b ) biết chia b cho 15 25 thương số ngun Phân tích: TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤCU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC ÁN GIÁO DỤCC 18 Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ a 15a Do tính chất chia hết ta có: b chia hết cho 15 nên 7b số nguyên, a chia hết cho , 15 chia hết a 12 25a cho b Tương tự, b chia hết cho 25 nên 12b số nguyên, a chia hết cho 12 , 25 chia hết cho b  15, 25 Do tính chất phân số tối giản lớn nên ta có a BCNN(7,12) b ƯCLN Lời giải: a a.15 a.25 ; a , b    Vì b tối giản nên a ƯCLN b.7 b.12 số nguyên nên a chia hết cho 12 15 25 chia hết cho b Do a  BC  7,12   15, 25 b  ƯC a  15, 25  nên Vì b phân số tối giản nhỏ lớn nên a BCNN(7,12) b ƯCLN 84 a 84; b 5 Do phân số cần tìm a a a 11 0 Bài 6: Tìm phân số tối giản b nhỏ (với b ) biết chia b cho 10 15 thương số nguyên Lời giải: a a.10 a.15 ; a , b    Vì b tối giản nên a ƯCLN b.9 b.11 số nguyên nên a chia hết cho 11 10 15 chia hết cho b Do a  BC  9,11  10,15 b  ƯC TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤCU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC ÁN GIÁO DỤCC 19 Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ a  10,15 nên Vì b phân số tối giản nhỏ lớn nên a BCNN(9,11) b ƯCLN 99 a 99; b 5 Do phân số cần tìm 20 Bài 7: Tìm phân số phân số 39 , biết ƯCLN tử mẫu phân số 36 Lời giải:  20,39  1 Suy phân số Ta thấy ƯCLN 20 39 phân số tối giản Mà ƯCLN tử mẫu phân số cần tìm 36 20 Nên phân số cần tìm rút gọn thành 39 cách chia tử mẫu cho 36 Vậy phân số cần tìm 20.36 720  39.36 1404 15 Bài 8: Tìm phân số phân số 20 , biết ƯCLN tử mẫu phân số 14 Lời giải:  15, 20  5 Suy Ta thấy ƯCLN 15 3  20 phân số tối giản Mà ƯCLN tử mẫu phân số cần tìm 14 Nên phân số cần tìm rút gọn thành cách chia tử mẫu cho 14 Vậy phân số cần tìm 3.14 42  4.14 56 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤCU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC ÁN GIÁO DỤCC 20 Trang