HỆ THỐNG KIẾN THỨC cơ bản HÌNH học THCS

HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN Mơn: Hình Học - THCS  Điểm - Đường thẳng - Người ta dùng chữ in hoa A, B, C, để đặt tên cho điểm - Bất hình tập hợp điểm Một điểm hình - Người ta dùng chữ thường a, b, c, m, p, để đặt tên cho đường thẳng (hoặc dùng hai chữ in hoa dùng hai chữ thường, ví dụ đường thẳng AB, xy, ) - Điểm C thuộc đường thẳng a (điểm C nằm đường thẳng a đường thẳng a qua điểm C), C ∈a kí hiệu là: - Điểm M khơng thuộc đường thẳng a (điểm M nằm đường thẳng a đường thẳng a khơng M ∉a qua điểm M), kí hiệu là: Ba điểm thẳng hàng - Ba điểm thuộc đường thẳng ta nói chúng thẳng hàng - Ba điểm khơng thuộc đường thẳng ta nói chúng khơng thẳng hàng Đường thẳng trùng nhau, cắt nhau, song song - Hai đường thẳng AB BC hình vẽ bên hai đường thẳng trùng - Hai đường thẳng có điểm chung ta nói chúng cắt nhau, điểm chung gọi giao điểm (điểm E giao điểm) - Hai đường thẳng khơng có điểm chung nào, ta nói chúng song song với nhau, kí hiệu xy//zt Khái niệm tia, hai tia đối nhau, hai tia trùng - Hình gồm điểm O phần đường thẳng bị chia điểm O gọi tia gốc O (có hai tia Ox Oy hình vẽ) - Hai tia chung gốc tạo thành đường thẳng gọi hai tia đối (hai tia Ox Oy hình vẽ hai tia đối nhau) Đoạn thẳng, độ dài đoạn thẳng - Đoạn thẳng AB hình gồm điểm A, điểm B tất điểm nằm A B - Hai điểm A B hai mút (hoặc hai đầu) đoạn thẳng AB - Hai tia chung gốc tia nằm tia gọi hai tia trùng - Hai tia AB Ax hai tia trùng - Mỗi đoạn thẳng có độ dài Độ dài đoạn thẳng số dương Khi AM + MB = AB ? - Nếu điểm M nằm hai điểm A B AM + MB = AB Ngược lại, AM + MB = AB điểm M nằm hai điểm A B Trung điểm đoạn thẳng - Trung điểm M đoạn thẳng AB điểm nằm A, B cách A, B (MA = MB) - Trung điểm M đoạn thẳng AB gọi điểm đoạn thẳng AB Nửa mặt phẳng bờ a, hai nửa mặt phẳng đối - Hình gồm đường thẳng a phần mặt phẳng bị chia a gọi nửa mặt phẳng bờ a - Hai nửa mặt phẳng có chung bờ gọi hai nửa mặt phẳng đối (hai nửa mặt phẳng (I) (II) đối nhau) Góc, góc bẹt - Góc hình gồm hai tia chung gốc, gốc chung hai tia gọi đỉnh góc, hai tia hai cạnh góc · xOy µ O ∠xOy - Góc xOy kí hiệu hoặc - Điểm O đỉnh góc - Hai cạnh góc : Ox, Oy - Góc bẹt góc có hai cạnh hai tia đối 10 So sánh hai góc, góc vng, góc nhọn, góc tù - So sánh hai góc cách so sánh số đo chúng - Hai góc xOy uIv kí hiệu là: · · v xOy = uI - Góc xOy nhỏ góc uIv, ta viết: · · v ⇔ uI · v > xOy · xOy < uI - Góc có số đo 900 = 1v, góc vng - Góc nhỏ góc vng góc nhọn - Góc lớn góc vng nhỏ góc bẹt góc tù · · · xOy + yOz = xOz 11 Khi - Nếu tia Oy nằm hai tia Ox Oz · · · xOy + yOz = xOz · · · xOy + yOz = xOz - Ngược lại, tia Oy nằm hai tia Ox Oz 12 Hai góc kề nhau, phụ nhau, bù nhau, kề bù - Hai góc kề hai góc có cạnh chung hai cạnh lại nằm hai nửa mặt phẳng đối có bờ chứa cạnh chung - Hai góc phụ hai góc có tổng số đo 900 - Hai góc bù hai góc có tổng số đo 1800 - Hai góc vừa kề nhau, vừa bù gọi hai góc kề bù 13 Tia phân giác góc - Tia phân giác góc tia nằm hai cạnh góc tạo với hai cạnh hai góc · · · · · xOz + zOy = xOy vµ xOz = zOy - Khi: => tia Oz tia phân giác góc xOy - Đường thẳng chứa tia phân giác góc đường phân giác góc (đường thẳng mn đường phân giác góc xOy) 14 Đường trung trực đoạn thẳng a) Định nghĩa: Đường thẳng vng góc với đoạn thẳng trung điểm gọi đường trung trực đoạn thẳng b) Tổng quát: a đường trung trực AB a ⊥ AB t¹ i I   I A =I B  a B I A 15 Các góc tạo đường thẳng cắt hai đường thẳng a) Các cặp góc so le trong: µ vµ B µ A µ vµ B µ A ; b) Các cặp góc đồng vị: µ vµ B µ A µ vµ B µ A 1 2 ; µ vµ B µ A µ vµ B µ A 3 4 ; µ vµ B µ A ; phía bù gọi cặp góc 16 Hai đường thẳng song song A ; c) Khi a//b thì: µ vµ B µ A a B 41 b a) Dấu hiệu nhận biết - Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng a, b góc tạo thành có cặp góc so le (hoặc cặp góc đồng vị nhau) a b song song với c a b b) Tiên đề Ơ_clít - Qua điểm ngồi đường thẳng có đường thẳng song song với đường thẳng c, Tính chất hai đường thẳng song song - Nếu đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì:  Hai góc so le nhau;  Hai góc đồng vị nhau;  Hai góc phía bù d) Quan hệ tính vng góc với tính song song - Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng thứ ba chúng song song với a ⊥ c  ⇒ a / /b b ⊥ c M b a c b a - Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng song song vng góc với đường thẳng c b c ⊥ b  ⇒ c⊥ a a / /b a e) Ba đường thẳng song song - Hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba chúng song song với a//c b//c ⇒ a b c a//b 17 Góc ngồi tam giác a) Định nghĩa: Góc ngồi tam giác góc kề bù với góc tam giác b) Tính chất: Mỗi góc ngồi tam giác tổng hai góc khơng kề với · µ +B µ ACx =A A B C x 18 Hai tam giác a) Định nghĩa: Hai tam giác hai tam giác có cạnh tương ứng nhau, góc tương ứng ∆ABC = ∆A 'B 'C '  AB = A 'B '; AC = A 'C '; BC = B 'C ' ⇔ µ =A µ '; B µ =B µ '; C µ =C µ' A  b) Các trường hợp hai tam giác *) Trường hợp 1: Cạnh - Cạnh - Cạnh (c.c.c) - Nếu ba cạnh tam giác ba cạnh tam giác hai tam giác A C B A' B' C' NÕu ∆ABC vµ ∆A'B'C' cã: AB = A 'B '  AC = A 'C ' ⇒ ∆ABC = ∆A 'B 'C '(c.c.c) BC = B 'C '  *) Trường hợp 2: Cạnh - Góc - Cạnh (c.g.c) - Nếu hai cạnh góc xen tam giác hai cạnh góc xen tam giác hai tam giác NÕu ∆ABC vµ ∆A'B'C' cã: AB = A 'B ' µ =B µ '  ⇒ ∆ABC = ∆A 'B 'C '(c.g.c) B  BC = B 'C '   A B B' *) Trường hợp 3: Góc - Cạnh - Góc (g.c.g) C A' C' - Nếu cạnh hai góc kề tam giác cạnh hai góc kề tam giác hai tam giác NÕu ∆ABC vµ ∆A'B'C' cã: µ =B µ'  B  BC = B 'C ' ⇒ ∆ABC = ∆A 'B 'C '(g.c.g) µ =C µ'  C  c) Các trường hợp hai tam giác vuông  Trường hợp 1: Nếu hai cạnh góc vng tam giác vng hai cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng B B' A C A' C'  Trường hợp 2: Nếu cạnh góc vng góc nhọn kề cạnh tam giác vng cạnh góc vng góc nhọn kề cạnh tam giác vng hai giác vng B B' A C A' C'  Trường hợp 3: Nếu cạnh huyền góc nhọn tam giác vng cạnh huyền góc nhọn tam giác vng hai tam giác vng B B' A C A' C'  Trường hợp 4: Nếu cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vuông cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng B B' A C A' C' 19 Quan hệ yếu tố tam giác (quan hệ góc cạnh đối diện tam giác) - Trong tam giác, góc đối diện với cạnh lớn góc lớn A µ >C µ ∆ABC : NÕu AC > AB th×B  Trong tam giác, cạnh đối diện với gúc ln hn thỡ ln hn >C thìAC > AB ∆ABC : NÕu B B C 20 Quan hệ đường vng góc đường xiên, đường xiên hình chiếu  Khái niệm đường vng góc, đường xiên, hình chiếu đường xiên LÊy A ∉ d, kẻ AH d, lấy B d B ≠ H K hi ®ã : - Đoạn thẳng AH gọi đường vng góc kẻ từ A đến đường thẳng d - Điểm H gọi hình chiếu A đường thẳng d - Đoạn thẳng AB gọi đường xiên kẻ từ A đến đường thẳng d - Đoạn thẳng HB gọi hình chiếu đường xiên AB đ.thẳng d  Quan hệ đường xiên đường vng góc: Trong đường xiên đường vng góc kẻ từ điểm ngồi đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vng góc đường ngắn  Quan hệ đường xiên hình chiếu: Trong hai đường xiên kẻ từ điểm nằm ngồi đường thẳng đến đường thẳng đó, thì:  Đường xiên có hình chiếu lớn lớn  Đường xiên lớn có hình chiếu lớn  Nếu hai đường xiên hai hình chiếu ngược lại, hai hình chiếu hai đường xiên 21 Quan hệ ba cạnh tam giác Bất đẳng thức tam giác 10 - Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác song song với cạnh cịn lại tạo thành tam giác đồng dạng với tam giác cho A MN / /BC => ∆AMN ” ∆ABC *) Lưu ý: Định lí trường hợp đường thẳng cắt phần kéo dài hai cạnh tam giác song song với cạnh lại M N a C B g) Các trường hợp đồng dạng hai tam giác *)Trường hợp 1: Nếu ba cạnh tam giác tỉ lệ với ba cạnh tam giác hai tam giác đồng dạng A' A B C B' C' NÕu ∆ABC vµ ∆A'B'C' cã: AB = AC = BC ⇒ ∆ABC ” ∆A 'B 'C '(c.c.c) A 'B ' A 'C ' B 'C ' *)Trường hợp 2: Nếu hai cạnh tam giác tỉ lệ với hai cạnh tam giác hai góc tạo cạnh hai tam giác đồng dạng NÕu ∆ABC vµ ∆A'B'C' cã: AB = BC  A 'B ' B 'C '  => ∆ABC ” ∆A 'B 'C '(c.g.c) µ =B µ'  B *)Trường hợp 3: Nếu hai góc tam giác hai góc tam giác hai tam giác đồng dạng; NÕu ∆ABC vµ ∆A'B'C' cã: µ =A µ ' A   ⇒ ∆ABC ” ∆A 'B 'C '(g.g) µB = B µ '  15 h) Các trường hợp đồng dạng hai tam giác vuông *)Trường hợp 1: Nếu hai tam giác vng có góc nhọn chúng đồng dạng NÕu ∆ABC vµ ∆A'B'C' cã: µ =A µ ' = 900  A   ⇒ ∆ABC ” ∆A 'B 'C ' µC = C µ'   *)Trường hợp 2: Nếu hai cạnh góc vng tam giác vng tỉ lệ với hai cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác đồng dạng Hai tam giác vuông ABC A'B'C' có: AB = AC ∆ABC ” ∆A 'B 'C ' A 'B ' A 'C ' *)Trường hợp 3: Nếu cạnh góc vng cạnh huyền tam giác vuông tỉ lệ với cạnh góc vng cạnh huyền tam giác vng hai giác đồng dạng Hai tam gi¸c vuông ABC A'B'C' có: AB = BC ABC ” ∆A 'B 'C ' A 'B ' B 'C ' 27 Tỉ số hai đường cao, tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng - Tỉ số hai đường cao tương ứng hai tam giác đồng dạng tỉ số đồng dạng - Tỉ sô diện tích hai tam giác đồng dạng bình phương tỉ số đồng dạng - Cụ thể : ∆A 'B 'C 'S ∆ABC theo tØsè k => 28 Diện tích hình 16 A 'H ' = k vµ SA 'B 'C ' = k2 AH SABC h b a h a a a S = a.b S=a S = ah S = ah b h E a h S = ah h S = a.h F a S = (a + b)h = EF h d2 d1 a S = d1 ×d2 29 Học sinh cần nắm vững tốn dựng hình (dùng thước thẳng, thước đo độ, thước có chia khoảng, compa, êke) a) Dựng đoạn thẳng đoạn thẳng cho trước; b) Dựng góc góc cho trước; c) Dựng đường trung trực đoạn thẳng cho trước, dựng trung điểm đoạn thẳng cho trước; d) Dựng tia phân giác góc cho trước; e) Qua điểm cho trước, dựng đường thẳng vng góc với đường thẳng cho trước; 17 f) Qua điểm nằm đường thẳng cho trước, dựng đường thẳng song song với đường thẳng cho trước; g) Dựng tam giác biết ba cạnh, biết hai cạnh kề góc xen giữa, biết cạnh hai góc kề 18 30 Hệ thức lượng tam giác vuông (lớp 9) a) Một số hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông b = ab'  c = ac'  2 a = b +c   bc = ah (Pi_ta_go) h = b'c'  + = 2 b c h  b) Tỉ số lượng giác góc nhọn i Định nghĩa tỉ số lượng giác góc nhọn sin = cạ nh đối cạ nh huyền cos = c¹ nh kỊ c¹ nh hun tan α = cạ nh đối cạ nh kề cot = cạ nh kề cạ nh đối ii Mt s tớnh cht tỉ số lượng giác +) Định lí tỉ số lượng giác hai góc phụ Cho hai góc α β phụ Khi đó: sinα = cosβ; tanα = cotβ; cosα = sinβ; +) Cho ỏ cotα = tanβ 0 < α < 90 Ta có: 2 < sin α < 1; < cos α < 1; sin α + cos α = tan α = sin α ; cos α cot α = cosα ; sin α tan α cot α = iii So sánh tỉ số lượng giác 0 < α1 < α2 < 90 => sin α1 < sin α ;cos α1 > cosα ;tan α1 < tan α2 ;cot α1 > cot α c) Một số hệ thức cạnh góc tam giác vng 19 b = a.sinB; c = a.sinC b = a.cosC; c = a.cosB b = c.tanB; c = b.tanC b = c.cotC; c = b.cotB b = c = b = c sinB sinC cosC cosB => a = 31 Đường trịn, hình trịn, góc tâm, số đo cung - Đường trịn tâm O, bán kính R hình gồm điểm cách O khoảng R, kí hiệu (O ; R) - Hình trịn hình gồm điểm nằm đường tròn điểm nằm bên đường trịn - Trên hình vẽ: +) Các điểm A, B, C, D nằm (thuộc) đường tròn; OA = OB = OC = OD = R +) M nằm bên đường tròn; OM < R +) N nằm bên ngồi đường trịn; ON > R +) Đoạn thẳng AB dây cung (dây) +) CD = 2R, đường kính (dây cung lớn nhất, dây qua tâm) +) ¼ AmB cung nhỏ ( α 0 < α < 180 ) ¼ AnB +) cung lớn +) Hai điểm A, B hai mút cung - Góc có đỉnh trùng với tâm đường trịn gọi góc · AOB tâm ( góc tâm chắn cung nhỏ AmB) - Góc bẹt COD chắn nửa đường trịn - Số đo cung: +) Số đo cung nhỏ số đo góc tâm chắn cung ¼ = α 00 < α < 1800 s®AmB ( ) +) Số đo cung lớn hiệu 360 số đo cung nhỏ (có chung hai mút với cung lớn) ¼ = 3600 − α s®AnB +) Số đo nửa đường trịn 180 0, số đo đường tròn 3600 32 Quan hệ vng góc đường kính dây 20 0 < α < 180 α = 180 - Trong đường trịn, đường kính vng góc với dây qua trung điểm dây ⊥ CD AB H => HC = HD - Trong đường trịn, đường kính qua trung điểm dây khơng qua tâm vng góc với dây 33 Liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây Định lí 1: Trong đường trịn a) Hai dây cách tâm b) Hai dây cách tâm AB = CD => OH = OK OH = OK => AB = CD Định lí 2: Trong hai dây đường trịn a) Dây lớn dây gần tâm b) Dây gần tâm dây lớn AB < CD => OH > OK OH > OK => AB < CD 34 Vị trí tương đối đường thẳng đường trịn a) Đường thẳng đường trịn cắt (có hai điểm chung) - Đường thẳng a gọi cát tuyến (O) d = OH < R HA = HB = R − OH b) Đường thẳng đường trịn tiếp xúc (có điểm chung) - Đường thẳng a tiếp tuyến (O) - Điểm chung H tiếp điểm d = OH = R *) Tính chất tiếp tuyến: Nếu đường thẳng tiếp tuyến đường trịn vng góc với bán kính qua tiếp điểm ⊥ OH a tiếp tuyến (O) H => a 21 c) Đường thẳng đường trịn khơng giao (khơng có điểm chung) d = OH > R 35 Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến đường tròn - Để chứng minh đường thẳng tiếp tuyến đường tròn ta thường dùng hai cách sau: Cách 1: Chứng minh đường thẳng đường tròn có điểm chung (định nghĩa tiếp tuyến Cách 2: Chứng minh đường thẳng qua điểm đường trịn vng góc với bán kính qua điểm H ∈ ( O)   => a tiếp tuyến (O) a OH tạ i H  36 Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau; đường tròn nội tiếp, bàng tiếp tam giác a) Định lí: Nếu hai tiếp tuyến đường trịn cắt điểm thì:  Điểm cách hai tiếp điểm  Tia kẻ từ điểm qua tâm tia phân giác góc tạo hai tiếp tuyến  Tia kẻ từ tâm qua điểm tia phân giác góc tạo hai bán kính qua tiếp điểm · · · · AB = AC;OAB = OAC AOB = AOC ; b) Đường tròn nột tiếp tam giác - Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh tam giác gọi đường tròn nội tiếp tam giác, tam giác gọi tam giác ngoại tiếp đường tròn - Tâm đường tròn nội tiếp tam giác giao điểm đường phân giác góc tam giác 22 c) Đường tròn bàng tiếp tam giác - Đường tròn tiếp xúc với cạnh tam giác tiếp xúc với phần kéo dài hai cạnh gọi đường tròn bàng tiếp tam giác - Tâm đường tròn bàng tiếp giao điểm hai đường phân giác góc ngồi hai đỉnh giao điểm đường phân giác góc đường phân giác góc ngồi đỉnh - Với tam giác có ba đường trịn bàng tiếp (hình vẽ đường trịn bàng tiếp góc A) 37 Vị trí tương đối hai đường trịn, tiếp tuyến chung hai đường tròn a) Hai đường tròn cắt (có hai điểm chung) - Hai điểm A, B hai giao điểm - Đoạn thẳng AB dây chung R - r < OO' < R + r - Đường thẳng OO’ đường nối tâm, đoạn thẳng OO’ đoạn nối tâm *) Tính chất đường nối tâm: Đường nối tâm đường trung trực dây chung b) Hai đường trịn tiếp xúc (có điểm chung) - Điểm chung A gọi tiếp điểm +) Tiếp xúc A: OO' = R + r +) Tiếp xúc A: OO' = R − r c) Hai đường trịn khơng giao (khơng có điểm chung) +) Ở ngồi nhau: OO' > R + r 23 +) Đựng nhau: [hình (a)] OO' < R − r +) Đặc biệt (O) (O’) đồng tâm: [hình (b)] OO' = (a) d) Tiếp tuyến chung hai đường tròn - Tiếp tuyến chung hai đường tròn đường thẳng tiếp xúc với hai đường trịn - Tiếp tuyến chung ngồi khơng cắt đoạn nối tâm - Tiếp tuyến chung cắt đoạn nối tâm 38 So sánh hai cung đường tròn hay hai đường tròn - Hai cung gọi chúng có số đo - Trong hai cung, cung có số đo lớn gọi cung lớn - Kí hiệu: » = CD; » » > GH ¼ ⇔ GH ¼ < EF » AB EF 39 Liên hệ cung dây *) Định lí 1: Với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường tròn nhau: a) Hai cung căng hai dây b) Hai dây căng hai cung » = CD » => AB = CD ; AB = CD => AB » = CD » AB *) Định lí 2: Với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường tròn nhau: a) Cung lớn căng dây lớn b) Dây lớn căng cung lớn » > CD » ⇒ AB > CD ; AB > CD ⇒ AB » > CD » AB 40 Góc nội tiếp a) Định nghĩa: - Góc nội tiếp góc có đỉnh nằm đường trịn hai cạnh chứa hai dây cung đường tròn - Cung nằm bên góc gọi cung bị chắn b) Định lí: 24 (b) Trong đường trịn, số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn · BAC góc nội tiếp chắn cung nhỏ BC (hình a) chắn cung lớn BC(hình b) · BAC = » BC sđ c) Hệ quả: Trong đường tròn +) Các góc nội tiếp chắn cung +) Các góc nội tiếp chắn cung chắn cung +) Góc nội tiếp (nhỏ 90 0) có số đo nửa số đo góc tâm chắn cung +) Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn góc vng 41 Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung a) Khái niệm: - Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc có đỉnh nằm đường trịn, cạnh tia tiếp tuyến cạnh chứa dây cung đường trịn - Cung nằm bên góc cung bị chắn - Hình vẽ:  · BAx chắn cung nhỏ AmB · BAy  chắn cung lớn AnB b) Định lí: - Số đo góc tạo tia tiếp tuyến dây cung nửa số đo cung bị chắn c) Hệ quả: Trong đường tròn, góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung · BAx · = ACB = sđ · ¼ BAx = s®AmB ·BAy = s®AnB ¼ ¼ AmB 42 Góc có đỉnh bên đường trịn Góc có đỉnh bên ngồi đường trịn 25 a) Góc có đỉnh bên đường trịn - Góc có đỉnh nằm bên đường trịn gọi góc có đỉnh bên đường trịn - Hình vẽ: · BEC m a d e góc có đỉnh bên đường trịn chắn hai cung o ¼ ¼ BnC , AmD c - Số đo góc có đỉnh bên đường tròn nửa tổng số đo hai cung b chn n b ẳ ẳ à BEC = sđBnC + s®AmD b) Góc có đỉnh bên ngồi đường trịn - Góc có đỉnh bên ngồi đường trịn góc có đỉnh nằm ngồi đường trịn cạnh có điểm chung với đường trịn E Am · BEC - Hai cung bị chắn hai cung nằm bên góc, hình vẽ bên: góc có đỉnh bên ngồi đường trịn, có hai cung b chn l ẳ ẳ AmD BnC ẳ ẳ · BEC = s®BnC − s®AmD 43 Kết tốn quỹ tích cung chứa góc a) Bài tốn: Với đoạn thẳng AB góc α ( 0 < α < 180 cho trước quỹ tích điểm M thỏa mãn hai cung chứa góc α dựng đoạn thẳng AB · AMB =α ) - Hai cung chứa góc α dựng đoạn thẳng AB đối xứng với qua AB 26 O B - Số đo góc có đỉnh bên ngồi đường tròn nửa hiệu số đo hai cung bị chắn D n C - Khi α = 900 hai cung chứa góc hai nửa đường trịn đường kính AB, suy ra: Quỹ tích điểm nhìn đoạn thẳng AB cho trước góc vng đường trịn đường kính AB (áp dụng kiến thức để chứng minh tứ giác nội tiếp) α b) Cách vẽ cung chứa góc - Vẽ đường trung trực d đoạn thẳng AB · α BAx α - Vẽ tia Ax tạo với AB góc ( = ) - Vẽ tia Ay vng góc với tia Ax Gọi O giao điểm Ay với d - Vẽ cung AmB, tâm O bán kính OA cho cung nằm nửa mặt phẳng bờ AB khơng chứa tia Ax c) Cách giải tốn quỹ tích Muốn chứng minh quỹ tích (hay tập hợp) điểm M thỏa mãn tính chất T hình H đó, ta chứng minh hai phần: Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T thuộc hình H Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H có tính chất T Kết luận: Quỹ tích (hay tập hợp) điểm M có tính chất T hình H 44 Tứ giác nội tiếp a) Khái niệm tứ giác nội tiếp - Một tứ giác có bốn đỉnh nằm đường tròn gọi tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt tứ giác nội tiếp) b) Định lí: - Trong tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện 1800 27 Tứ giác ABCD nội tiếp (O), suy ra: µ +C µ =B µ +D µ = 1800 A c) Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp  Tứ giác có tổng hai góc đối 1800  Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện  Tứ giác có bốn đỉnh cách điểm (mà ta xác định được) Điểm tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác α  Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại góc Lưu ý: Để chứng minh tứ giác tứ giác nội tiếp ta chứng minh tứ giác hình : Hình chữ nhật, hình vng, hình thang cân 45 Đường trịn ngoại tiếp Đường tròn nội tiếp - Đường tròn qua tất đỉnh đa giác gọi đường tròn ngoại tiếp đa giác đa giác gọi đa giác nội tiếp đường tròn - Đường tròn tiếp xúc với tất cạnh đa giác gọi đường tròn nội tiếp đa giác đa giác gọi đa giác ngoại tiếp đường trịn I - Bất kì đa giác có đường trịn ngoại tiếp, có đường trịn nội tiếp - Trong đa giác đều, tâm đường tròn ngoại tiếp trùng với tâm đường tròn nội tiếp gọi tâm đa giác 46 Một số định lí áp dụng : (khơng cần chứng minh) a) Định lí 1: +) Tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác vng trung điểm cạnh huyền +) Nếu tam giác có cạnh đường kính đường trịn ngoại tiếp tam giác tam giác vng b) Định lí 2: Trong đường tròn, hai cung bị chắn hai dây song song c) Định lí 3: Trong đường trịn, đường kính qua điểm cung qua trung điểm dây căng cung d) Định lí 4: Trong đường trịn, đường kính qua trung điểm dây cung (khơng phải đường kính) chia cung căng dây thành hai cung e) Định lí 5: 28 Trong đường trịn, đường kính qua điểm cung vng góc với dây căng cung ngược lại, đường kính vng góc với dây qua điểm cung căng dây 47 Độ dài đường trịn, độ dài cung trịn, diện tích hình trịn, diện tích hình quạt trịn a) Độ dài đường trịn Cơng thức tính độ dài đường trịn (chu vi hình trịn) bán kính R là: C =2π R C =π d Hoặc Trong đó: C : độ dài đường trịn R: bán kính đường trịn d: đường kính đường trịn π ≈ 3,1415 số vơ tỉ b) Độ dài cung tròn l= π R.n 180 Độ dài cung trịn n0 là: Trong đó: l : độ dài cung trịn n0 R: bán kính đường trịn n: số đo độ góc tâm c) Diện tích hình trịn S = π R Trong đó: S : diện tích hình trịn R : bán kính hình trịn π ≈ , 14 d) Diện tích hình quạt trịn Squat = π R 2n 360 S quat = Hoặc Trong đó: S diện tích hình quạt trịn cung n0 R bán kính l độ dài cung n0 hình quạt trịn π ≈ , 14 29 l R ... Chứng minh tứ giác hình chữ nhật Tứ giác có ba góc vng hình chữ nhật Hình cân có góc vng hình chữ nhật Hình bình hành có góc vng hình chữ nhật Hình bình hành có hai đường chéo hình chữ nhật g)... đường hình bình hành d) Chứng minh tứ giác hình thang: Ta chứng minh tứ giác có hai cạnh đối song song e) Chứng minh hình thang hình thang cân Chứng minh hình thang có hai góc kề đáy Chứng minh hình. .. giác hình thoi Tứ giác có bốn cạnh Hình bình hành có hai cạnh kề Hình bình hành có hai đường chéo vng góc với Hình bình hành có đường chéo đường phân giác góc h) Chứng minh tứ giác hình vng Hình