S6 chuyên đề 9 chủ đề 1 hệ thống kiến thức cơ bản

CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ ĐS6.CHUYÊN ĐỀ – PHÂN SỐ CHỦ ĐỀ 1: HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN PHẦN I.TĨM TẮT LÝ THUYẾT Số có dạng , gọi phân số Số nguyên đồng với phân số Tính chất phân số: Nếu nguyên với phân số tối giản Nếu cho ƯC dạng tối giản phân số tồn số PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI Dạng 1: Áp dụng tính chất chia hết để giải toán phân số I.Phương pháp giải Bài tốn tổng qt: Tìm số tự nhiên cho có giá trị nguyên Cách làm: Ư Nếu ta tìm kết luận Nếu ta tìm cần thử lại kết luận Bài tốn tổng qt: Đối với tốn: “Tìm số tự nhiên làm sau: Gọi ước nguyên tố tử mẫu Trang để phân số tối giản rút gọn được” ta CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Dùng phép toán cộng, trừ, nhân để khử Đối với tốn: “Tìm số tự nhiên để từ tìm để phân số tối giản” ta tìm để tử số mẫu số khơng chia hết cho ước nguyên tố Đối với tốn: “Tìm số tự nhiên để phân số rút gọn được” ta tìm hết cho ước nguyên tố II.Bài tốn Bài 1: Cho a) Tìm ngun để phân số b) Tìm nguyên để số nguyên Lời giải: Điều kiện: a) Để phân số b) Để phân số Mà có giá trị số ngun nên Ư Ư Ta có bảng sau: Trang để tử số mẫu số chia CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Vậy Bài 2: Tìm số tự nhiên để phân số có giá trị số nguyên Lời giải: Điều kiện: Để phân số có giá trị số nguyên Ư Ư Mặt khác, số tự nhiên nên Ta có bảng sau: ( loại ) Vậy ( loại) ( loại) Bình luận: Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ - Ngoài cách lập bảng ta để ý rằng: Kết hợp với - Đối với toán với số nguyên thay vào trị ngun vì: theo thì khơng giá khơng có điều ngược lại Bài 3: Chứng minh phân số tối giản với số tự nhiên Phân tích: Để chứng minh phân số phân tối giản ta cần chứng minh ước chung lớn tử mẫu phải Lời giải: Điều kiện: Giả sử ƯCLN Vì số tự nhiên lẻ nên Vậy nên phân số Bài 4: Tìm số tự nhiên phân số tối giản với số tự nhiên để phân số rút gọn Lời giải: Điều kiện: Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Gọi ước nguyên tố Nếu ta thấy Nếu lẻ hay Với Vậy lẻ phân số Bài 5: Tìm số tự nhiên rút gọn nhỏ cho: Lời giải: Điều kiện: , Ta có: Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Suy mà mặt khác Bài 6: Tìm số tự nhiên để phân số có giá trị nguyên Lời giải: Điều kiện: Cách 1: Để phân số Suy có giá trị ngun ước Ư mặt khác số tự nhiên nên nên Ta có bảng sau: Loại Loại Trang nhỏ nên CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Vậy phân số có giá trị ngun Cách 2: Để phân số có giá trị ngun Suy ước Ư mặt khác số tự nhiên nên nên Ta có bảng sau: ( loại) Vậy phân số ( loại) có giá trị ngun Cách 3: Để phân số có giá trị ngun Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Vậy phân số Bài 7: Tìm số nguyên a) có giá trị nguyên cho: số nguyên b) số tự nhiên Lời giải: a) Điều kiện: Để phân số có giá trị số ngun Ư Ư Ta có bảng sau: (loại (loại (loại (loại ) ) ) ) Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ (loại) Vậy có giá trị ngun b) Điều kiện: Để phân số số tự nhiên hay Mà nên Ư Ư Ta có bảng sau: (loại ) (loại (loại) Vậy số tự nhiên Trang ) CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Bài 8: Tìm số tự nhiên để phân số a) Có giá trị số tự nhiên b) Là phân số tối giản c) Phân số rút gọn với Lời giải: Điều kiện: a) Để phân số số tự nhiên hay Mà Ư Ư Mà số tự nhiên nên hay suy Ta có bảng sau: (loại Vậy số tự nhiên Trang 10 ) CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Vậy phân số Bài 9: Tìm tất số tự nhiên rút gọn để phân số rút gọn Lời giải: Điều kiện: Gọi ước nguyên tố với Với mà Mà Với và thì: số nguyên tố nên để phân số (vì ) nên để phân số Vậy với phân số Bài 10: Tìm số ngun để phân số rút gọn rút gọn rút gọn có giá trị số nguyên Lời giải Điều kiện: Để phân số số nguyên Trang 12 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ hay Mà Ư Ư Ta có bảng sau: Vậy số ngun Bài 11: Cho biểu thức : a) phân số b) số nguyên Tìm giá trị Lời giải: Ta có: a) Để phân số b) Để số nguyên hay hay Trang 13 để: CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Mà Ư Ư Ta có bảng sau: Vậy số nguyên Bài 12: Với giá trị số tự nhiên a) b) : có giá trị ngun có giá trị lớn Lời giải: Điều kiện: a) Để số nguyên hay Mà Ư hay Ư Trang 14 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Ta có bảng sau: (loại Vậy ) số nguyên a) Ta có: Để có giá trị lớn Mà nên Vậy Bài 13: Tìm có giá trị nhỏ có giá trị lớn biết Lời giải: Ta có: Theo đề: Trang 15 (loại ) CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Suy Vậy Bài 14: Tìm số nguyên cho Lời giải: Ta có: Do đó: Do số nguyên nên ước 18, mặt khác Ta có: Vậy có sáu cặp số bảng thỏa mãn toán Trang 16 số lẻ Ước lẻ 18 là: CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Bài 15: Tìm số tự nhiên cho: Lời giải: Ta ln có: (xảy dấu với ) (xảy dấu với ) Do đó: Xảy trường hợp Dạng 2: Tìm phân số biết mối liên hệ tử mẫu Một số điều kiện cho trước thường gặp:  Biết tử số (hoặc mẫu số), phân số cần tìm lớn phân số nhỏ phân số  Viết phân số dạng tổng phân số biết số tử (hoặc số mẫu)  Liên hệ phép chia phân số cần tìm với phân số cho  Biết phân số phân số biết quan hệ ƯCLN(Tử , Mẫu) tổng (hiệu) tử mẫu  Cộng số vào tử mẫu phân số Phương pháp giải: - Nếu toán cho tử số (mẫu số), biến đổi cho ba phân số đồng tử (đồng mẫu) so sánh phân số ta tìm mẫu số(tử số) cịn thiếu - Ở dạng tốn viết phân số dạng tổng phân số biết số tử (hoặc số mẫu) ta phải tìm số thuộc ước mẫu cho tổng chúng tử Khi ta tìm Trang 17 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ phân số có tổng phân số ban đầu, phân số có tử số ước mẫu nên viết dạng tối giản có tử số - Từ kiện toán ta vận dụng linh hoạt tính chất phân số tối giản với tính chia hết để giải tốn - Dạng tốn: Tìm phân số phân số , ta tìm phân số tối giản , biết ƯCLN tử mẫu phân số sau nhân tử mẫu phân số tối giản với ta số cần tìm Bài 1: Tìm phân số có tử , biết phân số lớn nhỏ Phân tích: Do phân số có tử số nên ta gọi dạng phân số cần tìm , sau ta biến đổi ba phân số có tử số Khi so sánh hai phân số tử, phân số có mẫu số lớn nhỏ Khi ta tìm khoảng giá trị chọn giá trị phù hợp Lời giải: Gọi mẫu phân số cần tìm Ta có: Vậy phân số cần tìm Bình luận: Bài toán thuộc dạng biết tử số (hoặc mẫu số), phân số cần tìm lớn phân số nhỏ phân số Bài 2: Tìm phân số có mẫu , biết phân số lớn Trang 18 nhỏ CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Lời giải: Gọi tử phân số cần tìm Ta có: Vậy phân số cần tìm là: Bài 3: Hãy viết phân số dạng tổng phân số có tử số có mẫu số khác Phân tích: Nhận thấy mẫu số ,Ư ta khơng tìm ba số có tổng 11 Lặp lại cách thử mẫu tử phân số nhân tử mẫu phân số với số tìm số thỏa mãn Dễ thấy nhân tử mẫu phân số với số , Ư ta phân ta tìm ba số cộng với Lời giải: Ư Bài 4: Hãy viết phân số dạng tổng phân số có tử số có mẫu số khác Lời giải: Ư Trang 19 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Bài 5: Tìm phân số tối giản nhỏ (với ) biết chia cho thương số nguyên Phân tích: Do tính chất chia hết ta có: cho Tương tự, chia hết cho chia hết nên số nguyên, số nguyên, Do tính chất phân số tối giản lớn chia hết cho chia hết ta có , , chia hết chia hết cho ƯCLN Lời giải: Vì tối giản nên chia hết cho Do Vì ƯCLN số nguyên nên chia hết cho ƯC phân số tối giản nhỏ lớn Do phân số cần tìm Bài 6: Tìm phân số tối giản nên ƯCLN nên thương nhỏ (với ) biết chia cho số nguyên Lời giải: Vì tối giản nên chia hết cho ƯCLN số nguyên nên Trang 20 chia hết cho