S6 chuyên đề 5 chủ đề 1 định nghĩa, tính chất số nguyên tố, hợp số

CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ ĐS6.CHUYÊN ĐỀ 5-SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ CHỦ ĐỀ 1:ĐỊNH NGHĨA,TÍNH CHẤT,SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ PHẦN I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1.SỐ NGUYÊN TỐ -Số nguyên tố số tự nhiên lớn 1,chỉ có ước -Số ngun tố nhỏ vừa số nguyên tố chẵn số -Không thể giới hạn số nguyên tố tập hợp số nguyên tố.Hay nói cách khác,số nguyên tố vô hạn -Khi số nguyên tố nhân với tích chúng khơng số phương -Ước tự nhiên nhỏ khác số tự nhiên coi số nguyên tố  a   , cần chứng minh a không chia hết cho -Để kết luận số tự nhiên a số nguyên tố số ngun tố mà bình phương khơng vượt q a  a p abp    b p ( p số nguyên tố) -Nếu tích n -Đặc biệt a p  a p ( p số nguyên tố) * -Mọi số nguyên tố vượt có dạng: 4n 1( n  N ) * -Mọi số nguyên tố vượt có dạng: 6n 1( n  N ) -Hai số nguyên tố sinh đôi hai số nguyên tố đơn vị 2.HỢP SỐ -Hợp số số tự nhiên lớn lơn có nhiều ước nguyên dương -Để chứng tỏ số tự nhiên a  a 1  hợp số,chỉ cần ước khác a -Ước số nhỏ khác hợp số số ngun tố bình phương lên khơng vượt q -Một hợp số tổng ước (khơng kể nó) gọi là: Số hồn chỉnh TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤCU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC ÁN GIÁO DỤCC Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ -Mọi số tự nhiên lớn phân tích thừa số nguyên tố cách (không kể thứ tự thừa số) 3.HAI SỐ NGUYÊN TỐ CÙNG NHAU -Hai số tự nhiên gọi nguyên tố chúng có ước chung lớn a, b nguyên tố với  ( a, b ) 1;( a, b  N * ) - Hai số tự nhiên liên tiếp nguyên tố - Hai số nguyên tố khác nguyên tố - Các số nguyên tố khác nguyên tố - Các số a, b, c nguyên tố ( a, b, c ) 1 - a, b, c nguyên tố sánh chúng đôi nguyên tố a, b, c nguyên tố sánh đôi  ( a, b ) ( b, c ) ( c, a ) 1 4.MỘT SỐ ĐỊNH LÍ ĐẶC BIỆT * - Định lí Đirichlet: Tồn tai vơ số số ngun tổ p có dạng: p ax  b; x  N , ( a, b ) 1 - Định lí Tchebycheff: Trong khoảng từ số tự nhiên n đến số tự nhiên 2n có số nguyên tố ( n  2) - Định lí Vinogradow: Mọi số lẻ lớn tổng số nguyên tố PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI Dạng 1:Tính chất đặc trưng số nguyên tố cách nhận biết số nguyên tố,hợp số I.Phương pháp giải - Dựa vào dấu hiệu chia hết tính chất số nguyên tố ,hợp số, để giải toán chứng minh giải thích - Thơng qua việc phân tích xét hết khả xảy ra, đối chiếu với giả thiết định lý, hệ học để loại bỏ trường hợp mâu thuẫn nhận biết đâu số nguyên tố, hợp số II.Bài toán Bài 1: Chứng minh rằng: TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤCU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC ÁN GIÁO DỤCC Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ * a, Mọi số nguyên tố vượt có dạng: 4n 1( n  N ) * b, Mọi số nguyên tố vượt có dạng: 6n 1( n  N ) Lời giải: * a, Gọi A số tự nhiên lớn Khi A có dạng 4n, 4n  1, 4n  2, 4n  3( n  N ) -Nếu A 4n hay A 4n  A2 A hợp số Suy A số ngun tố A có dạng 4n  1, 4n  Vì 4n  4n   4( k 1 )  nên suy số nguyên tố vượt có dạng: 4n 1( n  N * ) (đpcm) * b, Gọi A số tự nhiên lớn 3.Khi A có dạng 6n, 6n  1, 6n  2,6n  3( n  N ) -Nếu A 6n hay A 6n  A3 A hợp số -Nếu A 6n  A2 A hợp số Suy A số ngun tố A có dạng 6n  1, 6n  Vì 6n  6n   6(k  1)  nên suy số nguyên tố vượt có dạng: 6n 1( n  N * ) (đpcm) Bài 2: Ta biết có 25 số nguyên tố nhỏ 100 Tổng 25 số số chẵn hay số lẻ? Lời giải: Trong 25 số nguyên tố nhỏ 100 có chứa số nguyên tố chẵn 2, 24 số nguyên tố cịn lại số ngun tố lẻ Do tổng 25 số nguyên tố nhỏ 100 số chẵn Bài 3: Tổng số nguyên tố 2003 không ? Lời giải: Ta thấy 2003 số lẻ nên 2003 tổng hai số nguyên tố hai số phải số chẵn Vậy số lại 2001 2001 lại khơng số ngun tố 2001 69.29 Vậy tổng hai số ngun tó khơng thể 2003 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤCU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC ÁN GIÁO DỤCC Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Bài 4: Cho p p  hai số nguyên tố lớn Chứng minh tổng chúng chia hết cho 12 Lời giải: p số nguyên tố lớn nên p có dạng 6n 1, ( n  N * ) Ta thấy p 6n  1,( n  N * ) p  6n  3( 2n  1)3 TH1: Mà p  số lớn nên p  hợp số ( Trái với GT, loại ) TH2: p 6n  1( n  N * ) p  6n  Khi p  p  6n   6n  12n 12  ĐPCM Bài 5: Cho p số nguyên tố hai p  1,8 p  số nguyên tố Hỏi số lại số nguyên tố hay hợp số Lời giải: -Nếu p 2 p  8.2  15 hợp số -Nếu p 3 p  8.3  25 hợp số -Nếu p  p không chia hết cho Vậy số p  1,8 p  chia hết cho hợp số Vậy số lại hợp số n n Bài 6: Hai số  1,  1( n  N , n  2) số nguyên tố hay khơng ? Vì ? Lời giải: Vì 2n  1, n , 2n  số tự nhiên liên tiếp nên có số chia hết cho 3.Mà ( 2,3) 1 số n nguyên tố nên không chia hết cho (1) n n Mà n  nên   3,   (2) TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤCU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC ÁN GIÁO DỤCC Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ n n Từ (1) , (2) suy số  1,  phải chia hết cho n n  Hai số  1,  1( n  N , n  ) số nguyên tố Bài 7: Cho số nguyên tố lớn 3,trong số sau lớn số trước d đơn vị.Chứng minh d 6 Lời giải * Các số nguyên tố lớn nên p có dạng 3k  3k  ( k  N ) Có số mà có dạng nên tồn hai số thuộc dạng, hiệu chúng ( d 2d ) chia hết cho ( theo nguyên lý Drichlet ) Mặt khác d chia hết cho d hiệu hai số lẻ.Vậy d chia hết cho Bài 8: Hai số nguyên tố gọi sinh đôi chúng hai số nguyên tố lẻ liên tiếp Chứng minh số tự nhiên lớn nằm hai số ngun tố sinh đơi chia hết cho Lời giải: Gọi p số nguyên tố lơn p lẻ nên p  12 (1) Mà p số nguyên tố lớn nên p có dạng 3k  1,3k  2( k  N , k  1) Dạng p 3k  khơng xảy p 3k  p  3k  33 hợp số (Loại)  p 3k   p  3k  33 (2) Từ (1) , (2)  p  16  ĐPCM Bài 9: Cho p p  hai số nguyên tố lớn Hỏi p  100 số nguyên tố hợp số ? Lời giải: p số nguyên tố lớn nên p có dạng 6n 1, ( n  N * ) Ta thấy p 6n  1, ( n  N * ) p  6n  3( 2n  3) 3 TH1: Mà p  số lớn nên p  hợp số ( Trái với GT, loại ) TH2: p 6n  1( n  N * ) p  6n  TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤCU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC ÁN GIÁO DỤCC Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Khi p  100 6n   100 6n  99 3(2n  33) 3 Mà p  100 số lớn nên p  100 hợp số Bài 10: Cho p p  hai số nguyên tố lớn Hỏi p  số nguyên tố hay hợp số ? Lời giải: p số nguyên tố lớn nên p có dạng 6n 1, ( n  N * ) Ta thấy p 6n  1,( n  N * ) p  2(6n  1)  12n  3(4n 1) 3 TH1: Mà p  số lớn nên p  hợp số ( Trái với GT, loại ) TH2: p 6n  1(n  N * ) p  2(6n  1)  12n  Khi p 1 4(6n  1)  24n  3(8n  1) Mà p  số lớn nên p  hợp số Bài 11: Chứng minh số dư phép chia số nguyên tố cho 30 là số nguyên tố Lời giải: p số nguyên tố p có dạng p 30k  r 2.3.5.k  r (k  N * , r  N * ,  r  30) Giả sử r hợp số r có ước nguyên tố q cho q  30  q   2,3,5 Nếu Nhưng với q   2,3,5 p chia hết cho 2,3,5 ( Vô lý ) Vậy r 1 r số nguyên tố Bài 12: Một số nguyên tố chia cho 30 có số dư r Tìm r biết r không số nguyên tố Lời giải: * Gọi số nguyên tố p ( p  N ) TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤCU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC ÁN GIÁO DỤCC Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ * * Ta có: p 30k  r 2.3.5.k  r (k  N , r  N ,  r  30) Vì p số ngun tố nên r khơng chia hết cho 2,3,5 Số nguyên dương không số nguyên tố nhỏ 30 không chia hết cho 2, 3, có số Vậy r 1 Bài 13: Một số nguyên tố chia cho 42 có số dư r Tìm r biết r hợp số Lời giải: * Gọi số nguyên tố p ( p  N ) Ta có: p 42k  r 2.3.7.k  r (k  N * , r  N * ,  r  42) Vì p số ngun tố nên r khơng chia hết cho 2,3,7 Số nguyên dương hợp số nhỏ 42 không chia hết cho 2,3, có số 25 Vậy r 25 Bài 14: Trong dãy số tự nhiên tìm 1997 số liên tiếp mà khơng có số ngun tố hay không ? Lời giải: Chọn dãy số: a1 1998! a1 2 a2 1998! a2 3 a3 1998! a3 4 …… a1997 1998! 1998 ………… a1997 1998 Như vậy: Dãy số a1 ; a2 ; a3 ; ; a1997 gồm có 1997 số tự nhiên liên tiếp khơng có số số nguyên tố Bài 15: Trong dãy số tự nhiên tìm n số liên tiếp ( n  1) mà khơng có số ngun tố hay khơng ? TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤCU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC ÁN GIÁO DỤCC Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Lời giải: Chọn dãy số: a1 (n  1)! a1 2, a1  nên a1 hợp số a2 (n  1)! a2 3, a2  nên a2 hợp số a3 (n  1)! a3 4, a3  nên a3 hợp số …… an (n  1)! (n  1) ………… an (n  1), an  n  nên an hợp số Như vậy: Dãy số a1 ; a2 ; a3 ; ; an gồm có n số tự nhiên liên tiếp khơng có số số ngun tố Bài 16: Ta biết có 25 số nguyên tố nhỏ 100 Tổng 25 số số chẵn hay số lẻ? Lời giải: Trong 25 số nguyên tố nhỏ 100 có chứa số nguyên tố chẵn 2, 24 số nguyên tố lại số nguyên tố lẻ Do tổng 25 số nguyên tố nhỏ 100 số chẵn Bài 17: Chứng minh tổng tố (n,30) 1 n lũy thừa bậc số nguyên tố lớn số nguyên Lời giải: Số nguyên tố p chia cho 30 dư là: 1, 7,11,13,17,19, 23, 29 Với r 1 p 1( mod 30 ) tương tự với r 11 , r 9 , r 19 Với r 7 p 19 ( mod 30 ) tương tự với r 13 , r 17 , r 23 Suy p 1( mod 30) Giả sử p1 , p2 , , pn số nguyên tố lớn 4 Khi q  p1  p2   pn n(mod 30)  p 30k  n(k  N * ) số nguyên tố nên ( n,30) 1) TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤCU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC ÁN GIÁO DỤCC Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Dạng 2:Tìm số nguyên tố p để thỏa mãn điều kiện I.Phương pháp giải - Trong n số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho n - Nắm tính chất đặc trưng số nguyên tố để giải tốn II.Bài tốn Bài 1: Tìm số ngun tố p cho số sau số nguyên tố: a, p  10, p  14 b, p  2, p  6, p  8, p  12, p  14 Lời giải: a, Vì p  10, p  14 số nguyên tố 10;14 hợp số  p  *  p có dạng 3k ,3k  1,3k  2( k  N ) -Nếu p 3k   p  14 3k  15 3(k  5) 3 hợp số (Loại) -Nếu p 3k   p  10 3k  12 3( k  4) 3 hợp số (Loại)  p  10 3  10 13   -Nếu p 3k  p 3 (vì p số nguyên tố)  p  14 3  14 17 (đều số nguyên tố,thỏa mãn) Vậy p 3 p  10, p  14 số nguyên tố b, Vì p  2, p  6, p  8, p  12, p  14 số nguyên tố  p   p có dạng 5k ,5k  1,5k  2,5k  3,5k  4(k  N ) -Nếu p 5k   p  14 5k  155 hợp số (loại) -Nếu p 5k   p  5k  105 hợp số (loại) -Nếu p 5k   p  12 5k  155 hợp số (loại) -Nếu p 5k   p  5k  105 hợp số (loại) -Nếu p 5k mà p số nguyên tố nên p 5  p  7; p  11, p  13; p  12 17; p  14 19 số nguyên tố (thỏa mãn, lấy) TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤCU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC ÁN GIÁO DỤCC Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Vậy p 5 p  2, p  6, p  8, p  12, p  14 số nguyên tố Bài 2: Tìm số lẻ liên tiếp số nguyên tố Lời giải: * Gọi số lẻ liên tiếp là: 2k  1, 2k  3, 2k  5( k  N ) Trong số lẻ liên tiếp ln có số chia hết cho -Nếu 2k  33  2k  3 (vì 2k  số nguyên tố)  k 0  2k 1 1 (Loại không số nguyên tố) -Nếu 2k  53  2k  3 (vì 2k  số ngun tố)  k  (Loại -1 khơng phải số tự nhiên) -Nếu 2k  13  2k  3 (vì 2k  số nguyên tố)  k 1  2k  5; 2k  7 (Thỏa mãn số nguyên tố) Vậy số tự nhiên lẻ cần tìm 3,5,7 Bài 3: Tìm số nguyên tố p cho p vừa tổng vừa hiệu hai số nguyên tố Lời giải: Giả sử p số ngun tố cần tìm ta có p  p1  p2  p3  p4 ( p1 , p2 , p3 , p4 số nguyên tố p3  p4 ) Để p số ngun tố p1 , p2 có hai số số chẵn p3 , p4 có hai số số chẵn Giả sử p1  p2  p2  p4 2 Ta có: p  p 2  p3   p3  p1  Ta thấy p1 , p1  2, p1  số nguyên tố lẻ liên tiếp Theo câu a  p1 3  p  p1  5 Thử lại: p 5  2  7  Vậy số cần tìm TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤCU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC ÁN GIÁO DỤCC 10 Trang