Bài tập hình ôn thi vào 10 phần 4

O Câu 61 Cho nửa đường tròn   đường kính AB , C điểm nằm đoạn OA ( C khác A,C khác O) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến Ax;By với nửa đường tròn M điểm nằm nửa đường tròn ( M khác A, M khác B) đường thẳng qua M vng góc với MC cắt tia Ax;By P,Q 1)Chứng minh tứ giác APMC nội tiếp 2)Chứng minh AMB đồng dạng với CPQ 3)Gọi D giao điểm CP AM E giao điểm CQ BM Chứng minh OM qua trung điểm DE Lời giải 1.Chứng minh tứ giác APMC nội tiếp  +) Ta có : PQ  MC M ( gt)  PMC 90  +) PA  AB ( t/c tiếp tuyến đường tròn)  PAC 90   +) Xét tứ giác PMCA có : PMC  PAC 180  PMCA tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính PC ( tứ giác có hai góc đối có tổng 180 ) 2.Chứng minh  MAB đồng dạng  CPQ      CPM MAC  sdMC  CPQ MAB +) Xét đường trịn đường kính PC có  +) Ta có : MQ  MC M ( gt)  CMQ 90  +) BA  BQ ( t/c tiếp tuyến đường tròn)  QBC 90   +) Xét tứ giác MQBC có : CMQ  QBC 180  MQBC tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính QC ( tứ giác có góc đối có tổng 180 )       MQC MBC  sdMC  MBA CQP Xét      MAB  CPQ có MAB CPQ MBA CQP   MAB đồng dạng  CPQ ( g.g) Gọi D giao điểm CP AM, E giao điểm CQ BM CMR: OD qua trung điểm DE Gọi K giao điểm OM DE    Ta có DME 90 ( Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)  DME DCE 90 (  MAB đồng dạng  CPQ ) 0     Xét tứ giác : MDCE có DME DCE 90  DME  DCE 180  Tứ giác MDCE nội tiếp đường trịn đường kính DE ( tứ giác có góc đối có tổng 1800 )    MED MCD  sdMD    MED MCP (1)    Xét đường trịn đường kính PC có MAP MCP sdAM ( hai góc nội tiếp chắn cung) (2)    MAP MBA  sdAM (3) AB có Xét đường trịn đường kính   Tu (1),(2), (3)  MED MBA Mà góc vị trí đồng vị nên  DE // AB +) Xét  MKD  MOA     có DMK AMO ( chung) MKD MOA ( đồng vị )   MKD đồng dạng  MOA ( g.g)  MD MK DK   MA MO AO (4) + Tương tự  MEK đồng dạng  MBO ( g.g)  ME MK KE   MB MO OB ( 5) Từ (4) (5) điểm DE  DK KE  OA OB Mà OA = OB = R  DK KE hay OM qua trung O O Câu 62 Từ điểm A nằm đường tròn   kẻ tiếp tuyến AM; AN với   , M; N tiếp điểm cát tuyến APQ  AP  AQ  M nằm cung nhỏ PQ Gọi D trung O điểm PQ Gọi T giao điểm MD với   a) Chứng minh điểm A; M; O; N thuộc đường tròn b) Chứng minh NT // PQ c) Đường thẳng OD cắt tiếp tuyến AM; AN B C qua O kẻ đường thẳng vng góc với BC cắt MN I Qua I kẻ đường thẳng vuông góc với OI cắt AM; AN tại E F Chứng minh OEF cân AI qua trung điểm K BC Lời giải B M E Q P D A O I K T N F C a) Xét  O  có AM, AN   tiếp tuyến  AMO ANO 90   Tứ giác AMON có: AMO  ANO 90  90 180  Tứ giác AMON nội tiếp  Bốn điểm A, M, N,O thuộc đường trịn  b) Vì D trung điểm PQ nên OD  PQ  ADO 90   Xét tứ giác ADON có: ADO  ANO 90  Tứ giác ADON nội tiếp  Bốn điểm A, D,O, N thuộc đường tròn Mà bốn điểm A, M, N,O thuộc đường tròn (ý a) Suy ra: năm điểm A, M, N, D,O thuộc mộtđường tròn    Tứ giác ANDM nội tiếp  ADM ANM  sdMN   ANM  NTM Lại có (cùng )   Suy ra: MTN ADM Mặt khác hai góc vị trí đồng vị Suy ra: NT//PQ   c, Xét tứ giác MEIO có: OME  OIE 90  90 180      Tứ giác MEIO nội tiếp  OEI OMI  OEF OMN (1)   Xét tứ giác NIOF có: OIF ONF 90      Tứ giác NIOF nội tiếp  OFI ONI  OFE ONM (2) Xét OMN có: OM ON R    OMN cân O  OMN ONM   Từ (1) (2) (3) suy ra: OEF OFE   Xét OEF có: OEF OFE  OEF cân O Gọi K giao điểm AI BC Vì OEF cân O nên OI vừa đường cao vừa đường trung tuyến  I trung điểm EF  IE IF (3)  BC//EF OI  BC  OI  EF Ta có:  IE//BK   IF//CK IE AI  ABK có IE//BK nên áp dụng hệ định lí Ta-let ta có: BK AK IF AI  ACK có IF//CK nên áp dụng hệ định lí Ta-let ta có: CK AK (3) (4) IE IF  Từ (3) (4) suy BK CK Mà IE IF  cmt  Suy ra: BK CK  K trung điểm BC Lại có A, I, K thẳng hàng Suy AI qua trung điểm K BC O Câu 63 Từ điểm A nằm ngồi đường trịn   , kẻ hai tiếp tuyến AB , AC đến đường tròn tâm O ( B , C tiếp điểm) Qua A kẻ đường thẳng d nằm AB AO cắt đường  O E F ( E nằm A F ) Gọi H trung điểm BC Gọi I trung điểm EF Đường thẳng vng góc với EF I cắt đường thẳng BC S a) Chứng minh năm điểm A , B , I , O , C nằm đường tròn tròn O b) Chứng minh OH.OA OE SF tiếp tuyến   c) Đường thẳng SF cắt hai đường thẳng AB AC P Q ; đường thẳng FO cắt BC K Chứng minh AK qua trung điểm PQ Lờigiải S B F I E O H A C a) Vì AB AC tiếp tuyến đường tròn  O   suy ABO ACO 90 (1) Do  OS  EF  I  OIA 90 (2) Từ (1) (2) suy năm điểm A , B , I , O , C nằm đường tròn đường kính OA b) Ta có AB AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) OB OC  B,C  (O)  Suy OA đường trung trực BC  OA  BC  H Xét ABO vuông B , đường cao BH có OB OH.OA (hệ thức lượng tam giác vuông) Mà OB OE suy OE OH.OA (điều phải chứng minh) Xét OIA OHS có:    AIO SHO  90  ; HOI chung  OIA ∽ OHS (g.g)  OI OA  OH OS (các cặp cạnh tương ứng)  OI.OS OA.OH Mà OE OH.OA;OF OE  OI.OS OF2  OI OF  OF OS OI OF   Xét OFS OIF có OF OS (cmt); FOI chung    OFS ∽ OIF (c.g.c)  OIF OFS (các cặp góc tương ứng)   Mà OIF 90  OFS 90  OF  SF Vậy SF tiếp tuyến c)  O S P B J F I O E M K C N Q A H Qua điểm K kẻ đường thẳng vng góc với OK , cắt AQ, AP hai điểm N J Ta có: JN  FK    JN // PQ PQ  FK  O Mặt khác, FK phần đường kính đường trịn   Mà FK  JN  K trung điểm JN Xét APM có JK // PM  Xét AQM có NK // MQ JK AK  PM AM   1 NK AK  MQ AM  2 JK NK  PM MQ Mà JK  NK (cmt) Từ (1) (2) suy  PM MQ  M trung điểm PQ  AK qua trung điểm M PQ Câu 64 Cho đường trịn (O;R) Điểm M ngồi đường trịn cho OM 2R Kẻ hai tiếp tuyến MA , MB tới đường tròn ( A , B tiếp điểm) Nối OM cắt AB H , hạ HD  MA D , điểm C thuộc cung nhỏ AB Tiếp tuyến C đường tròn (O;R) cắt MA , MB E , F a) Chứng minh MAOB tứ giác nội tiếp b) Chứng minh: OH.OM OA c) Đường trịn đường kính MB cắt BD I , gọi K trung điểm OA Chứng minh ba điểm M , I , K thẳng hàng Lời giải