Chuyên đề 5 cực trị hình học

111Equation Chapter Section CHUYÊN ĐỀ 5: CỰC TRỊ HÌNH HỌC A KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa: Các tốn cực trị hình học tốn có liên quan tới giá trị lớn (Max) giá trị nhỏ (Min) đại lượng hình học biên thiên Các cách trình bày giải: 1) Chỉ vị trí hình chứng minh hình có đại lượng cần tìm đạt cực trị 2) Thay đại lượng cần tìm cực trị thành đại lượng khác tương ứng (nếu được) từ dùng kiến thức tìm GTNN GTLN A với A đại lượng a) Ta chứng minh A m (m khơng đổi) có hình cho A m giá trị nhỏ a m b) Ta chứng minh A n (n khơng đổi) có hình cho A n GTLN A n 3) Thay việc tìm cực đại đại lượng việc tìm cực tiểu đại lượng khác ngược lại B CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Sử dụng quan hệ đường vng góc, đường xiên, hình chiếu a) B A C ABC vng A nên AB BC Dấu " " xảy  A C b) A a B H AH  a  AH  AB   AB  AC  HB  HC  C Dấu " " xảy B H c) A K a b H B  A K  A, K  a; B, H  b, a / / b;HK  a  HK  AB Dấu " " xảy  B H Dạng Sử dụng quan hệ đường thẳng đường gấp khúc Với ba điểm A, B, C ta có: AC  CB  AB AC  CB  AB  C thuộc đoạn thẳng AB Dạng Sử dụng bất đẳng thưc hình trịn C A D O a) AB đường kính, CD dây  CD  AB B H A B b) OH , OK khoảng cách từ tâm đến dây AB,CD AB CD  OH OK O C K D C D O c) AB, CD cung nhỏ (O):  AB CD  AOB COD B A d) AB, CD LÀ CÁC CUNG NHỎ CỦA   (O) :AB CD  AB CD D C O B A Dạng Sử dụng bất đẳng thức lũy thừa bậc hai Các bất đẳng thức lũy thừa bậc hai sử dụng dạng: A2 0;  A2 0 Do với m số, ta có: f  A2  m min f m  A 0 f  A2  m m;max f m  A 0 Dạng Sử dụng bất đẳng thức Cosi x y  xy Với x 0, y 0, ta có: dấu " " xảy x  y Bất đẳng thức Cosi thường sử dụng trường hợp sau: x  y  2 x y  2 xy TH1: Dấu " " xảy  x  y  x  y xy 4; xy  x  y  x  y x2  y  ;  2;  x  y2  x  y TH2: Dấu " " xảy x  y TH3:Với x 0; y 0; x  y khơng đổi xy lớn x  y TH4:Với x 0, y 0, xy không đổi x  y nhỏ x  y Dạng 6.Vận dụng quan hệ đường vng góc đường xiên, đường xiên hình chiếu, khoảng cách hai đường thẳng song song M B A Cho B  d ; C  d ; M  d Nếu MA  d ; A  d thì: MA MB Dấu " " xảy A B AB  AC  MB MC C d a A h b B Nếu a / / b, khoảng cách a b h, A  a, B  b độ dài nhỏ AB h, xảy AB  a Dạng 7.Vận dụng quy tắc điểm, bất đẳng thức tam giác  Với ba điểm A, B, C ta ln có: AB  AC BC Dấu " " xảy A thuộc đoạn BC  Với n điểm A1 , A2 , , An ta có: A1 A2  A2 A3   An An  A1 An Dấu xảy A1 , A2 , , An thẳng hàng Dạng Vận dụng toán cực trị đại số Các toán cực trị đại số thường áp dụng 2  A  B 0 với moi giá trị biểu thức A B, dấu " " xảy  A B Tổng quát tổng bình phương biểu thức khơng âm, tổng giá trị biểu thức  Với a, b hai số khơng âm ta có a  b 2 ab , dấu " " xảy  a b  Với a,b hai số ta có  a  b  4ab, dấu " " xảy  a b k  2, k  Với k số khơng âm ta có dấu " " xảy  k 1 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Trên hai cạnh BC, AC tam giác ABC, lấy tương ứng hai điểm M N cho BM CN Tìm vị trí M để MN có giá trị nhỏ Giải: A H G N K B M C Kẻ MK , NH vng góc với AB MG  NH Tứ giác MGHK hình chữ nhật có góc vng, suy MG KH mà MN MG  MN KH Các tam giác AHN , BKM tam giác vng có góc nhọn 60 , suy 1 AH  AN ; BK  BM 2 ra: 1  KH  AB   AH  BK   AB   AN  BM  2  Do đó: AC AB  AB   AN  NC   AB   2 AB AB MN  ;min( MN )  2 nên MN đường trung bình ABC Suy Ví dụ Cho tam giác ABC Qua A dựng đường thẳng d cắt cạnh BC tam giác cho tổng khoảng cách từ B C đến d có giá trị nhỏ Giải: Gọi D giao điểm d BC Vẽ BM , CN vng góc với d Với vị trí D cạnh BC ta có: A M D B C N d S BAD  SCAD S ABC   BM  CN  1 AD.BM  AD.CN S 2 2S AD 2S AD nhỏ  AD lớn Do BM  CN nhỏ Giả sử AC  AB hai đường xiên AD, AC , đường xiên AD có hình chiếu nhỏ AD  AC khơng đổi Vậy AD  AC  D C Vậy đường thẳng d phải dựng đường thẳng chứa cạnh lớn cạnh AB, AC Ví dụ Cho tứ giác lồi ABCD Tìm điểm M có tổng khoảng cách tới bốn đỉnh tứ giác nhỏ B Với điểm A, C , M ta có:  MA  MC  AC , dấu " " xảy M  đoạn AC A Tương tự MB  MD BD, dấu " " xảy  M  BD  MA  MB  MC  MD  AC  BD M D C Dấu " " xảy M  AB  CD Vậy min( MA  MB  MC  MD )  AC  BD  M M Ví dụ Cho đường thẳng xy hai điểm A, B thuộc nửa mặt phẳng có bờ xy a) Tìm điểm M thuộc xy cho MA  MB nhỏ b) Tìm điểm N thuộc xy cho NA  NB lớn Giải: a) Gọi A’ điểm đối xứng A qua xy A ' hồn tồn xác định A B x y N0 N Xét tổng MA  MB MA ' MB Nối A ' với B áp dụng bất đẳng thức tam giác cho điểm A ', M , B ta có: MA ' MB  A ' B Dấu " " xảy M  A ' B M M b) Nếu lấy điểm N xy NA  NB  AB Giá trị lớn NA  NB AB B điểm nằm hai điểm A N Suy : Nếu AB / / xy không tìm điểm M thỏa mãn điều kiện Nếu AB không song song với xy Gọi N giao điểm AB xy thi N điểm cần tìm Vậy max NA  NB  AB  N N Ví dụ 4: Cho góc xOy khác góc bẹt điểm M thuộc miền góc Dựng đường thẳng qua M cắt hai cạnh góc thành tam giác có diện tích nhỏ y B H O b M a K x A Vẽ MH / / OA, MK / /OB SOHMK khơng đổi Đặt SOHMK S3 , S AMK S1 , S MHB S Đặt MA a, MB b Ta có: S3 S   S1  S   S3 S  S2 1  S S S1  a  S2  b    ,   S a  b AKM , MHB , AOB   S  a b  Các tam giác đồng dạng nên: S3 a2  b2 2ab S  a  b  1     2 2 S S3 2ab  a  b  a  b (áp dụng bất đẳng thức  a  b  2 4ab, xảy đẳng thức a b) Vậy S 2 S3 , diện tích AOB nhỏ a b, M trung điểm AB suy B đối xứng với O qua H C BÀI TẬP TỰ LUYỆN (cứ 10 giải lần) Bài Qua đỉnh A tam giác ABC, dựng đường thẳng d cho tổng khoảng cách từ đỉnh B C tới d lớn Bài Cho điểm P cố định nằm tam giác ABC cho PA 3; PB 2 Hãy xác định độ dài lớn đoạn PC dựng tam giác ABC Bài Cho hình vng ABCD Hãy nội tiếp hình vng hình vng có diện tích nhỏ Bài Cho hình vng ABCD.Điểm M nằm đường chéo AC Hạ ME  AB E, MF  BC F.Tìm vị trí M để diện tích DEF lớn Bài Cho tam giác nhọn ABC có cạnh a, b,c tương ứng đường cao AH h Hãy dựng hình chữ nhật MNPQ nội tiếp tam giác ABC cho có diện tích lớn Biết M  AB, N  AC , P, Q  BC Bài Cho hình vng ABCD Trên cạnh AB, BC , CA, DA ta lấy theo thứ tự điểm E , F , G, H cho AE BF CG DH Xác định vị trí điểm E , F ,G,H cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ Bài Cho tam giác nhọn ABC Từ điểm I nằm tam giác ta kẻ IM  BC , IN  AC , IK  AB Đặt AK x, BM  y , CN z Tìm vị trí I cho tổng x  y  z nhỏ Bài Cho nửa đường trịn có đường kính AB 10cm Một dây CD có độ dài 6cm có hai đầu di chuyển nửa đường tròn Gọi E F theo thứ tự hình chiếu A B CD Tính diện tích lớn tứ giác ABFE Bài Cho hình vng ABCD cạnh a Vẽ cung BD tâm A bán kính a (nằm hình vng), tiếp tuyến với cung cắt BC, CD theo thứ tự M N Tính độ dài nhỏ MN Bài 10 Cho tam giác ABC có ^Blà góc tù, điểm D di chuyển cạnh BC Xác định vị trí điểm D cho tổng khoảng cách từ B C đến đường thẳng AD có giá trị lớn ĐÁP ÁN BÀI – ĐẾN – BÀI 10 Bài Ta xét hai trường hợp: Trường hợp 1: d cắt cạnh BC E A B' B E C C' d Gọi BB ', CC ' khoảng cách từ đỉnh B C tới d Hai tam giác ABE ACE có chung đáy AE đường cao tương ứng với đáy BB ', CC ' Ta có: