Sh6 cđ 1 5 lũy thừa với số mũ tự nhiên

SH6.CHUYÊN ĐỀ 1-TẬP HỢP CÁC SỐ TỰ NHIÊN CHỦ ĐỀ 1.5-LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN PHẦN I.TÓM TẮT LÍ THUYẾT Lũy thừa bậc n số a tích n thừa số nhau, thừa số a a n a{ a a n thừa số ( n  ); a gọi số, n gọi số mũ m n m n 2.Nhân hai luỹ thừa số a a a m n m  n  a 0, m n  3.Chia hai luỹ thừa số a : a a  a 0  Quy ước a 1 am   4.Luỹ thừa luỹ thừa Luỹ thừa mộttích n a mn  a.b  m a m bm Một số luỹ thừa 10: - Một nghìn: - Một vạn: 1000 103 10 000 104 - Một triệu: 1000 000 10 - Một tỉ: 1000 000 000 109 n Tổng quát: n số tự nhiên khác thì: 10 1000 00 Thứ tự thực phép tính: Trong biểu thức có chứa nhiều dấu phép tốn ta làm sau: - Nếu biểu thức khơng có dấu ngoặc có phép cộng, trừ có phép nhân chia ta thực phép tính theo thứ tự từ trái sang phải - Nếu biểu thức khơng có dấu ngoặc, có phép cộng, trừ ,nhân ,chia, nâng lên lũy thừa, ta thực nâng lên lũy thừa trước thực nhân chia,cuối đến cộng trừ   ,   ,  ta thực phép tính ngoặc trịn trước, đến - Nếu biểu thức có dấu ngoặc phép tính ngoặc vng, cuối đến phép tính ngoặc nhọn PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI Dạng THỰC HIỆN TÍNH, VIẾT DƯỚI DẠNG LŨY THỪA I.Phương pháp giải Sử dụng công thức: 1) a n a{ a a thừa n số ( an  ); a gọi số, n gọi số mũ m n m n 2) a a a m n m  n  a 0, m n  3) a : a a  a 0  Quy ước a 1 am   4) 5) n a mn  a.b  m a m bm II.Bài toán Bài Viết tích sau dạng luỹ thừa a) 5.5.5.5.5.5 b) 2.2.2.2.3.3.3.3 c) 100.10.2.5 Lời giải a) 5.5.5.5.5.5 5 4 b) 2.2.2.2.3.3.3.3 2 c) 100.10.2.5 10.10.10.10 10 Bài 2.Tính giá trị biểu thức sau: 24   c) a) : b) 2 Lời giải 2 a) : 3 9 24   c) b) 2 16.4 64 28 256 Bài Viết tích sau dạng luỹ thừa số: a) A 8 32 b) B 27 243 Lời giải 20 26 a) A 8 32 2 2 22 b) B 27 243 3 Bài Viết kết phép tính dạng lũy thừa: a) 64 : b) 243 : d) : 343 e) 100000 :10 g) 243 : : Lời giải h) : 64 :16 3 a) 64 : 2 : 2 b) 243 : 3 : 3 c) 625 : 5 f) 11 :121 c) 625 : 5 : 5 5 d) : 343 7 : 7 e) 100000 :10 10 :10 10 g) 243 : : 3 : : 3 8 h) : 64 :16 4 : : 4 5 f) 11 :121 11 :11 11 n n Bài 5.Tìm số mũ n cho luỹ thừa thảo mãn điều kiện: 25   250 Lời giải Ta có: 9,3 27  25,3 81,3 243  250 243.3 729  250 n Vậy với số mũ n 3, 4,5 ta có 25   250 Bài : Thực phép tính: a) 5.2  18 : 3 b) 17.85  15.17  3.5 20   30    1    d) c) 17  14 e) 75  3.52  4.23   g) 150  50 :  2.3 Lời giải a) 5.2  18 : 5.4  18 : 20  f) 2.5  : 71  54 : 2 h) 5.3  32 : b) 17.85  15.17  3.5 17.85  15.17  120 17  85  15   120 14 17.100  120 1700  120 1580 20   30    1     d) 3 c) 17  14 23  17  14  20   30  42    2 8.3 24 e)  20   30  16  20  14 6 75  3.5  4.2  75   3.25  4.8  75   75  32  f) 2.5  : 71  54 : 2.25  :1  54 : 27 50   51 75  75  32 32 g) 150  50 :  2.3 150  10  2.9 150  10  18 142 Bài 7: Thực phép tính 2 h) 5.3  32 : 5.9  32 :16 45  43  a) 27.75  25.27  2.3.5 b) 12 : 400 :  500   125  25.7   c) 13.17  256 :16  14 :  2021 d) 2.32 :  182   51:17   15  52.23 :  100.2  e) Lời giải a) 27.75  25.27  2.3.5 f)  12.5  170 :17  b)  12 : 400 :  500   125  25.7    27  75  25   150 12 : 400 :  500   125  175   27.100  150 12 :  400 :  500  300  2700 12 :  400 : 200 12 : 6 c) 13.17  256 :16  14 :  2021 221  16   206 2.32 :  182   51:17  d) 6  182  3.3 6  182  197 15  52.23 :  100.2  e) 15  25.8 : 200 15  200 : 200 15  14 Bài 8: Thực phép tính f)  12.5  170 :17  1000  60  10  942 b)   33 : 32 : 22  99   100  c)  4 d) :  :  3.2  35.37  : 310  5.24  73 :  e) 62007  62006  : 62006  g) 2005  72004  : 2004  i) 75  79   54  56   33.3  92   k)    85  35 :  :  90   52.2 3 2 a)  :  12.2   32  52  :11  24  2.103   f)   52001  52000  : 52000  h) 57  75   68  86   24  42   j)  52.23  2.2 :   7.25    l)  Lời giải 3 2 a)  :  12.2 8   12.4 8   48 51 b)   85  35 :  :  90   52.2 5   85   :  90   50 5  80 :  90  50 5.100  50 450   33 : 32 : 22  99   100   c)   2    3 :  99   100 2  :  99   100 2.100  100 100 4 d) :  :  3.2 25  5.24  3.25 24     24 e)  35.37  : 310  5.24  73 : 32  52  :11  24  2.103   f)  312 : 310  5.24  9   25  3 :11  16  2.1000 32  5.24  9  5.16  49 9  80  49 40 g) i)  9  22 :11  16  2000 9.2  16  2000 2  2000 2002  62007  62006  : 62006 h)  52001  52000  : 52000 62006   1 : 62006 52000   1 : 52000 62006.5 : 62006 5 52000.4 : 52000 4  72005  72004  : 72004  57  75   68  86   24  42   57  75   68  86   16  16   57  75   68  86  j) 7 2004 (7  1) : 2004 7 2004.8 : 2004 8 0 k)  75  79   54  56   33.3  92   75  79   54  56   27  27   75  79   54  56  0 l)  52.23  2.2 :   7.25       25.8  49.2  :   7.25  200  98  : 2.6  7.32 306  224 82 Bài : Thực phép tính 142   50  23.10  23.5    a)     210 :  16   3.2     c) Lời giải:  142   50  23.10  23.5    a)   142   50  23.5   142  5.(10  8) 142  10 132   375 : 32    5.32  42   14   b)  2    500  5  409  23.3  21   1724      d)     375 : 32    5.32  42   14   b)    375 : 32     45  42    14 375 :  32    3   14 375 :  32  7  14 210 :  16    3.2        c)    210 :  16    12     210 :  16  3.18   375 : 25  14 15  14 1 2    500  5  409  23.3  21   1724      d)     500   409   8.3  21   1724     210 : 70   500   409   24  21   1724   3  0 500   5. 409  9  1724 500   5.400  1724 500  276 224 Bài 10: Thực phép tính 80  4.52  3.23  a)  2017 b) :  2  53   56  48 :  15    c) 2 d) 23.75  10  13  180  e) Lời giải: a) 80  4.52  3.23  2017 b) :  2   52  25  25  32  56 80   4.25  3.8  80   100  24  80  76 4 c) 2 d) 23.75  10  13  180 23.75  25.(10  13)  180 53   56  48 :  15    125  2. 56  48 : 8 23.75  25.23  180 23.100  180 2300  180 2480 303   655   18 :  1 43  5 :100   f) 125   56   125  2.50 25 e) 36.4   82  7.11 :  20160  36.4   82  77  :  303  3.  655  640  5  4  36  25  :  303  3.  655  640  5  11  10 303  3.10 263 Bài 11: Tính giá trị biểu thức: A 2002.20012001  2001.20022002 Lời giải: A 2002.20012001  2001.20022002 A 2002  20010000  2001  2001  20020000  2002  A 2002 2001.104  2001  2001 2002.10  2001   303   655   18 :  1 43  5 :100   f) 36.4   82  7.11 :  20160    A 2002.2001.104  2002.2001  2001.2002.10  2001.2002 A 0 Bài 12: Tính: 100 a) A 2      2 1000 c) C 3     Lời giải: 150 b) B 1       100 a) A 2      2 A 2.2  22.2  23.2  4.2   2100.2 A 22  23   25   2101 A  A  22  23   25   2101   22  23    2100     A 22  23  24  25   2101   22  23  24   2100 A 2101  101 Vậy A 2  2 150 b) B 1      5 B 1.5  5.5  52.5  53.5   5150.5 5B 5  52  53  54   5151 5B  B   52  53  54   5151    52  53   5150     B 5  52  53  54   5151    52  53   5150 B 5151  B 5151  1000 c) C 3     3C 3.3  32.3  33.3   31000.3 3C 32  33  34   31001 3C  C  32  33  34   31001   32  33   31000     2C 32  33  34   31001   32  33   31000 2C 31001  C 31001  Dạng 2.SO SÁNH CÁC LŨY THỪA I.Phương pháp giải Để so sánh hai lũy thừa ta thường biến đổi hai lũy thừa có số có số mũ (có thể sử dụng lũy thừa trung gian để so sánh) n n * Với a, b, m, n  N ta có: a  b  a  b n  N m  n  a m  a n (a  1) m n a 0 a 1 a a  m.n 0  Với A, B biểu thức ta có : An  B n  A  B  Am  An  m  n A  m  n  A  II.Bài toán Bài So sánh: 17 23 a) 333 333 10 10 b) 2007 2008 c)  2008  2007  2009  1998  1997 1999 Lời giải 17 23 a) Vì  17  23 nên 333 333 10 10 b) Vì 2007  2008 nên 2007 2008  2008  2007  2009 12009 1 c) Ta có :  1998  1997 1999 11999 1 2009 1999 2008  2007  1998  1997     Vậy Bài So sánh 300 200 e) 99 500 300 f) 11 a) b) 303 10 9999 1979 c) 3.4 d) 202 20 1320 37 10 g) 10 48.50 202 303 10 h) 1990 Lời giải a) Ta có : 100 2300  23 8100   100 3200  32 9100   100 100  2300  3200 Vì  b) Tương tự câu a) ta có : 100 3500  35 243100   100 7300  73 343100   100 100 500  7300 Vì 243  343 nên  19909 199110 15 14 14 7 c) Ta có : 2 2.2  3.2 3.4   3.4 d) Ta có : 202303  2.101 303202  3.101 3.101 2.101 101 101 101  23.1013  8.101.1022  808.101     101 101  32.1012  9.1012     2 303  303202 Vì 808.101  9.101 nên 202 e) Ta thấy : f) ta có : 992  99.101 9999  992   111979  111980  113   371320  372   660 660 10  999910  9920  999910 1331660 1369660 1979 Từ (1) (2) suy : 11 (1) (2)  371320 10 10 10 10 g) Ta có : 10 2 2.2 (*) 48.505  3.24 25.510 3.29.510    (**) 10 Từ (*) (**)  10  48.50 h) Có : 199010  19909 19909  1990  1 1991.19909 199110 1991.19919 9 10 10 Vì 1990  1991 nên 1990  1990  1991 27 63 28 Bài Chứng tỏ :   Lời giải Ta có : 263 1289 527 1259  263  527 (1) 63 Lại có: 512 528 6257  263  528 27 63 28 Từ (1) (2)    (2) Bài 4.So sánh: 50 a) 107 75 73 35 91 b) Lời giải a) Ta thấy : 10750  10850  4.27  75 7375  7275  8.9  50 2100.3150 2225.3150 (1) (2) 50 100 150 225 150 75 Từ (1) (2)  107    73 91 b)  290 3218 535  536 2518  291  3218  2518  535 291  535 Vậy Bài So sách cặp số sau: a) A 27 B 243 200 300 b) A 2 B 3 Lời giải a) Ta có   B A 275  33 315 300 23.100 8100 b) A 2   B 3200 32.100 9100 315 100 100 Vì  nên   AB Vậy A B Bài 6.So sánh số sau: a) 199 20 15 2003 39 21 b) 11 Lời giải a) 20 19920  20020  23.52 260.540   200315  200015  2.103  15 15  24.53 260.545    15 20 Vậy 2003  199 b) 20 339  340  32 920  1121   45 44 44 43 Bài So sánh hiệu: 72  72 72  72 Lời giải Bài Tìm x  N , biết: 18 x.5 x 1.5 x 2 100 1444442444443: x a) 16  128 Lời giải 18 chu so b) x x 4    27    a) Ta có: 16  128  x   0,1, 2,3, 4,5, 6 x x 1 x  5  24 x  228  x  28  x  18 100 1444442444443: 18 chu so b) Ta có:  53 x 3 1018 : 218  53 x 3 518  x  18  x 5  x   0,1, 2,3, 4,5 x Bài 5: Tìm số tự nhiên x, y cho 10  y  143 Lời giải x x Ta có: 10  y  143  10  143  y Nếu x 0  y 12 thỏa mãn x x Nếu x   10 có chữ số tận Khi đó, 10 có chữ số tận Mà y số phương nên khơng thể có tận Do khơng tồn x, y thỏa mãn Vậy x 0; y 12 a) Số có chữ số? Bài 6: 2003 2003 b) Hai số viết liền số có chữ số? Lời giải a) Ta có: 58 (5 ) 6252  6002 360000 108 100000000 100000000 58    400000 256 250 28  360000  58  400000 Do 58 có chữ số 2003 2003 b) Giả sử có a chữ số có b chữ số viết số liền ta (a  b) chữ số Vì 10 a  22003  10 a 10b   52003  10b  10a  1.10b   22003.52003  10a.10b  10a b   102003  10a b Do đó: 2003 a  b   a  b 2004 Vậy số có 2004 chữ số Bài 7:Tìm số chữ số số n m trường hợp sau: a) n 8 15 16 25 b) m 4 Lời giải a) Ta có: n 83 155  23  3.5 29 35 55   24 35  2.5  16.243 105 3888 105 Số 3888.10 gồm 3888 theo sau chữ số nên số có chữ số Vậy số n có chữ số b) Ta có: 16 m 416 525  22 525   232.525 27  225.525  128.1025 25 gồm 128 theo sau 25 chữ số nên số có tất 28 chữ số Vậy số m có 28 chữ số Số 128.10 Dạng 4: Sử dụng lũy thừa chứng minh chia hết Bài 1: Chứng minh rằng: a A 1   32   311 chia hết cho 15 b B 16  chia hết cho 33 c C 5     chia hết cho 30 d D 45  99  180 chia hết cho 119 e E 1      chia hết cho 13 f F 1028  chia hết cho 72 20 g G 8  chia hết cho 17 60 h H 2     chia hết cho 3, 7,15 i I 1   32  33   31991 chia cho 13 41 j J 10n  18n  chia hết cho 27 n k K 10  72n  chia hết cho 81 Lời giải 11 a A 1     chia hết cho A   3  32   3   310    A 4  32.4   310.4 A 4  32   310 M4  đpcm    15 b B 16  chia hết cho 33 B  24  215   B 220  215 B 215  25   B 215.33 M33  đpcm  c C 5     chia hết cho 30 C   52  52  52   56  52       C 30  52.30   56.30 C 30  52   56 M30  đpcm    d D 45  99  180 chia hết cho Ta có: 45M9;99M9;180M9 nên D 45  99  180M9 (đpcm) (tính chất chia hết tổng) 119 e E 1      chia hết cho 13 E    32  33   32   3117   32      E 13  33.13   3117.13 E 13  33   3117 M 13  đpcm   f  F 1028  chia hết cho 72 Ta thấy: 72 8.9 Ta có: 1028  8M9 tổng chữ số 1028  8M có tận 008 Mà  8;9  1 nên 1028  8M8.9 72 20 g G 8  chia hết cho 17 (đpcm)  G  23  220   G 224  220 G 220 24    G 220.17 M 17  đpcm  60 h H 2     chia hết cho 3, 7,15 Ta có: H 2     23      259.(1  2) H 2.3  23.3   259.3 H 3  23   259 M   Ta có: H 2   22    22   28   2       H 2.7  24.7   258.7 H 7  24   258 M7   Ta có: H 2   22  23  25   2  23   257   2  23      H 2.15  25.15   257.15 H 15  25   257 M 15   Vậy H chia hết cho 3; 7;15 i I 1   32  33   31991 chia cho 13 41 Ta có: I    32  33   32   31989   32     I 13  33.13   31989.13 I 13  33   31989 M 13  đpcm   Ta có:    