Vận dụng cao thầy hứa lâm phong c4 hoanchinh xn 2811 c4 hoanchinh lythuyet da sua

CHƯƠNG IV NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ NHỮNG BÀI TỐN THỰC TẾ Các em học sinh thân mến, có em nghe câu chuyện toán cân voi trạng nguyên Lương Thế Vinh ? Vào đời vua Lê Thánh Tông, quan sứ Trung Quốc Chu Hy sang Việt Nam ta với thái độ hống hách coi thường đất nước Việt Nam ta Chu Hy thách đố nước ta để cân khối lượng voi Vào thời ấy, khơng thể có loại cân đủ lớn để cân khối lượng voi lên hàng Dĩ nhiên ta xẻ thịt voi để cân Vậy Trạng nguyên Lương Thế Vinh cân voi cách nào? Chuyện kể Trạng nguyên Lương Thế Vinh sai quân lính dẫn voi lên thuyền, voi nặng nên thuyền đắm sâu xuống, Lương Thế Vinh cho quân lính đánh dấu mực nước thành thuyền, dắt voi lên bờ Sau đó, ơng sai quân lính vác đá bỏ lên thuyền thuyền đắm sâu tới mức đánh dấu lúc dừng lại Cuối cùng, ơng bảo qn lính cân hết số đá thuyền khối lượng voi Khi ấy, Chu Hy bực tức lòng thán phục Cách cân voi trạng nguyên Lương Thế Vinh mang “hơi hướng” phép tính tích phân đại ngày Để tính khối lượng voi, Lương Thế Vinh chia thành nhiều phần nhỏ (là viên đá) tính tổng khối lượng viên đá Trong thực tế ngày ta gặp nhiều vấn đề tương tự tốn cân voi Ví dụ để tính diện tích mảnh vườn hình chữ nhật, hay hình vng, hay hình trịn chuyện dễ dàng Tuy nhiên, khó khăn nhiều tính diện tích mảnh vườn có hình dạng phức tạp, cách chia nhỏ hình phức tạp thành nhiều hình đơn giản quen thuộc, sau tính tổng diện tích hình đơn giản cho kết hình phức tạp ban đầu Qua ta thấy phép tính tích phân đại giúp cho giải tốn cách đơn giản Khơng dừng lại đó, phép tính tích phân phát huy ưu qua nhiều ứng dụng thực tế: o Tính thể tích vật thể có hình dạng phức tạp (khơng phải hình hộp có sẵn cơng thức tính) o Tính quãng đường chuyển động vật (xe, máy bay, ) biết vận tốc suốt quãng đường o Dự đoán phát triển bào thai o Dự đoán chi phí sản xuất doanh thu doanh nghiệp o Và nhiều ứng dụng khác Trang 1/31 Tuy nhiên, chương trình sách giáo khoa lớp 12 thiên tính tốn khơ khan, học sinh biết tính tốn cách máy móc mà khơng thấy ứng dụng thực tế Với xu đổi cách đánh giá lực học sinh tốn ứng dụng thực tế tích phân chủ đề nóng cần thiết cho học sinh chuẩn bị cho kì thi THPT Quốc gia Trong chương này, làm quen với toán thực tế áp dụng phép tính tích phân theo định hướng đề Bộ giáo dục đào tạo Nội dung chương bao gồm:     Phần Phần Phần Phần A: Tóm tắt lý thuyết kiến thức liên quan B: Các toán ứng dụng thực tế C: Các toán trắc nghiệm khách quan D: Đáp án hướng dẫn giải câu hỏi trắc nghiệm Trang 2/31 PHẦN A: TÓM TẮT LÝ THUYẾT I Nguyên hàm Khái niệm nguyên hàm  Cho hàm số f  x  xác định K Hàm số F  x  gọi nguyên hàm f  x  K F  x   f  x  , x  K  Nếu F  x  nguyên hàm f  x  K họ tất nguyên hàm f  x  K f  x  dx F  x   C , C  ¡  Mọi hàm số f  x  liên tục K có nguyên hàm K Tính chất Cho số C , k  ¡ f  x  dx  f  x   C  f  x  g  x   dx f  x  dx g  x  dx k f  x  dx k.f  x  dx ,  k 0  Nguyên hàm số hàm thường gặp  Cho a , b , c , ,   ¡ số  1  0dx c   ax  b    ax  b  dx  a    c    1, a 0   dx x  c   dx 1 ln| ax  b| c ,  a 0  x 1   x dx   c ( co nst ,  1) ax  b a   1 dx x2  x  c dx  x 2 x  c cos xdx sin x  c  sin xdx  cos x  c       cos2 x dx tan x  c sin x dx  cot x  c ax x a dx   c   a 1  ln a x x e dx e  c  cos  ax  b  dx  a sin  ax  b   c ,  a 0   sin  ax  b  dx  a cos  ax  b   c ,  a 0   1 cos  ax  b  dx  a tan  ax  b   c ,  a 0   1 sin  ax  b  dx  a cot  ax  b   c ,  a 0    2 a x    x a dx  ,   a 1, 0    ln a ax b ax  b e dx  a e  c ,  a 0   x dx ln| x| c  x ln a dx log a | x| c   a 1 Trang 3/31 II Tích phân Khái niệm tích phân  Cho hàm số f  x  liên tục K a , b  K Nếu F  x  nguyên hàm f  x  K giá trị F(b) – F(a) gọi tích phân hàm f  x  từ a đến b, kí hiệu b f  x  dx F  b   F  a  a  Đối với biến số, ta chọn chữ khác thay cho x , tức b b b f  x  dx f  t  dt f  u  du  a a a Tính chất tích phân Cho hàm số f  x  liên tục  a; b  k  ¡ , c   a; b  b a f  x  dx  f  x  dx a b b c b f  x  dx f  x  dx  f  x  dx a b a c b k f  x  dx k.f  x  dx a b a b b  f  x  g  x   dx f  x  dx g  x  dx a a a III Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng Diện tích hình phẳng (H) giới hạn đường cong (C) trục hoành  y  f ( x)  C    H  :  y 0  x a , x b ( a  b)  Diện tích tính theo cơng thức b S  f ( x) dx a Diện tích hình phẳng (H) giới hạn đường cong  y  f ( x )  C1   y g x C  H  :       x a  x b  a  b   Diện tích tính theo cơng thức b S  f ( x)  g  x  dx a Trang 4/31 IV Ứng dụng tích phân tính thể tích khối trịn xoay y Cho hàm y  f  x  liên tục đoạn  a; b  Gọi (H) hình thang cong giới hạn đường sau:  C  : y  f  x   y 0  H  : x a   x b  a  b   (C):y=f(x) (H) x a O b Thể tích khối trịn xoay sinh hình (H) xoay quanh trục Ox b V  f  x  dx a Cho hàm số y  f  x  y g  x  liên tục đoạn  a; b  thỏa điều kiện f  x  g  x  0, x   a; b  Gọi (H) hình phẳng giới hạn đường sau: y  C  : y  f  x    C  : y g  x   H  :   x a  x b  a  b   y=f(x) y=g(x) x Thể tích khối trịn xoay sinh hình phẳng (H) quay quanh trục Ox: O a b b V   f  x   g  x   dx a PHẦN B: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TẾ Với đại lượng f  x  biến thiên theo biến số x tốc độ thay đổi (vận tốc) f  x  theo biến x đạo hàm f  x  (với giả sử f  x  tồn tại) Ngược lại, biết tốc độ thay đổi f  x  đại lượng f  x  suy mơ hình hàm số biểu thị cho đường đại lượng cách lấy nguyên hàm f  x  Nghĩa f  x  f  x  dx Kết hợp thêm điều kiện ban đầu thích hợp để tìm f  x  cách xác Khi biết tốc độ thay đổi f  x  đại lượng f  x  Sự chênh lệch giá trị đại lượng f  x  khoảng giá trị biến x từ a đến b xác định công thức: Trang 5/31 b fb f  a   x dx  f  a Đây mấu chốt quan trọng để giải toán thực tiễn biết tốc độ tăng trưởng đại lượng, ta tìm hàm số biểu thị số lượng đại lượng qua thời kì Trong thực tế, nhiều toán liên quan tới nội dung kể đến như: chuyển động vật, gia tăng dân số, phát triển vi khuẩn, toán sản xuất kinh doanh… DẠNG 1: BÀI TOÁN VỀ CHUYỂN ĐỘNG  Giả sử vật M chuyển động quãng đường có độ dài s khoảng thời gian t Khi đó, vật M chuyển động với vận tốc trung bình v s t  Tuy nhiên, gặp nhiều trường hợp vật chuyển động không đều, vận tốc thay đổi liên tục tùy theo vị trí thời gian Ví dụ xe chạy đường gặp nhiều chướng ngại vật giảm tốc, chạy đường thơng thống tăng tốc Vì ta cần phương pháp tính vận tốc xe thời điểm  Giả sử v(t) vận tốc vật M thời điểm t, s(t) quãng đường vật sau khoảng thời gian t tính từ lúc bắt đầu chuyển động Ta có mối liên hệ s(t) v(t) o Đạo hàm quãng đường vận tốc s t  v  t  o Nguyên hàm vận tốc quãng đường s  t  v  t  dt  Từ ta có quãng đường vật khoảng thời gian t   a; b  là: b v  t  dt s  b   s  a  a  Nếu gọi a(t) gia tốc vật M ta có mối liên hệ v(t) a(t) o Đạo hàm vận tốc gia tốc v t  a  t  o Nguyên hàm gia tốc vận tốc v  t  a  t  dt Bài tốn 1: (Trích đề minh họa 2017 Bộ GD - ĐT) Một ô tô chạy với vận tốc 10m/s tài xế đạp phanh; từ thời điểm đó, tơ chuyển động chậm dần với vận tốc v  tt   10  m/s  , t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, tơ cịn di chuyển mét ? Trang 6/31 A 0, 2m B 2m  Phân tích tốn  C 10m D 20m Ta có nguyên hàm vận tốc v  tt   10 quãng đường s  t  mà ô tô sau thời gian t giây kể từ lúc tài xế đạp phanh  Vào thời điểm ô tô bắt đầu đạp phanh ứng với t 0  Vào thời điểm tơ dừng lại v  tt 0   5t  10 0  2  Từ ta tính quãng đường xe từ lúc t 0 đến t 2 theo công thức v  t  dt Hướng dẫn giải  Lúc bắt đầu đạp phanh, tức thời điểm t0 , ô tô có vận tốc v0 10  m / s  Suy v  tt0   5t0  10 10  0  Khi ô tô dừng lại thời điểm t1 vận tốc v1 0  m / s  Suy v  tt1   5t1  10 0  2  Ta có mối liên hệ đại lượng biến thiên quãng đường S  t  vận tốc v  t  là: Nguyên hàm vận tốc v  t  quãng đường S  t  Suy quãng đường từ lúc đạp phanh đến dừng lại tích phân hàm v  t  thời gian t từ 0s đến 2s 2 v  t  dtt  5dtt 10  0  t2    m  10  10  0  Vậy chọn đáp án C  Bình luận: Qua toán ta cần lưu ý: Một là, nguyên hàm vận tốc quãng đường vật chuyển động Hai là, biết s(t) nguyên hàm v(t) quãng đường vật khoảng thời gian t   a; b  tính theo cơng thức b v  t  dt s  b   s  a  a Trang 7/31 Ba là, tốn giải theo phong cách Vật lí Từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, tơ cịn di chuyển quãng đường S vo t  at a   t 2  S 10.2     10m v 10  o Bài toán 2: Một xe mô tô phân khối lớn sau chờ hết đèn đỏ bắt đầu phóng nhanh với vận tốc tăng liên tục biểu thị đồ thị đường cong Parabol có hình bên Biết sau 15s xe đạt đến vận tốc cao 60m/s bắt đầu giảm tốc Hỏi từ lúc bắt đầu đến lúc đạt vận tốc cao xe quãng đường mét ? v(m) 60 t(s) O 15  Phân tích tốn  Lúc ban đầu mơ tơ phóng nhanh với vận tốc thay đổi liên tục biểu đồ thị (P) hình vẽ, đề chưa cho biểu thức vận tốc v  t  , ta cần tìm biểu thức vận tốc chuyển động  Vì đồ thị vận tốc có dạng đường Parabol hình vẽ nên biểu thức vận tốc có dạng v  t  at  bt  c , đường cong Parabol có đỉnh I  15; 60  , đồng thời qua gốc tọa độ O(0;0)  Lúc bắt đầu tăng tốc xem t 0 , theo đồ thị xe đạt vận tốc cao vào thời điểm t 15  Nhắc lại nguyên hàm vận tốc v  t  quãng đường Vậy quãng đường xe kể từ lúc tăng tốc ( t 0 s) đến lúc đạt vận tốc cao ( t 15 s) tính theo công thức 15 v  t  dt Hướng dẫn giải Trang 8/31  Hàm vận tốc v  t  at  bt  c có dạng đường Parabol có đỉnh I  15; 60  , đồng thời qua gốc tọa độ O(0;0), suy a.0  b.0  c 0   b 15    2a a.152  b.15  c 60 c 0   30a  b 0  a.152  b.15  60  c 0    a  15  b 8 t 8 15 Theo đồ thị xe bắt đầu tăng tốc lúc t 0 đạt vận tốc cao lúc t 15 s nên quãng đường xe từ lúc bắt đầu  v  tt   tăng tốc đến lúc đạt vận tốc cao 15 15   v  t  dtt   t  dtt8   15  0   t  45 15   m 600 0  Vậy từ lúc bắt đầu tăng tốc đến lúc đạt vận tốc cao xe quãng đường dài 600m  Bình luận: Qua toán ta cần lưu ý: b Thơng thường để tính tích phân f  x  dx đề ln cho sẵn a biểu thức f  x  Tuy nhiên, ví dụ này, đề cho đồ thị hàm f  x  học sinh phải thiết lập biểu thức f  x  Đây kĩ cần thiết trình học phổ thơng, học sinh thường làm tốn chiều Tức là, từ hàm số f  x  vẽ thành đồ thị, (thậm chí khơng có) học sinh gặp tốn từ đồ thị suy biểu thức hàm f  x  Bài toán 3: Một máy bay chuyển động thẳng mặt đất với vận tốc v 3  m/s  bắt đầu tăng tốc với độ biến thiên vận tốc hàm số a  t  có đồ thị hàm số đường thẳng hình bên Sau 15s tăng tốc máy bay đạt đến vận tốc đủ lớn để phóng khỏi mặt đất Hãy tính vận tốc máy bay bắt đầu rời khỏi mặt đất a 90 t(s) O 15 Trang 9/31  Phân tích tốn  Máy bay bắt đầu tăng tốc với độ biến thiên vận tốc hàm số a  t  , đề chưa cho công thức a  t  , nên bước đầu ta cần tìm cơng thức a  t   Vì đồ thị hàm số a  t  đường thẳng nên có dạng a  t  mt  n , đường thẳng qua gốc tọa độ O(0;0) điểm A(16;90) từ suy phương trình a  t   Nhớ rằng: Nguyên hàm gia tốc a  t  vận tốc v  t  vật chuyển động nên ta có  v  t  a  t  dt  Chú ý điều kiện vận tốc máy bay lúc bắt đầu tăng tốc v   3  m/s  , từ ta suy hàm số v  t   Để tính vận tốc máy bay lúc rời khỏi mặt đất ta cần tính v  15  Hướng dẫn giải  Đường thẳng a  t  mt  n qua gốc tọa độ O(0;0) điểm A(16;90) nên suy m.0  n 0   m.15  n 90  n 0  a  tt 6  m 6 Ta hiểu rằng: Nguyên hàm gia tốc a  t  vận tốc vật chuyển động Do ta có cơng thức vận tốc v(t) tính theo cơng thức v  t  a  t  dtt6dtt 3C   Tại thời điểm bắt đầu tăng tốc xem t 0 vận tốc lúc v 3  m/s  Trang 10/31