Thông tin tài liệu
CHUYÊN ĐỀ 15: TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Điểm vecto Ba vecto đơn vị i, j, k trục Ox, Oy, Oz: i (1;0;0) , j (0;1;0) , k (0;0;1) Hai điểm A(x1, y1, z1 ) B(x , y , z ) thì: AB (x x1; y y1; z z1 ) AB (x x1 ) (y y1 ) (z z1 ) Điểm M chia đoạn thẳng Ab theo tỉ số k 1 : x1 kx x k y ky MA kMB y 1 k z1 kz z 1 k Hai vecto: u (x, y, z) v (x ', y ', z ') thì: u v (x x '; y y '; z z '); ku (kx; ky; kz) u.v xx ' yy ' zz '; u x y z u; v y z ; z x x y y ' z ' z ' z ' x ' y ' x.x ' y.y ' z.z ' cos u, v x y z x '2 y '2 z '2 - vecto a, b, c đồng phẳng: a, b c 0 vecto a, b, c không đồng phẳng: a, b c 0 Diện tích thể tích Diện tích tam giác ABC: S AB, AC Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Thể tích tứ diện ABCD: V AB, AC AD Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’: V AB, AD AA ' Thể tích hình lăng trụ ABC,A’B’C’: V AB, AD AA ' Góc mặt phẳng: mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến n ' cos((P),(Q)) = cos(n, n ') Góc đường thẳng: d có VTCP u d’ có VTCP v cos(d, d ') cos(u, v) Góc đường thẳng mặt phẳng: d có VTCP u (P) có VTPT n sin(d, (P)) cos(u, n) Khoảng cách từ M (x , y0 , z ) đến mặt phẳng: (Oxy) z ; (Oyz) x ; (Ozx) y0 (P) : Ax By Cz D 0 là: d(M , P) Ax By0 Cz0 D A B2 C Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Cho M (x , y0 , z0 ) đường thẳng d qua A có AM , u VTCP u AB d(M , d) u Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: d1 qua M1 có VTCP u1; d qua M có VTCP Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải u1 , u M1 M d(d1, d ) u1 , u Phương trình tổng quát mặt phẳng: Mặt phẳng qua M (x , y0 ) vecto pháp tuyến n (A, B, C) Ax+By+Cz+D=0, A B2 C 0 hay A(x x ) B(y y0 ) C(z z ) 0 Phương trình đường thẳng: qua M (x , y0 , z0 ) có vecto phương u (a, b, c), a b c 0 x x at Phương trình tham số: d : y y0 bt, t R z z ct Phương trình tắc a, b, c 0 : x x y y0 z z a b c Phương trình mặt cầu: Mặt cầu (S) tâm I(a,b,c) bán kính R: (x a) (y b) (z c) R hay: x y z 2Ax 2By 2Cz D 0, A B2 C D Có tâm I( A, B, C) bán kính R A B2 C2 D Vị trí tương đối mặt phẳng: (P): Ax By Cz D 0 (Q): A'x B ' y C ' z D ' 0 - Cắt nhau: A : B : C A ' : B' : C ' - Trùng nhau: A B C D A B C D ; Song song: A' B' C' D' A ' B' C ' D ' Vị trí tương đối đường thẳng: Đi qua A(x A , y A , z A ) có vecto phương u(a, b, c) Đi qua B(x B , y B , z B ) có vecto phương v(a ', b ', c ') -Chéo nhau: u, v AB 0 Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải -Cắt nhau: u, v AB 0 a : b : c a ' : b ' : c ' -Trùng nhau: a : b : c a ' : b ' : c ' (x B x A ) : (y B y A ) : (z B z A ) -Song song: a : b : c a ' : b ' : c ' (x B x A ) : (y B y A ) : (z B z A ) *Hai điểm M1 (x1 , y1, z1 ) M (x , y , z ) nằm hai phía mặt phẳng (P): Ax By Cz D 0 khi: (Ax1 By1 Cz1 D).(Ax By Cz1 D) Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng: Đường thẳng d qua A có vecto phương u mặt phẳng (P) qua M có vecto pháp tuyến n - Cắt nhau: u.n 0 Song song: u.n 0 A (P) - Đường thẳng thuộc mặt phẳng u.n 0 A (P) Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng: Cho mặt cầu S(I;R) Gọi IH = d khoảng cách từ tâm I đến (P) thù: a)Nếu dR: mp(P) khơng có điểm chung với mặ cầu Ứng dụng giải tốn khơng gian: Đưa tọa độ Oxyz vào tốn hình học khơng gian túy, cách chọn hệ trục thuận lợn để giải toán CÁC BÀI TỐN Bài tốn 15.1: Cho hình bình hành ABCD với A( 3; 2;0) , B(3; 3;1) , C(5; 0; 2) Tìm tọa độ đỉnh D tính góc hai vecto AC BD Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Hướng dẫn giải Ta có BA ( 6;1; 1), BC (2;3;1) Vì tọa độ hai vecto khơng tỉ lệ nên ba điểm A,B,C không thẳng hàng Gọi D(x, y, z) Tứ giác ABCD hình bình hành x 2 x AD BC y 3 y 1 Vậy D( 1;1;1) z 1 z 1 Ta có AC (8; 2; 2), BD ( 4; 4;0) , đó: 32 cos(AC, BD) Vậy (AC, BD) 120o 72 32 Bài tốn 15.2: Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(1; 2; 1), B(2; 1;3), C( 4, 7, 5) a) Tính diện tích độ dài đường cao h A b) Tính độ dài đường phân giác BD Hướng dẫn giải a) Ta có AB (1; 3; 4), AC ( 5;5;6), BC ( 6;8; 2) AB, AC ( 38; 26; 10) 2 Vậy SABC AB, AC 38 26 10 554 2 hA 2SABC 554 277 BC 104 13 b) Gọi D(x; y; z) Ta có DA BA 26 DC BC 104 1 Vì D nằm A, C nên DA DC 2 74 11 Từ tìm D ; ;1 DB 3 Bài tốn 15.3: Tính diện tích tứ giá ABCD có tọa độ A(2;5;-4), B(1;6;3), C(-4;-1;12), D(-2;-3;-2) Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Hướng dẫn giải AB ( 1;1;7), AC ( 6; 6;16) , hai vecto không phương tọa độ khơng tỉ lệ suy A, B, C khơng thẳng hàng có: DC ( 2; 2;14) 2AB AB CD Vậy ABCD hình thang nên SABCD SABC SADC 1 AB, AC AD, AC 3 1046 2 Bài toán 15.4: Cho tứ diện ABCD có: A(-1;2;0), B(0;0;1), C(0;3;0), D(2;1;0) a) Tính diện tích tam giác ABC thể tích tứ diện ABCD b) Tìm hình chiếu D lên mặt phẳng (ABC) Hướng dẫn giải a) Ta có AB (1; 1;1), AC (1;1;0), AD (3; 1;0) 1 Nên AB, AC ( 1;1; 2) SABC AB, AC 2 1 Và AB, AC AD VABCD AB, AC AD b) Gọi H(x;y;z) hình chiếu D mặt phẳng (ABC) thì: AH (x 1; y 2; z), DH (x 2; y 1; z) Ta có: DH.AB 0 DH.AC 0 AB, AC AH 0 18 x 11 x 2y z 0 15 y x y 3 11 x y 3z 12 z 11 18 15 12 Vậy H ; ; 11 11 11 Bài tốn 15.5: Tìm khoảng cách hai đường thẳng sau: x 1 t a) d : y t z 1 x 2 3t d ' : y 3t z 3 Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải b) d : x y z 1 1 2 d': x y z 1 3 Hướng dẫn giải a) d qua điểm M1 (1; 1;1) , có vecto phương u1 (1; 1;0) d’ qua điểm M (2; 2;3) có vecto phương u ( 1;1;0) Vì u1 u phương u1 , u không phương với M1M (1; 1; 2) nên hai đường thẳng song song M1M , u 2 Vậy d(d;d ') d(M1, d ') u2 b) d qua M(0;4;-1) có VTCP u ( 1;1; 2) d’ qua M’(0;2;0) có VTCP u ' ( 1;3;3) Ta có u, u ' (9;5; 2), MM ' (0; 2;1) nên u, u ' 0 nên chéo u, u ' MM ' 10 21 12 Do d(d, d ') 81 25 110 u, u ' Bài tốn 15.6: Tìm điểm M mặt phẳng (Oxz) cách ba đểm A(1;1;1), B(-1;1;-0), C(3;1;-1) Hướng dẫn giải M thuộc (Oxz) M x;0; z Ta có: MA MB MC AM BM (x 1) (z 1) (x 1) 1 z 2 2 2 (x 1) (z 1) (x 3) (z 1) AM CM x 4x 2z 1 4x 4z 8 z 7 5 Vậy M ;0; 6 6 Bài toán 15.7: Cho hai điểm A(2;0;-1), B(0;-2;3) Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải a) Tìm tọa độ điểm C Oy để tam giác ABC có diện tích 11 thỏa mãn OC b) Tìm điểm D (Oxz) để ABCD hình thang có cạnh đáy AB Hướng dẫn giải a) Gọi C(0; y;0) AB ( 2; 2; 4), AC ( 2; y;1) Ta có: SABC 11 AB, AC 11 (2 4y) 36 (2y 4) 11 2 20y 32y 12 0 y y (loại) Vậy C(0;-1;0) b) Gọi D(x;0; z) (Oxz) DC ( z; 1; z) ABCD hình thang AB, DC hướng x 1 z x 1, z Vậy D(1;0; 2) 2 2 Bài tốn 15.8: Tìm tọa độ điểm H hình chếu a) A( 2;1;0) đường thẳng BC với B(0;3; 1), C( 1;0; 2) b) D(1;1;1) lên mặt phẳng (ABC) với A(4;1; 4), B(3;3;1), C(1;5;5) a) H(x; y; z) thuộc BC nên BH tBC Hướng dẫn giải Do x t, y 3t, z 3t x t, y 3 3t, z 3t Ta có AH BC nên AH.BC 0 11 ( t 2)( 1) ( 3t 2)( 3) (z 1)3 0 t 11 24 14 Vậy hình chiếu H ; ; 9 9 Cách khác: lập mp(P) qua A vng góc với BC tìm giao điểm H b) Ta có AB ( 1; 2;3), AC ( 3; 4;1) nên mp (ABC) có VTCP: Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải n AB, AC (14;10; 2) hay (7;5;1) (P) : 7(x 4) 5(y 1) 1(z 4) 0 hay 7x 5y z 37 0 Đường thẳng d qua A, vng góc với (ABC) có phương trình tham số: x 1 y 1 5t Thế x,y,z vào (P) t 25 z 1 t 81 13 33 Vậy hình chiếu có tọa độ H ; ; 25 25 Bài tốn 15.9: a) Tìm tọa độ đỉnh D thuộc trục Oy tứ diện ABCD có A(2;1;-1), B(3;0;1), C(2;-1;3) VABCD 5 b) Tìm tọa độ trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với A(0;4;1), B(1:0:1), C(3;1;-2) Hướng dẫn giải a) Gọi D(0;y;0) thuộc trục Oy Ta có: AB (1; 1; 2), AD ( 2; y 1;1), AC (0; 2; 4) AB, AC (0; 4; 2) AB, AC AD 4y Theo giả thiết VABCD 5 AB, AC AD 5 4y 30 y 7; y 8 Vậy có điểm D trục Oy: (0;-7;0) (0;8;0) b) Ta có AC (3; 3; 3), BC (2;1; 3) nên lập phương trình mặt phẳng (ABC): 3xx+y+2z-6=0 Gọi H(x; y; z) trực tâm tam giác ABC AH (x; y 4;z 1), BH (x 1; y; z 1) , ta có: Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải AH.BC 0 BH.AC 0 H (ABC) 25 x 19 2x y 3z 0 11 H : y x y z 0 19 3x y 2z 0 14 z 19 IA IB Gọi I(x;y;z) đường tròn ngoại tiếp: IA IC I (ABC) 29 37 Từ giải tâm I ; ; 13 13 26 Bài toán 15.10: Cho hai điểm A(0;0;-3), B(2;0;-1) mặt phẳng (P): 3x 8y 7z 0 a) Tìm giao điểm I đường thẳng AB với mặt phẳng (P) b) Tìm điểm C nằm mp (P) cho ABC tam giác Hướng dẫn giải a) Gọi I x; y; z AB (2;0;2), AI (x; y; z 13) Vì AI AB phương nên có số k cho AI kAB hay x 2k y 0 z 2k y 0 x z 0 Mặt khác I (P) 3x 8y 7z 0 Vậy ta có hệ: 11 x y 0 x z y 3x 8y 7z 0 z 4 11 I ;0; 5 Ta có AB 2 , gọi điểm C(x; y; z) CA 2 x y (z 3) 8 Ta có CB 2 x z 0 C (P) 3x 8y 7z 0 Trang 10 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải a) Hình chóp S.OMAN có chiều cao SO=1 không đổi, tứ giác đáy nằm mặt phẳng Oxy có diện tích: 1 1 S SAOM A AON OM.AH ON.AK (m n) : không đổi 2 2 b) Phương trình mặt phẳng (SMN) x y z 1 nx my mnz mn 0 m n d(A, (SMN)) n.1 m.1 mn 2 n m m n 1: không đổi Vậy (SMN) tiếp xúc với mặt cầu tâm A, bán knhs R=1 Bài toán 15.25: Trong khơng gian Oxyz, cho hình hộp S.ABCD có đáyABCD hình thoi, AC cắt BD gốc O Biết A(2;0; 0), B(0;1;0),S(0;0; 2) Gọi M trung điểm cạnh SC a) Tính góc khoảng cách hai đường thẳng SA, BM b) Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD điểm N Tính thể tích khối chóp S.ABMN Hướng dẫn giải a) C( 2; 0;0), D(0; 1;0), M( 1;0; 2) SA (2;0; 2), BM ( 1; 1; 2) cos(SA, BM) cos(SA, BM) (SA, BM) 30 o Ta có: SA.BM ( 2;0; 2), AB ( 2;1;0) SA, BM AB Nên d SA, BM SA, BM b) MN AB, CD nên N trung điểm SO, N(0; ; 2) SM ( 1;0; 2),SB (0;1; 2),SN (0; ; 2) Và SA,SM (0; 2;0) Trang 19 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Ta có: 1 2 VS.ABM SA,SM SB , VS.AMN SA,SM SN 6 Vậy: VS.ABMN VS.ABM VS.AMN Bài toán 15.26: Gọi G trọng tâm tứ diện ABCD Chứng minh đường thẳng qua G đỉnh tứ diện qua trọng tâm mặt đối diện với đỉnh Gọi A’ trọng tâm tam giác BCD Chứng minnh GA 3 GA ' Hướng dẫn giải Ta giải phương pháp tọa độ Trong không gian tọa độ Oxyz, giả sử A(x1; y1; z1), B(x ; y ; z ), C(x 3; y3;z ), D(x ; y ; z ) trọng tâm A’ tam giác BCD, trọng tâm tứ diện G: x x x y y3 y z z3 z A ' ; ; 3 x x x x y1 y y3 y z1 z z3 z G ; ; 4 Do đó: 3x x x x 3y1 y y3 y 3z1 z z3 z GA ; ; 4 3x1 x x x 3y1 y y3 y 3z1 z z3 z GA ; ; 12 12 12 GA 3 Suy ra: GA 3GA ' G, A, A ' thẳng hàng GA ' Tương tự có đpcm Bài toán 15.27: Cho tứ diện nội tiếp mặt cầu tâm O có AB=AC=AD Gọi G trọng tâm ACD, E, F trung điểm BG, AE Chứng minh OF BG OD AC Hướng dẫn giải Trang 20 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải
Ngày đăng: 25/10/2023, 21:25
Xem thêm:
