Dạng toán 44 nguyên hàm từng phần

GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA DẠNG TOÁN 44: NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Nguyên hàm phần tích phân phần 1) Công thức nguyên hàm phần u.dv u.v  v.du Khi ta có hay 2) Cơng thức tích phân phần b u.dv   u.v  Khi ta có a b a u  f ( x)   dv  g ( x)dx f ( x) g ( x)dx f ( x)G ( x)  G ( x) f ( x)dx u  f ( x)   dv g ( x)dx b  v.du a du  f ( x)dx  v g ( x )dx G ( x ) (C 0) du  f ( x)dx  v g ( x )dx G ( x ) (C 0) b hay f ( x) g ( x)dx  f ( x)G ( x) a b a b  G ( x ) f ( x )dx a 3) Công thức đạo hàm hàm số sơ cấp hàm hợp   x    x   u   nu  n   1 n u uv   u v  uv  sin u   ucos u  cos u    u sin u   e   e   e   e u x u  x u  ln x    Hàm số x F  x nguyên hàm hàm số f  x F  x   f  x  u  x  v x  dx u  x  v  x   v  x  u  x  dx  x 1  x d x  C   1  , với    dx ln x  C  x Trang1 GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA e x dx e x  C  sin xdx  cos x  C  cos xdx sin x  C  BÀI TẬP MẪU x Cho hàm số f ( x ) liên tục ¡ Biết cos 2x nguyên hàm hàm số f ( x).e , họ tất x nguyên hàm hàm số f ( x ).e A  sin x  cos x  C B  2sin x  cos x  C C  2sin x  cos x  C D 2sin x  cos x  C Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng toán sử dụng phương pháp nguyên hàm phần HƯỚNG GIẢI: x x B1: Dựa giả cos 2x nguyên hàm hàm số f ( x).e ta tìm hàm số f ( x).e B2: Áp dụng công thức nguyên hàm phân ta tính I f ( x).e x dx cách đặt u e x du e x dx    dv  f ( x)dx v  f ( x) Từ đó, ta giải toán cụ thể sau: Lời giải Chọn C x f ( x).e x  cos x    2sin x Ta có cos 2x nguyên hàm hàm số f ( x).e suy Xét I f ( x).e x dx u e x du e x dx    dv  f ( x)dx v  f ( x) Đặt  Khi ta có I f ( x).e x dx  f ( x).e x  x f ( x).e dx  2sin x  cos x  C Bài tập tương tự phát triển: Trang2 GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA x Câu 44.1: Cho hàm số f ( x ) liên tục ¡ Biết sin 3x nguyên hàm hàm số f ( x).e , họ tất x nguyên hàm hàm số f ( x).e A 3cos x  sin x  C B  3cos x  cos x  C C 3sin x  cos x  C D 3cos x  cos x  C Lời giải Chọn A x f ( x).e x  sin 3x   3cos 3x Ta có sin 3x nguyên hàm hàm số f ( x ).e suy Xét I f ( x).e x dx u e x   dv  f ( x)dx  Đặt Khi ta có du e x dx  v  f ( x ) I f ( x).e x dx  f ( x).e x  x f ( x).e dx 3cos 3x  sin 3x  C f ( x) x Câu 44.2:Cho hàm số f ( x ) liên tục (0; ) Biết ln x nguyên hàm hàm số e , họ tất nguyên hàm hàm số f ( x).x x A x.e  C x x B x.e  2e  C x x C  x.e  2e  C x x D x.e  2e  C Lời giải Chọn B x f ( x)    f ( x)  e  ln x   x x x Ta có ln x nguyên hàm hàm số f ( x ).e suy e x Suy f ( x )  ex x  ex x2 ex x  ex I f ( x).x dx  x dx  e x x  e x  dx e x x.dx  e x dx x Xét u  x   dv e x dx  Đặt du dx  x v e e x.dx  e dx  x.e  e dx   e dx x.e suy  x x x x x x  2e x  C Trang3 GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA f ( x) Câu 44.3:Cho hàm số f ( x ) liên tục ¡ Biết x  3x  nguyên hàm hàm số x , họ 2x tất nguyên hàm hàm số f ( x).e x  11e2 x C A x  5e x C C 2x B x  2e  C x  5e x C D Lời giải Chọn D f ( x) f ( x)  x  3x  1  2 x  Ta có x  3x  nguyên hàm hàm số x suy x 2 Suy f ( x ) 2 x  x suy f ( x) 4 x  Xét Đặt I  x  3 e x dx u 4 x    2x dv e dx du 4dx   2x v  e Khi ta có I  x  3 e2 x dx  (4 x  3).e2 x (4 x  3).e x x x  5e x  2e x dx   e C   C 2 x Câu 44.4:Cho hàm số f ( x ) liên tục ¡ Biết sin x nguyên hàm hàm số f ( x).e , họ tất x nguyên hàm hàm số f ( x).e A cos x  cos x  C B sin x  sin x  C C 2sin x  sin x  C D sin x  sin x  C Lời giải Chọn B x f ( x).e x  sin x  sin x Ta có sin x nguyên hàm hàm số f ( x ).e suy  Xét  I f ( x).e x dx u e x    d v  f ( x )d x Đặt  Khi ta có du e x dx  v  f ( x ) I f ( x).e x dx  f ( x).e x  x f ( x).e dx sin x  sin x C 2x Câu 44.5:Cho hàm số f ( x ) liên tục ¡ Biết cos x nguyên hàm hàm số f ( x ).e , họ tất 2x nguyên hàm hàm số f ( x).e Trang4 GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA A  sin x  cos x  C B sin x  cos x  C C  sin x  2sin x  C D  sin x  cos x  C Lời giải Chọn D 2x f ( x).e x  cos x   sin x Ta có cos x nguyên hàm hàm số f ( x ).e suy  Xét I f ( x).e x dx u e2 x    d v  f ( x )d x Đặt  Khi ta có Câu 44.6: Cho f  x  ln x du 2e x dx  v  f ( x ) I f ( x).e x dx  f ( x).e x  f ( x).e2 x dx  sin x  cos x  C F  x  f  x x nguyên hàm hàm số x Tìm nguyên hàm hàm số ln x f  x  ln xdx  x A C   C x2 ln x f  x  ln xdx  x B   ln x   C x 2x  f  x  ln xdx   D  C x2  ln x    C x2 x2  f  x  ln xdx   Lời giải Chọn C f  x    f  x    F  x  x  2x  x nguyên hàm hàm số x suy x Ta có  u ln x du  dx   x  dv  f ( x)dx v  f ( x)  Đặt Áp dụng công thức nguyên hàm phần ta có f  x f  x  ln xdx  f  x  ln x   Câu 44.7: F  x  x A f  x  e 2x f  x  e 2x C x dx  nguyên hàm dx 2 x  x  C dx  x  x  C 1 x ln x    C   x 2x2 f  x  e 2x   ln x    C 2x   x Tìm nguyên hàm hàm số f  x  e x dx  x  x  C  B D f  x  e 2x dx  x  x  C f  x  e x Lời giải Chọn B Trang5 GV: LÊ QUANG XE F  x  x 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPT QUỐC GIA nguyên hàm u e x   dv  f ( x )dx  Đặt f  x  e Câu 44.8: Cho hàm số 2x suy f  x  e x 2 x du 2.e x dx  v  f ( x ) Áp dụng cơng thức ngun hàm phần ta có dx  f  x  e x  2f  x  e x dx 2 x  2f  x  e x dx  x  x  C F  x   x  1 e x f  x  e nguyên hàm hàm số f  x  e 2x Tìm nguyên hàm 2x f  x  e A 2x f  x  e 2x C f  x  e 2x dx  2 x x e C 2x x dx  x   e  C f  x  e f  x  e D  B dx   x  e x  C 2x x dx   x  e  C Lời giải Chọn D Ta có F  x   x  1 e x nguyên hàm hàm số f  x  e 2x suy f  x  e x   x  1 e x   e x   x  1 e x u e x   dv  f ( x )dx  Đặt f  x  e 2x du 2.e x dx  v  f ( x ) Áp dụng công thức nguyên hàm phần ta có dx  f  x  e x  2f  x  e x dx  e x   x  1 e x   f  x  e x dx  e x   x  1 e x    x  1 e x  C   x  e x  C Câu 44.9: Cho f  x  ln x F  x  f  x 3 x nguyên hàm hàm số x Tìm nguyên hàm hàm số ln x f  x  ln xdx  x A C  C 3x  ln x    C x3 x3  f  x  ln xdx   ln x C x3  ln x  f  x  ln xdx   x3  x3   C D f  x  ln xdx  x B  Lời giải Chọn C f  x    f  x    F  x  x  3x  x nguyên hàm hàm số x suy x Ta có Trang6 GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ÔN THI THPT QUỐC GIA  u ln x du  dx   x  dv  f ( x)dx v  f ( x)  Đặt Áp dụng cơng thức ngun hàm phần ta có f  x f  x  ln xdx  f  x  ln x   Câu 44.10: Cho hàm số A F  x  e x cos x f  x  e x f  x  e f  x  e C  2x 2x x dx  1 x ln x    C   x 3x  ln x     C 3x   x f  x  e2 x nguyên hàm hàm số Tìm nguyên hàm dx  e x  sin x  cos x   C dx  e x  sin x  cos x   C f  x  e 2x B f  x  e D  2x dx e x  sin x  cos x   C dx e x  sin x  cos x   C Lời giải Chọn A F  x  e x cos x Vì nguyên hàm hàm số 2x f  x  e F  x  e x cos x  e x sin x f  x  e2 x nên u e x du 2.e x dx    dv  f ( x )dx v  f ( x) Đặt  Áp dụng cơng thức ngun hàm phần ta có f  x  e2 x dx  f  x  e x  f  x  e x dx e x  cos x  sin x   f  x  e x dx Ta có  e x  cos x  sin x   e x cos x  C  e x  sin x  cos x   C Câu 44.11: Cho F  x   f  x   f  x   e ex x nguyên hàm hàm số f  x  Tìm nguyên hàm hàm số x x  f  x   f  x   e dx  A e x  xe x  e x  x2 e2 x  f x  f x e d x  C        x C C x 2x  f  x   f  x   e dx  ex  B x x D  f  x   f  x   e dx  C e x  xe x  e x  x2 C Lời giải Chọn A  e x  xe x  e x ex f x       F  x  f  x x2  x x Ta có nguyên hàm hàm số suy Trang7 GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA u  f ( x)   dv e x dx  Đặt du  f ( x)dx  x v e Theo cơng thức ngun hàm phần, ta có: x x x f  x  e dx e f  x   e f  x  dx  x  f  x   f  x   e dx e f  x   C  x Câu 44.12: Cho F ( x)  x e nguyên hàm hàm số f ( x) ln x f ( x) ln xdx e  x x A ln x  x ln x  x   C f ( x) ln xdx  e  x B  x C f ( x) ln xdx e  x D f ( x) ln xdx e  x x x 3 x e x  xe x  e x  x2 C f ( x) x Tìm nguyên hàm hàm số ln x  x ln x  x   C ln x  x ln x  x   C ln x  x ln x  x   C Lời giải Chọn D f ( x) f ( x)  x e x   2 xe x  x 2e x F ( x )  x e Ta có nguyên hàm hàm số x suy x x Đặt u ln x   dv  f ( x)dx  du  dx x  v  f ( x) Áp dụng cơng thức ngun hàm phần ta có f ( x)  f ( x)  x dx   ( x ln x )  x e  C x x   f ( x) ln xdx  f ( x) ln x    x ln x  xe x  x 2e x   x 2e x  C e x  x ln x  x ln x  x   C Câu 44.13: Cho hàm số A B C F  x  f  x  cos x cos x x nguyên hàm hàm số f  x  sin x Tìm nguyên hàm f  x  cos xdx  cos x cos x   x cos x  C x x sin x f  x  cos xdx  cos x cos x   x cos x  C x x sin x f  x  cos xdx  cos x cos x   x cos x  C x x sin x Trang8 GV: LÊ QUANG XE D 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA f  x  cos xdx  cos x cos x   x cos x  C x x sin x Lời giải Chọn A Ta có F  x  cos x x nguyên hàm hàm số f  x  sin x suy  cos x   x sin x  cos x f  x  sin x    x2  x  u cos x    Đặt dv  f ( x)dx du  sin xdx  v  f ( x ) Áp dụng cơng thức ngun hàm phần ta có f  x  cos xdx  f  x  cos x  f  x  sin xdx  f  x  sin x  cot x  f  x  sin xdx cos x cos x   x sin x  cos x   cot x  x cos x  C    x cos x  C  x2 x x sin x   Câu 44.14: Cho hàm số A I 1 f  x   sin x f  x  dx  f   1 cos x f  x  dx thỏa mãn B I  Tính C I 0 D I 2 Lời giải Chọn C u cos x   ( x)dx d v  f  Đặt du  sin xdx  v  f ( x ) Áp dụng cơng thức tích phân phần ta có  cos x f  x  dx  f  x  cos x  Ta có: Câu 44.15: Cho hàm số f  x có đạo hàm    f  x  sin xdx  f    f  x  sin xdx  1 0 f  x  f    f  1 1 liên tục ¡ thỏa mãn Biết x e  f  x   f  x   dx ae+b A S 1 2017 2018 Tính S a  b B S  C S 0 D S 2 Lời giải Chọn D u  f ( x) du  f ( x)dx    dv e x dx v e x Đặt  Theo cơng thức tích phân phần, ta có: Trang9 GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA x x f  x  e dx  e f  x   1 e x f  x  dx  x x  f  x   f  x   e dx  e f  x    f  1 e  f   e  Vậy a 1 ; b   S 2  Câu 44.16: Cho  A  b cot x.e x dx a Mệnh đề đúng?  x e dx e a cot a  b  sin x a  C 0a B ex dx  e a cot a  b  sin x a  x e dx e a cot a  b  sin x a D ex dx  e a cot a  b  sin x a Lời giải Chọn C u e x    d v  d x  sin x Đặt   du e x dx  v  cot x Theo cơng thức tích phân phần, ta có:   e x dx  e cot x  e x cot xdx e a cot a  b  sin x a a a x 1 Câu 44.17: Cho hàm số y  f ( x) thỏa mãn A I 0 f  x  dx 1  x 1 B I 3 f (1)  f (0) 2 Tính C I  I  f  x  x  1 dx D I 1 Lời giải Chọn A Xét tích phân Đặt f  x  dx 1  x 1  u  x 1   dv  f  x  dx   dx  du   x  1  v  f ( x )  Theo cơng thức tích phân phần, ta có: Theo cơng thức tích phân phần, ta có Trang10 GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA 1 f ( x) f ( x) I  dx   x 1 0 x 1 1 f ( x) f ( x) dx  f (1)  f (0)   dx 1  I  I 0 2   x  1  x  1 Câu 44.18: Gọi F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x ) với F (1) 1, F ( x)dx  Tính A xf ( x)dx 1 1 xf ( x)dx 0 xf ( x)dx  xf ( x)dx  xf ( x)dx 2 B C D Lời giải Chọn D Đặt u  x   dv  f  x  dx du dx  v  F ( x ) Theo cơng thức tích phân phần, ta có 1 1 I xf ( x)dx  xF ( x)   F ( x )dx F (1)  F ( x)dx 1  ( 1) 2 0 0 Câu 44.19: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục ¡ I  f ( x) cos x  f ( x) sin x  dx A I 20 thỏa mãn f (1) sin1 10 Tính B I  10 C I  20 D I 10 Lời giải Chọn D du  f  x  dx u  f ( x)   dv cos x.dx v sin x Đặt  Theo cơng thức tích phân phần, ta có 1 f ( x) cos xdx  sin xf ( x)   sin x f ( x)dx 0  I  f ( x) cos x  f ( x)sin x  dx  f (1) sin1 10 Câu 44.20: Cho hàm số f  x có đạo hàm cấp hai f  x  liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn f  1  f   0 f  x  dx 2018 Mệnh đề đúng? Trang11 GV: LÊ QUANG XE A 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA 1  x  x  f  x  dx 2018  x B C  x  f  x  dx  4036  x  x  f  x  dx  2018 D  x  x  f  x  dx 4036 Lời giải Chọn D Xét tích phân  x  x  f  x  dx du  x  1 dx  v  f  x  u  x  x     d v  f x d x    Đặt  Theo cơng thức tích phân phần, ta có  x Ta có  x  f  x  dx   x  x  f  x     1   x  1 f  x  dx Xét tích phân Đặt  x  1 f  x  dx u 2 x    dv  f  x  dx du 2dx  v  f  x  Ta có 0 1 0 Cho hàm số f  x 1  x  1 f  x  dx  x  1 f  x   2f  x  dx 2  x  x  f  x  dx  x  x  f  x    x  1 f  x   2f  x  dx 4036 Vậy Câu 44.21: f  x ex , liên tục  Biết cos x nguyên hàm hàm số họ tất nguyên hàm hàm số f  x  e x A  sin x  cos x  C C sin x  cos x  C B  sin x  cos x  C D sin x  cos x  C Lờigiải ChọnB f  x  ex Ta có cos x nguyên hàm hàm số nên ta có  cos x    f  x  e x   sin x  f  x  e x Tính Đặt I f  x  e x dx x u e   dv  f  x  dx x du e dx  v  f  x  Trang12 GV: LÊ QUANG XE Suy Câu 44.22: 50 BÀI TOÁN ÔN THI THPT QUỐC GIA I f  x  e x dx  f  x  e x  Cho hàm số f  x x f  x  e dx  sin x  cos x  C f  x ex , liên tục  Biết sin x nguyên hàm hàm số họ tất nguyên hàm hàm số f  x  e x A cos x  sin x  C C sin x  cos x  C B  sin x  cos x  C D sin x  cos x  C Lờigiải Chọn A f  x ex Ta có sin x nguyên hàm hàm số nên ta có  sin x    f  x  e x  cos x  f  x  e x Tính I f  x  e x dx u e x    dv  f x d x    Đặt  Suy Câu 44.23: du e x dx  v  f  x  I f  x  e x dx  f  x  e x  Cho hàm số x f  x  e dx cos x  sin x  C f  x ex , liên tục  Biết sin 3x nguyên hàm hàm số họ f  x tất nguyên hàm hàm số A 3cos x  sin x  C f  x  e x B  3cos x  sin x  C D 3cos x  sin x  C C  3cos 3x  sin x  C Lờigiải ChọnD f  x  ex Ta có sin 3x nguyên hàm hàm số nên ta có  sin 3x    f  x  e x  3cos3 x  f  x  e x Tính I f  x  e x dx u e x   dv  f  x  dx   Đặt Suy Câu 44.24: du e x dx  v  f  x  I f  x  e x dx  f  x  e x  Cho hàm số f  x x f  x  e dx 3cos 3x  sin 3x  C f  x liên tục  Biết ln x nguyên hàm hàm số nguyên hàm hàm số f  x  ln x x3 , họ tất Trang13 GV: LÊ QUANG XE A x ln x  50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA x2 C B C x ln x  x  C D Lờigiải x ln x  x2 C  x ln x  x2 C ChọnA f  x x3 Ta có ln x nguyên hàm hàm số  ln x    Tính Đặt f  x f  x    f  x  x x x x I f  x  ln xdx u ln x   dv  f  x  dx Suy Câu 44.25: nên ta có  du  dx x  v  f  x   I f  x  ln xdx  f  x  ln x  Cho hàm số f  x f  x  x dx x ln x  xdx x ln x  x2  C f  x liên tục  Biết ln x nguyên hàm hàm số nguyên hàm hàm số A x ln x  x  C f  x  ln x x2 , họ tất B  x ln x  x  C D  x ln x  x  C C x ln x  x  C Lờigiải ChọnA f  x Ta có ln x nguyên hàm hàm số x nên ta có  ln x    Tính f  x f  x    f  x  x x x x I f  x  ln xdx  u ln x du  dx x    dv  f  x  dx v  f  x   Đặt Suy I f  x  ln xdx  f  x  ln x  f  x dx  x ln x  dx  x ln x  x  C x  Trang14 GV: LÊ QUANG XE Câu 44.26: Cho hàm số 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA f  x xf  x  , liên tục  Biết ln x nguyên hàm hàm số họ tất nguyên hàm hàm số ln x  C 2x A x f  x  ln x ln x  C 2x B x ln x  C 2x D x ln x  C x C x Lờigiải ChọnD xf  x  Ta có ln x nguyên hàm hàm số nên ta có  ln x   xf  x   Tính 1 xf  x   f  x   x x I f  x  ln xdx  u ln x du  dx x    dv  f  x  dx v  f  x   Đặt I f  x  ln xdx  f  x  ln x  Suy Câu 44.27: Cho hàm số f  x ex , số f  x f  x  x dx  ln x  x2 x dx  ln x   C x 2x F  x  x  x  liên tục  Biết nguyên hàm hàm họ tất nguyên hàm hàm số f  x  e x A 2x  x  C B x  C C  x  C D x   x  C Lờigiải ChọnC F  x  x  x  Ta có x nguyên hàm hàm số  x  3   xf  x   x  e x f  x  Tính f  x ex nên ta có I f  x  e x dx u e x    dv  f x d x    Đặt  Suy du e x dx  v  f  x  I f  x  e x dx  f  x  e x  x f  x  e dx 2 x    x   dx  x  C Trang15 GV: LÊ QUANG XE Câu 44.28: 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA Cho hàm số f  x liên tục khoảng  \  0 Biết F  x  x nguyên x f  x e , f  x  e x hàm hàm số họ tất nguyên hàm hàm số 2   C   C x A x B x x  C x x C  C x x D Lờigiải Chọn B F  x  Ta có x x nguyên hàm hàm số f  x  e nên ta có   x x    f  x  e   e f  x  x x   Tính I f  x  e x dx u e x   dv  f  x  dx   Đặt Suy Câu 44.29: du e x dx  v  f  x  I f  x  e x dx  f  x  e x  Cho hàm số f  x nguyên hàm hàm số   C x A x 2   dx    C x x x x x f  x  e dx  liên tục trênmỗi khoảng tập hợp x2 f  x  ,  \  0 họ tất nguyên hàm hàm số  C B x x  C x C x D  Biết F  x  f  x  x ln x x  C x3 x Lờigiải Chọn D Ta có F  x  x nguyên hàm hàm số x f  x  nên ta có 1   2    x f  x     x f  x   f  x   x x  x ln x I f  x  x ln xdx   dx x Tính Trang16 GV: LÊ QUANG XE Đặt u ln x    dv  x dx dx  du  x  v   x I f  x  e x dx  f  x  e x  Suy Câu 44.30: 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA x f  x  e dx  2   dx    C x x x x f  x x4 F x  ,   f  x 16 nguyên hàm hàm số x Cho hàm số liên tục  Biết họ tất nguyên hàm hàm số f  x  ln x x x ln x  C 16 A x4 x4 ln x   C 16 B x4 x4 ln x   C C x4 x4  ln x  C 16 D Lờigiải ChọnA f  x x4 F  x  16 nguyên hàm hàm số x nên ta có Ta có  x  f  x  x3 f  x  x4     f x      x x  16  I f  x  ln xdx Tính dx  u ln x du  x    dv  f  x  dx v  f  x   Đặt Suy Câu 44.31: I f  x  x ln xdx  f  x  ln x  Cho hàm số f  x f  x  x liên tục  Biết dx  x4 ln x  F  x   xe x 2x x3 x4 x4 d x  ln x   C 4 16 nguyên hàm hàm số 2x f  x e , f  x  e họ tất nguyên hàm hàm số x   3x  1 e2 x  C   x 1 e  C A B x x   x  1 e  C   x  1 e  C C D Lờigiải Chọn C Ta có F  x   xe x   xe    f  x  e x 2x nguyên hàm hàm số    x  1 e x  f  x  e x f  x  e2 x nên ta có Trang17 GV: LÊ QUANG XE Tính 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA I f  x  e x dx u e x   dv  f  x  dx   Đặt du 2e x dx  v  f  x  Suy I f  x  e x dx  f  x  e x  2f  x  e x dx   x  1 e x  xe x  C   x  1 e x  C Câu 44.32: f  x Cho hàm số f  x  e x x x C A thỏa mãn liên tục  Biết f   0  2x  2 e  C F  x  2  x  1 e x ,họ tất nguyên hàm hàm số f  x  ex   x  2x  2 e  C  x  2x  2 e  C D x  2x  2 ex  C nguyên hàm hàm số 2x B x Lờigiải Chọn C F  x  2  x  1 e x Ta có   x  1 e    f  x  e x x nguyên hàm hàm số  xe x  f  x  e x  f  x  2 x Có f  x  f  x  dx 2 xdx x  C Và f   0  C 0  f  x   x Tính nên ta có I f  x  e x dx u  f  x    x d v  e d x  Đặt  Suy Câu 44.33: f  x  e x du  f  x  dx  x v e I f  x  e x dx  f  x  e x  x x f  x  e dx x e   x  1 e x  C  x  x   e x  C  x2  F  x     cos x  x sin x f  x    Cho hàm số liên tục Biết nguyên hàm f  x  sin x f  x  cos x hàm số , họ tất nguyên hàm hàm số A x sin x  cos x  C B sin x  x cos x  C C x sin x  x cos x  C D sin x  x cos x  C Lờigiải Chọn A  x2  F  x     cos x  x sin x f  x  sin x   Ta có nguyên hàm hàm số nên ta có Trang18 GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA   x2   x2 x2 cos x  x sin x  f x sin x  sin x  f x sin x  f x         1   2 2   Tính Đặt I f  x  cos xdx u cos x   dv  f  x  dx du  sin xdx  v  f  x  Suy I f  x  cos xdx  f  x  cos x  f  x  sin xdx   x2 x2  cos x     cos x  x sin x  C 2   cos x  x sin x  C Câu 44.34:  x2  F  x    1 sin x  x cos x f  x   Cho hàm số liên tục  Biết nguyên hàm f  x  cos x f  x  sin x hàm số , họ tất nguyên hàm hàm số x sin x  cos x  C sin x  x cos x  C A B C x sin x  x cos x  C D sin x  x cos x  C Lờigiải Chọn D  x2  F  x    1 sin x  x cos x f  x  cos x   Ta có nguyên hàm hàm số nên ta có   x2   x2 x2 cos x  f  x  cos x  f  x      1 sin x  x cos x   f  x  cos x  2    Tính Đặt I f  x  sin xdx u sin x   dv  f  x  dx du cos xdx  v  f  x  Suy I f  x  sin xdx  f  x  sin x  f  x  cos xdx   x2  x2 sin x    1 sin x  x cos x  C   sin x  x cos x  C Câu 44.35: Cho hàm số f  x liên tục  Biết F  x   x sin x  x cos x nguyên hàm f  x  cos x f  x  sin x hàm số , họ tất nguyên hàm hàm số A 2sin x  x cos x  C B 2sin x  x cos x  C Trang19 GV: LÊ QUANG XE 50 BÀI TỐN ƠN THI THPT QUỐC GIA C 2sin x  x cos x  C D  2sin x  x cos x  C Lờigiải Chọn A F  x   x sin x  cos x Ta có x nguyên hàm hàm số f  x  sin x nên ta có sin x  x cos x    f  x  cos x   x   cos x  f  x  cos x  f  x   x  2 I f  x  sin xdx Tính Đặt u sin x   dv  f  x  dx du cos xdx  v  f  x  Suy I f  x  sin xdx  f  x  sin x  f  x  cos xdx  x   sin x   x sin x  x cos x   C 2sin x  x cos x  C Câu 44.36: Cho hàm số f  x liên tục  Biết F  x   x   cos x  x sin x nguyên hàm f  x  sin x f  x  cos x hàm số , họ tất nguyên hàm hàm số A x sin x  cos x  C B  cos x  x sin x  C C cos x  x sin x  C D cos x  x sin x  C Lờigiải Chọn B F  x   x  1 cos x  2sin x Ta có  x f  x  sin x nên ta có    cos x  x sin x  f  x  sin x    x  sin x  f  x  sin x  f  x  2  x  Tính Đặt nguyên hàm hàm số I f  x  cos xdx u cos x   dv  f  x  dx du  sin xdx  v  f  x  Suy I f  x  cos xdx  f  x  cos x  f  x  sin xdx   x  cos x   x   cos x  x sin x  C  cos x  x sin x  C Câu 44.37: Cho hàm số f  x f  x  ln x, liên tục  Biết x  x nguyên hàm hàm số  f  x   xf  x   ln x họ tất nguyên hàm hàm số A x  x   ln x   x  x   C B x  x   ln x   x  x   C Trang20