1 PHÒNG GD ĐT TP BẮC GIANG TRƯỜNG THCS TÂN TIẾN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “MỘT SỐ DẠNG TOÁN SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC (A B)=A 2AB +B”AB +B” Người viết Trần Anh Quang Tân Tiến, tháng 5 năm 2015 NỘI DU[.]
PHÒNG GD-ĐT TP BẮC GIANG TRƯỜNG THCS TÂN TIẾN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “MỘT SỐ DẠNG TOÁN SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC: (A B)=A 2AB +B”AB +B” Người viết: Trần Anh Quang Tân Tiến, tháng năm 2015 NỘI DUNG TRANG Đặt vấn đề …………………………………………… 2.Giải vấn đề ……………………………………… 2.1 Cơ sở lý luận …………………………………… 2.2.Thực trạng 2.3 Nội dung ……………………………………………… 2.3.1 Lý Thuyết 2.3.2 Một số dạng toán ……… …………………… Dạng ………………………………… Dạng ………………………………… Dạng ………………………………… Dạng ………………………………… Dạng ………………………………… 12 Dạng ………………………………… 17 Dạng ………………………………… 20 Dạng ………………………………… 21 2.4 Hiệu 25 Kết luận 25 3.1 Đánh giá 25 3.2 Bài học kinh nghiệm … 26 3.3 Ý kiến đề xuất ………………………………… 26 Tài liệu tham khảo 28 ĐẶT VẤN ĐỀ Khi thực giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn lớp 8, phần kiến thức đẳng thức đáng nhớ, đặc biệt hai đẳng thức: bình phương tổng, bình phương hiệu quan trọng Với phần kiến thức học sinh không giải số dạng tập chương mà phương tiện để làm tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, chứng minh biểu thức âm, biểu thức dương số bất đẳng thức Trong phân phối chương trình sở giáo dục có hai tiết học lí thuyết tập nên thầy chủ yếu dạy lí thuyết hướng dẫn học sinh giải số tập bản, thời gian hướng dẫn em vài phương pháp giải cụ thể cho dạng tốn gần khơng có Vì giáo viên có điều kiện rèn kĩ cho học sinh phần Xuất phát từ thực tế này, tiến hành phân loại đưa “Một số dạng toán sử dụng đẳng thức (A B) = A 2AB + B” nhằm giúp học sinh khắc phục hạn chế Đồng thời bổ sung thêm số dạng tốn khó cho HS giỏi 2AB +B” GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2AB +B”.1 Cơ sở lí luận: Việc giảng dạy tập tốn khơng thể cứng nhắc đơn điệu, tuỳ theo tốn ta có cách giải khác Dạy học giải tập tốn có ý nghĩa quan trọng: - Củng cố, hệ thống hoá kiến thức học học sinh, rèn luyện kĩ kĩ xảo - Để học sinh tự đánh giá lực nhận thức giúp giáo viên đánh giá tiếp thu kiến thức học sinh trình độ học tốn em - Gây hứng thú học tập toán học sinh Từ phát huy phẩm chất trí tuệ, lực cần thiết mà mục tiêu giáo dục THCS đề Các đẳng thức 1, nội dung đặc biệt quan trọng, sử dụng nhiều dạng toán lớp lớp Vì vậy, ngồi việc dạy lí thuyết giáo viên ý khắc sâu kiến thức trọng tâm học, tơi phân loại tốn theo dạng trình dạy học mình, để giúp em có kĩ tốt, kinh nghiệm quý báu giải tập có liên quan 2AB +B”.2AB +B” Thực trạng: Giáo viên: Có nhiệt tình, lịng u nghề, tinh thần trách nhiệm cơng việc, trình độ chun mơn khá, ln có ý thức tự học tập nâng cao trình độ Tuy nhiên, kinh nghiệm thân hạn chế Nhà trường: Cơ sở vật chất đáp ứng đủ nhu cầu dạy học chất lượng giáo dục chưa cao Học sinh: - Các em chăm ngoan ý đến việc học tập, việc tiếp thu kiến thức ngồi SGK cịn yếu - Đối với đẳng thức đáng nhớ, em nắm giải tập SGK, nhiên với tập mức độ cao em cịn gặp nhiều khó khăn - Đội tuyển HSG ôn tập nhiều số giải đạt thấp 2AB +B”.3 Nội dung: 2AB +B”.3.1 Lí thuyết * Các đẳng thức học: (A + B) = A + 2AB + B (A - B) = A - 2AB + B * Các đẳng thức mở rộng: (A+B+C) = A + B + C + 2AB + 2BC + 2AC (A+B- C) = A + B + C + 2AB - 2BC - 2AC (A- B- C) = A + B + C - 2AB + 2BC - 2AC 2AB +B”.3.2AB +B” Một số dạng tập sử dụng đẳng thức 1, 2AB +B” DẠNG 1: Thực phép tính Cách làm: - Áp dụng đẳng thức để thực phép nhân - Rút gọn biểu thức (nếu cần) VD: Tính a) (x + 2) b) (y - ) c) (2x - y) d) (x + 2y -3z) e) (x - y) + (y + z) - (x + y -z) Giải a) (x + 2) = x + 2.x.2 + = x + 4x + b) (y - ) = y - 2.y + = y - y + c) (2x - y) = (2x) - 2.2x y + = 4x - xy + y d) (x + 2y -3z) = x + (2y) + (3z) +2.x.2y - 2.x.3z - 2.2y.3z = x + 4y + 9z + 4xy - 6xz - 12yz e) (x - y) + (y + z) - (x - y -z) = (x - 2xy + y) + (y + 2yz + z) - (x + y + z - 2xy + 2yz - 2xz) = x - 2xy + y + y + 2yz + z - x - y - z + 2xy - 2yz + 2xz = y + 2xz Chú ý: Khi phân số, tích, đa thức số lũy thừa phải có ngoặc Bài tập tương tự: Tính a) (x - ) d) (2x - 3y) g) ( 5a - b) b) (2x - 1) e) (a - b) h) (x - y) c) (3x + ) f) (4x - y) i) ( 2a + b - c) DẠNG 2AB +B”: Phân tích đa thức thành nhân tử Cách làm: Sử dụng đẳng thức A + 2AB + B = (A + B) A - 2AB + B = (A - B) A + B + C + 2AB + 2BC + 2AC = (A+B+C) A + B + C + 2AB - 2BC - 2AC = (A+B- C) A + B + C - 2AB + 2BC - 2AC = (A- B- C) - Cần nhận định xem đa thức cho giống vế trái đẳng thức - Xác định biểu thức: A, B, C - Áp dụng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử VD: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x - 4x +4 b) x + y + 2xy d) x + y + z + 2xy + 2xz + 2yz c) (x +y) +1 + 2x + 2y e) x - y + 2y - Giải a) x - 4x +4 = x - 2.x.2 + = (x -2) b) x + y + 2xy = x + 2.x.y + y = (x +y) c) (x +y) +1 + 2x + 2y = (x +y) + 2(x+y) + = (x +y +1) d) x + y + z + 2xy + 2xz + 2yz = (x +y +z) e) x - y + 2y - = x - (y - 2y + 1) = x - (y - 1) = (x + y -1)(x - y +1) Bài tập tương tự: Phân tích thành nhân tử a) 9x + 6x + f) + a - a b) 4x - 4xy + y g) -4x + 12xy - 9y c) + a + a h) (x + y) - 2y(x + y) + y d) 25x - 10x + i) a - 2a + e) 81a + 36ab + 4b DẠNG 3: Tính giá trị biểu thức 1/ Tính nhanh Cách làm: - Nhận định biểu thức cho giống dạng đẳng thức - Áp dụng đẳng thức để tính nhanh VD: Tính nhanh a) 31 + 2.31.69 + 69 c) 102 b) 2,5 + 7,5 - 5.7,5 d) 199 e) 3,1 + 2,3 + 4,4 + 2.3,1.2,3 + 2.2,3.4,4+ 2.3,1.4,4 Giải a) 31 + 2.31.69 + 69 = ( 31 + 69) = 100 = 10000 b) 2,5 + 7,5 - 5.7,5 = 7,5 - 2.2,5.7,5 + 2,5 = (7,5 -2,5) = = 25 c) 102 = (100 +2) = 100 + 2.100.2 + = 10000 + 400 + = 10404 d) 3,1+2,3+4,6+2.3,1.2,3+2.2,3.4,6+2.3,1.4,6 = (3,1+2,3+ 4,6) = 10 = 100 e) 199 = (200 -1) = 200 - 2.200.1 + = 40000 - 400 + = 39601 Bài tập tương tự: Tính nhanh a) 101 ; 98 d) 109,5 - 2.105,5.5,5 + 5,5 b) 302 ; 198 e) 48 + 96.52 + 52 c) 17 + 2.17.83 + 83 f) 135 - 70.135 + 35 2/ Tính giá trị biểu thức Cách làm: - Phân tích đa thức thành nhân tử - Thay giá trị biến vào đa thức phân tích tính biểu thức số VD: Tính giá trị biểu thức a) A = 4x - 12x + x = 1,5 b) B = x + y + xy x = 201,6 ; y = - 7,2 Giải a) Ta có: A = 4x - 12x + = (2x) - 2.2x.3 + = (2x -3) thay x =1,5 vào biểu thức được: (2.1,5 - 3) = = Vậy giá trị A x = 1,5 b) Ta có: B = x + y + xy = + x.y + y = thay x = 201,6; y=-7,2 vào biểu thức trên, được: = (67,2 - 7,2) = 60 = 3600 Vậy giá trị B x = 201,6 ; y = -7,2 3600 Bài tập tương tự: Tính giá trị biểu thức a) A = x - 12x + 36 x= 106 b) B = x + xy + y x = 142; y = 29 DẠNG 4: Tìm số chưa biết 1/ Tìm số chưa biết Cách làm: - Thực phép nhân hai vế - Áp dụng quy tắc chuyển vế: chuyển tất sang vế trái - Nếu đa thức vế trái có bậc tìm biến ; đa thức vế trái có bậc lớn phân tích thành nhân tử cho nhân tử sau tìm biến trả lời VD: Tìm x, biết: a) (x -2) = (x +1)(x -1) b) 4x - 20x + 25 = c) (2x +1) = (x - 2) Giải a) (x -2) = (x +1)(x -1) x - 4x +4 = x -1 x - 4x +4 - x +1 =0 -4x +5 = x= b) 4x - 20x + 25 = (2x - 5) = => 2x - = x= x = x = c) (2x +1) = (x - 2) (2x+1) - (x -2) = [(2x +1) +(x -2)][(2x +1) - (x -2)] = (3x - 1)(x + 3) = 3x -1 = x + = x = x = -3 Vậy x = x = -3 Bài tập tương tự: Tìm x biết a) 9x - 6x + = b) 25x + 20x + = c) (2x+1) = (x -2) 2/ Tìm nhiều số chưa biết Cách làm: - Chuyển tất biểu thức sang vế - Đưa vế dạng mA + nB + pC = (với m,n,p > 0) - Cho A =0; B = 0; C = tìm biến VD: a) Tìm x, y biết: x + 2xy + 2y - 2y +1 = b) Tìm x, y, z biết: x + y + z + 2x + 2y + 2z +3 = Giải a) x + 2xy + 2y - 2y +1 = (x + 2xy + y) + (y - 2y +1) = (x +y) + (y -1) = Vì (x + y) 0, (y - 1) nên x +y =0 y -1 =0 => x = -1 y =1 Vậy x = -1 y =1 b) x + y + z + 2x + 2y + 2z +3 = (x + 2x +1) + (y + 2y +1) +(z + 2z +1) = (x +1) + (y +1) + (z +1) = 10 => a = b= c (đpcm) b) Ta có + + = => ( + + ) = => + + + 2( + + ) = => 2+ 2( + + ) = => + + = => a + b + c = abc (đpcm) Bài tập tương tự: Chứng minh a) Nếu a + b = 2(a + b) a = b b) Nếu (a + b) = 4ab a = b c) Nếu (a +b +c) = 3(a + b + c) a =b =c d) Nếu a + b + c + d = 4abcd a, b, c, d số dương a =b =c =d e) Nếu x + y+ z = xy + yz + xz = x =y =z = 3/ Chứng minh số phương Cách làm: Sử dụng điều kiện (nếu có) biến đổi số cho thành bình phương số tự nhiên khác VD1: Chứng minh rằng: a) Nếu n tổng hai số phương 2n tổng hai số phương b) Nếu n tổng hai số phương n tổng hai số phương Giải a) Vì n tổng hai số phương nên n = a + b 14 => 2n = 2a + 2b = (a + 2ab + b) + (a - 2ab + b) = (a +b) + (a -b) Vậy 2n tổng hai số phương b) Vì n tổng hai số phương nên n = a + b => n = (a+b) = a + 2ab + b = (a - 2ab + b) + 4ab = (a - b) + (2ab) Vậy n tổng hai số phương VD2: Chứng minh a) A = \x\bo(99 9)\x\bo(00 0) 25 số phương b) B = ab +1 số phương với a = \x\bo(11 1); b = 1\x\bo(00 0)5 Giải a) Đặt a = \x\bo(99 9) 10 = a+1 => A = \x\bo(99 9)\x\bo(00 0) 25 = (a.10) + 25 = a(a+1).100 + 25 = 100a +100a + 25 = (10a +5) Vậy A số phương b) Ta có: 9a + = \x\bo(99 9) +1 = 10 => b = 1\x\bo(00 0)5 = 1\x\bo(00 0) + = 10 + = 9a +1 +5 = 9a + Khi đó, B = ab +1 = a(9a +6) + = 9a + 6a + = (3a +1) Vậy B số phương Bài tập tương tự: Bài 1: Chứng minh 15 a) Nếu 2n tổng hai số phương n tổng hai số phương b) Nếu số m n tổng hai số phương mn tổng hai số phương Bài 2: Chứng minh số sau số phương a) A = \x\bo(99 9)8\x\bo(00 0)1 c) C = \x\bo(11 1)\x\bo(22 2)5 b) B = \x\bo(44 4)\x\bo(88 8)9 d) D = \x\bo(11 1) - \x\bo(22 2) e) E = \x\bo(11 1) + \x\bo(44 4) + Bài 3: a) Chứng minh ab +1 số phương với a = \x\bo(11 1)2; b = \x\ bo(11 1)4 b) Cho a số gồm 2n chữ số 1, b số gồm n+1 chữ số 1, c số gồm n chữ số Chứng minh a+b+c+8 số phương DẠNG 6: tìm giá trị lớn nhất, nhỏ 1/ Biểu thức có biến Cách làm: - Áp dụng HĐT số biến đổi biểu thức cho dạng mA+n (với m, n R) - Nếu m >0 mA+n n, m A b) Ta có: Vậy A = x + =0 => x = - B = -3x + 2x - = -3(x - x - ) = -3(x - 2.x + - ) = -3[(x - ) - ] = -3(x - ) + Vì (x - ) nên -3(x - ) Suy -3(x - ) + Vậy B = x - =0 => x = Chú ý: Khi biến đổi biểu thức cần tách hệ số tự để kết hợp với phần biến tạo thành HĐT Tránh sai lầm như: x2+3x +1 = x2+2x+1+x=(x+1)2+x Bài tập tương tự: Bài 1: Tìm GTNN biểu thức sau; a) A= x + 2x +3 e) E= 2x + 3x +1 b) B= x - 4x - f) F = x - 3x + c) C= y + y + g) G = 1,5x + 5x -2 d) D= a - 3a -2 Bài 2: Tìm GTLN biểu thức sau: a) A = - 2a - 4a +3 c) C = -2x - 3x + b) B = - x - x + d) D = x + 2x + 2/ Biểu thức chứa nhiều biến 17 Cách làm: - Áp dụng HĐT số biến đổi biểu thức cho dạng M = mA + nB +pC + q (với m, n, p, q R ) - Nếu m, n, p > M q, m, n, p A Vậy A = x+y = y - = => x = - , y = b)Ta có: B = 2x + 2xy + 2y + 2x - 2y + 2017 = x + 2xy + y + x + 2x + + y - 2y +1 + 2015 = (x +y) + (x +1) + (y -1) + 2015 Vì (x+y) 0, (x +1) 0, (y -1) nên (x+y)+(x+1)+(y-1)+2015 2015 Vậy B = 2015, dấu “=” xảy x+y =0, x+1=0, y-1 =0 hay x=-1, y =1 Bài tập tương tự: 18 a) Tìm GTNN A = x + 2x + y - 2y + b) Tìm GTNN B = x + 2y + 2xy - 4y + c) Tìm GTNN C = x + 2xy + 2y + 2x + 4y d) Tìm GTLN D = - x - y - 2z - 2xy - 2xz - 2yz + 4z - DẠNG 7: Chứng minh biểu thức dương, âm Cách làm: - Áp dụng đẳng thức 1, đưa biểu thức dạng M = mA + nB + pC +q (trong m, n, p, q R) - Nếu m, n, p, q < biểu thức âm, m, n, p, q > biểu thức dương VD: Chứng minh: a) A = 5x - 4xy + y - 6x + 10 >0 b) B = - 3x + 3x - < Giải a) Ta có: A = 5x - 4xy + y - 6x + 10 = 4x - 4xy + y + x - 6x + + = (2x -y) + (x - 3) + Vì (2x - y) 0, (x - 3) nên (2x -y) + (x - 3) + > Vậy A >0 với x, y b) Ta có: B = -3x + 3x - = - 3(x - x + ) = - 3(x - 2.x + + ) = - 3[(x - ) + ] = - 3(x - ) Vì (x - ) nên -3(x - ) Suy ra: - 3(x - ) - - < 19 Vậy B < với x Bài tập tương tự: Chứng minh a) x + 2x + >0 e) x + 2y + 2xy - 4y + >0 b) -2x + 4x - 0 g) - x - y - 2z - 2xy - 2xz - 2yz + 4z - < d) x + 2x + y - 2y + DẠNG 8: Bất đẳng thức 1/ Bất đẳng thức Cô-si: Nội dung: Với hai số a, b không âm a+b dấu ‘’= ‘’ xảy a=b Chứng minh: Với a,b 0, ta có: => a - + b => a + b Dấu ‘’=’’ xảy - = => a = b VD1: Chứng minh bất đẳng thức sau: a) (a+b)(b+c)(c+a) 8abc b) + + với a,b,c với a,b,c >0 c) + với a,b > d) a + với a > Giải a) Áp dụng BĐT Cơ-si ta có: a+b 2; b+c 2; c+a => (a+b)(b+c)(c+a) 2.2.2 = 8abc 20