Sh6 cđ 2 2 ước và bội trong tập hợp số tự nhiên

CHUYÊN ĐỀ TÍNH CHIA HẾT TRONG TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN ĐS6.CHỦ ĐỀ 2.4 – ƢỚC VÀ BỘI CỦA SỐ TỰ NHIÊN ƢỚC CHUNG LỚN NHẤT – BỘI CHUNG NHỎ NHẤT PHẦN I.TĨM TẮT LÍ THUYẾT Ƣớc bội:  Nếu có số tự nhiên a chia hết cho b ta nói a bội b, b ƣớc a  Tập hợp ƣớc a là: Ƣ  a  , tập hợp bội b kí hiệu: B  b  Ví dụ: Ƣ  30   1;2;3;5;6;10;15;30 B    0;2;4;6;8; ;2k ;  Ƣớc chung ƣớc chung lớn  Số tự nhiên n đƣợc gọi ƣớc chung hai số a b n vừa ƣớc a vừa ƣớc b  Số lớn ƣớc chung a b đƣợc gọi ƣớc chung lớn a b  Ta kí hiệu: tập hợp ƣớc chung a b là: ƢC  a, b  , tập hợp ƣớc chung lớn a b kí hiệu: ƢC LN  a, b  Ví dụ:ƢC  30, 48  1; 2;3;6 , ƢCLN  30, 48  Chú ý: ƣớc chung hai số ƣớc ƣớc chung lớn chúng  Hai số nguyên tố hai số có ƣớc chung lớn  Phân số tối giản phân số có tử mẫu hai số nguyên tố  Cách tìm ƢCLN: Bƣớc 1: Phân tích số thừa số nguyên tố Bƣớc 2: Chọn thừa số chung Bƣớc 3: Lập tích thừa số chọn thừa số lấy với số mũ nhỏ Tích ƢCLN phải tìm Bội chung bội chung nhỏ  Số tự nhiên n đƣợc gọi bội chung hai số a b n vừa bội a vừa bội b  Số nhỏ khác bội chung a b đƣợc gọi bội chung nhỏ a b  Ta kí hiệu: tập hợp bội chung a b là: BC  a, b  , tập hợp bội chung nhỏ a b kí hiệu: BCNN  a, b  Ví dụ:BC  4,5   0;20;40;60;  , BCNN  4,5  20 Chú ý: Bội chung nhiều số bội bội chung nhỏ chúng Nếu số cho đơi ngun tố BCNN chúng tích số   Cách tìm BCNN: Bƣớc 1: Phân tích số thừa số nguyên tố Bƣớc 2: Chọn thừa số chung riêng Bƣớc 3: Lập tích thừa số chọn thừa số lấy với số mũ lớn Tích BCNN phải tìm Nhận xét: BCNN  a,1  a BCNN  a, b,1  BCNN  a, b  PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI A ƢỚC VÀ BỘI, ƢỚC CHUNG - BỘI CHUNG CỦA SỐ TỰ NHIÊN Dạng Nhận biết số ƣớc (bội) số cho trƣớc I.Phƣơng pháp giải + Để xét a có ƣớc số cho trƣớc hay khơng, ta chia số cho a Nếu chia hết a ƣớc số + Để xét b có bội số khác hay không, ta chia b cho số Nếu chia hết b bội số II.Bài tốn Bài Cho số sau 0;1;3;14;7;10;12;5;20 , tìm số a) Là Ƣ   b) Là Ƣ 10  Lời giải a) Vì số cho chia hết cho 1;3 nên 1;3  Ƣ   b) Vì số cho 10 chia hết cho 1;5;10 nên 1;5;10  Ƣ 10  Bài Cho số sau 13;19;20;36;121;125;201;205;206 , số thuộc tập hợp sau: a) Là B  3 b) Là B   Lời giải a) Vì số cho 36; 201 chia hết 36; 201  B  3 b) Vì số cho 20;125; 205 chia hết 20;125; 205  B   Dạng Tìm tất ƣớc (bội) số I.Phƣơng pháp giải + Để tìm tất ƣớc số a ta làm nhƣ sau: Bƣớc 1: Chia a lần lƣợt cho số 1; 2;3; ; a Bƣớc 2: Liệt kê số mà a chia hết Đó tất ƣớc a + Để tìm bội số b  b   ta làm nhƣ sau: Bƣớc 1: Nhân b lần lƣợt cho số 0;1; 2;3; Bƣớc 2: Liệt kê số thu đƣợc Đó tất bội b Lƣu ý: Nếu tốn tìm ƣớc (bội) số thỏa mãn điều kiện cho trƣớc ta làm nhƣ sau: Bƣớc 1: Liệt kê ƣớc (bội) số Bƣớc 2: Chọn số thỏa mãn điều kiện đề II.Bài tốn Bài a) Tìm tập hợp ƣớc 6;10;12;13 b) Tìm tập hợp bội 4;7;8;12 Lời giải a) Ƣ    1; 2;3;6 Ƣ 10   1;2;5;10 Ƣ 12   1;2;3;4;6;12 Ƣ 13  1;13 b) B    0;4;8;12;16;  B    0;7;14;21;28;  B  8  0;8;16;24;32;  B 12   0;12;24;36;48;  Bài Tìm số tự nhiên x cho a) x  Ƣ 12   x  c) x 13  x  78 b) x  B   20  x  36 d) 12 x x  Lời giải a) Ta có Ƣ 12   1;2;3;4;6;12 Vì x  Ƣ 12   x  nên x 2;3; 4;6 b) x  B   20  x  36 Vì x  B   nên x 0;5;10;15;20;25;30;35;40;  Mặt khác 20  x  36  x 20;25;30;35 c) x 13  x  78 Vì x nên x  B   x 0;5;10;15;20;25;30;35;40;  Mặt khác 13  x  78  x 15;20;25;30;35;40;45;50;55;60;65;70;75 d) 12 x x  Vì 12 x nên x  Ƣ 12   1;2;3;4;6;12 x  nên x  6;12 Bài Tìm tập hợp số tự nhiên vừa ƣớc 100 vừa bội 25 Lời giải Gọi x số tự nhiên cần tìm Ta có Ƣ 100  1;2 ;4;5;10;20;25;50;100 Vì x  B  25 nên x 25  x  25;50;100 Dạng Tìm số tự nhiên thỏa mãn điều kiện chia hết I.Phƣơng pháp giải Áp dụng tính chất chia hết tổng (hiệu) định nghĩa ƣớc số tự nhiên II.Bài tốn Bài Tìm số tự nhiên n cho: a) 3 n b) 3 (n  1) c) (n  3) (n  1) d) (2n  3) (n  2) Lời giải a) 3 n  n  Ƣ  3  1 ;3  Vậy n   1;3 b) 3 (n  1)   n  1  Ƣ  3  1 ;3  Vậy (n  1)  1;3  n  0;2 c) (n  3) (n  1) Ta có (n  3) (n  1) (n  1) (n  1) Áp dụng tính chất chia hết tổng (hiệu) ta có  (n  3)  (n  1) (n  1)  2 (n  1)   n  1  Ƣ    1 ;  Vậy n   1;0 d) (2n  3) (n  2) Ta có (2n  3) (n  2) (n  2) (n  2) Áp dụng tính chất chia hết tổng (hiệu) ta có  (2n  3)  2(n  2) (n  2)  7 (n  2)   n    Ƣ    1 ;7  Vậy n   3;9 Dạng Viết tập hợp ƣớc chung (bội chung) hai hay nhiều số I.Phƣơng pháp giải Bƣớc Viết tập hợp ƣớc (bội) số cho Bƣớc Tìm giao tập hợp II.Bài tốn Bài Viết tập hợp sau: a) ƢC  24, 40 b) ƢC  20,30  c) BC  2,8  d) BC 10,15 Lời giải a) ƢC  24, 40  b) ƢC  20,30  Ta có Ƣ  24  1;2 ;3;4;6;8;12;24  Ta có Ƣ  20   1;2;4;5;10; 20  Ƣ  40   1;2 ;4;5;8;10;20;40  Ƣ  30   1;2 ;3;5;6;10;30 ƢC  24, 40   1;2 ;4;8  ƢC  20,30   1;2;5;10  c) BC  2,8   d) BC 10,15 Ta có B 10  0;10 ;20 ;30;40;50;60;  Ta có B  2  0;2 ;4 ;6;8;10;12;  B  8  0;8 ;16;24;32;40;48;  B 15  0;15 ;30;45;60 ;  BC  2,8  0;8 ;16;24;  BC 10,15  0;30 ;60;90;  Dạng 5: Bài tốn có lời văn I.Phƣơng pháp giải Bƣớc 1: Phân tích đề bài, chuyển tốn tìm ƣớc (bội), ƣớc chung, (bội chung) số cho trƣớc Bƣớc 2: Áp dụng cách tìm ƣớc (bội), ƣớc chung, (bội chung) số cho trƣớc II.Bài tốn Bài 1.Có 20 viên bi Bạn Minh muốn chia số viên bi vào hộp Tìm số hộp số viên bi hộp? Biết khơng có hộp chứa hay 20 viên bi Lời giải Số hộp số viên bi hộp phải ƣớc số 20 Ta có Ƣ  20   1;2 ;4;5;10;20  Vì khơng có hộp chứa hay 20 viên bi, nên số viên bi hộp ; 4;5;10 tƣơng ứng với số hộp 10 ;5; 4; Bài Năm Bình 12 tuổi Tuổi mẹ Bình bội số tuổi Bình Tìm tuổi mẹ Bình biết tuổi mẹ lớn 30 nhỏ 45 Lời giải Gọi x số tuổi mẹ Bình  x  ;30  x  45 Tuổi mẹ Bình bội số tuổi Bình nên x  B 12  Mà 30  x  45 nên x  36 thỏa mãn đk Vậy mẹ Bình 36 tuổi Bài Học sinh lớp 6A nhận đƣợc phần thƣởng nhà trƣờng em nhận đƣợc phần thƣởng nhƣ Cô hiệu trƣởng chia hết 129 215 bút chì màu Hỏi số học sinh lớp 6A bao nhiêu? Lời giải Ta thấy số phần thƣởng phải ƢC 129, 215 Có ƢC 129, 215  1; 43 Vì số học sinh lớp 6A nên số học sinh lớp 6A 43 Bài Tính số học sinh trƣờng biết lần xếp hàng , hàng , hàng , hàng vừa đủ hàng số học sinh trƣờng khoàng từ 415 đến 421 Lời giải Gọi x số học sinh trƣờng  x  ;415  x  421 Vì lần xếp hàng , hàng , hàng , hàng vừa đủ hàng nên x chia hết cho 4;5;6;7 Tức x  BC  4;5;6;7   0;420;840;  Mà 415  x  421 nên x  420 Vậy số học sinh trƣờng 420 học sinh B ƢỚC CHUNG LỚN NHẤT Dạng Tìm ƣớc chung lớn số cho trƣớc I.Phƣơng pháp giải Cách Để tìm ƢCLN số cho trƣớc ta thực quy tắc bƣớc phía Chú ý a  b  ƢCLN  a , b   b a : b dƣ r ƢCLN  a , b   ƢCLN  b , r  Cách Sử dụng thuật toán Ơclit Bƣớc Lấy số lớn chia số nhỏ Giả sử a  b.x  r + Nếu r  ta thực bƣớc + Nếu r  ƢCLN  a , b   b Bƣớc Lấy số chia, chia cho số dƣ, + Nếu r1  ta thực bƣớc + Nếu r1  ƢCLN  a , b   b Bƣớc Quá trình đƣợc tiếp tục đƣợc phép chia hết II.Bài toán Bài Tìm ƢCLN số a) ƢCLN 18,30  b) ƢCLN  24, 48 c) ƢCLN 18,30,15 d) ƢCLN  24, 48,36  Lời giải a) ƢCLN 18,30  Phân tích số thừa số nguyên tố b) ƢCLN  24, 48 Phân tích số thừa số nguyên tố 18  2.32 , 30  2.3.5 24  23.3 48  24.3 Từ ƢCLN 18,30   2.3  Từ ƢCLN  24, 48  23.3  24 c) ƢCLN 18,30,15 Phân tích số thừa số nguyên tố d) ƢCLN  24, 48,36  Phân tích số thừa số nguyên tố 18  2.32 30  2.3.5 , 15  3.5 24  23.3 , 48  24.3 , 36  22.32 Từ ƢCLN 18,30,15  Từ ƢCLN  24, 48,36   22.3  12 Bài Sử dụng thuật toán Ơclit để tìm a) ƢCLN 174,18 b) ƢCLN 124,16  Lời giải a) Ta thực theo bƣớc: Lấy 174 chia cho 18 ta đƣợc 174  9.18  12 Lấy 18 chia cho 12 ta đƣợc 18  1.12  Lấy 12 chia cho ta đƣợc 12  2.6  Vậy ta đƣợc ƢCLN 174,18  6 b) Ta thực theo bƣớc: Lấy 124 chia cho 16 ta đƣợc 124  7.16  12 Lấy 16 chia cho 12 ta đƣợc 16  1.12  Lấy 12 chia cho ta đƣợc 12  3.4  Vậy ta đƣợc ƢCLN 124,16   Dạng Tìm ƣớc chung hai hay nhiều số thỏa mãn điều kiện cho trƣớc I.Phƣơng pháp giải Bƣớc Tìm ƢCLN hai hay nhiều số cho trƣớc Bƣớc Tìm ƣớc ƢCLN Bƣớc Chọn số ƣớc thỏa mãn điều kiện cho Lưu ý: điều kiện tốn ước chung hai hay nhiều số ƯCLN số Cách tìm ước chung thơng qua ƯCLN Bƣớc Tìm ƢCLN hai hay nhiều số cho trƣớc Bƣớc Tìm ƣớc ƢCLN II.Bài tốn Bài Tìm ƣớc chung 24 180 thơng qua tìm ƢCLN Lời giải Phân tích số thừa số nguyên tố 24  23.3 , 180  22.32.5 Từ ƢCLN  24,180   22.3  12 Mà Ƣ 12   1;2;3;4;6;12 Vậy ƢC  24,180   1;2;3;4;6;12 Bài Tìm số tự nhiên x thõa mãn 90 x ; 150 x  x  30 Lời giải Số tự nhiên x thõa mãn 90 x ; 150 x nên x  ƢCLN  90,150  Phân tích số thừa số nguyên tố 90  2.32.5 , 150  2.3.52 Từ ƢCLN  90,150   2.3.5  30 Mà Ƣ  30   1;2;3;5;6;10;15;30 Vì  x  30 nên x  6;10;15  Bài Tìm số tự nhiên a , b biết ƢCLN  a , b   a.b  891 Lời giải Ta có ƢCLN  a , b   nên a  3k , b  3m ƢCLN  k , m   Giả sử a  b  k  m Ta có a.b  891  3k.3m  891  k.m  32.11 TH1: k  11, m   a  33; b  27 TH2: k  99, m   a  297; b  Bài Tìm số tự nhiên n để biểu thức A  15 có giá trị số tự nhiên 2n  Lời giải Để A số tự nhiên 2n  phải ƣớc 15 Ta có Ƣ 15  1;3;5;15 Do đó: + Với 2n    n  0, A  15 + Với 2n    n  1, A  + Với 2n    n  2, A  + Với 2n   15  n  7, A  Bài Tìm số tự nhiên x , y a)  x  1 y  5  b)  x  1 y  1  15 Lời giải a)  x  1 y  5   2.3  3.2  6.1  1.6 Ta có bảng sau: x 1 y 5 x y Vậy  x; y   1;8 , 2;7 , 5;6 , 0;11  2 6 11 5 2 15 b)  x  1 y  1  15  1.15  3.5  5.3  15.1 Ta có bảng sau: 2x  y 1 x y 15 Vậy  x; y    0;8 , 1;3 , 2;2 , 7;1  Dạng Bài toán có lời văn đƣa tìm ƢCLN I.Phƣơng pháp giải Bƣớc 1: Phân tích đề bài; suy luận để đƣa việc tìm ƢCLN hai hay nhiều số; Bƣớc 2: Áp dụng quy tắc bƣớc để tìm ƢCLN II.Bài tốn Bài Cơ giáo chủ nhiệm muốn chia 24 vở, 48 bút bi 36 gói bánh thành số phần thƣởng nhƣ để trao dịp sơ kết học kì Hỏi chia đƣợc nhiều phần thƣởng? Khi phần thƣởng có vở, bút bi gói bánh Lời giải Gọi a số phần thƣởng để cô giáo chủ nhiệm trao dịp sơ kết học kì (a  * ; a  24) Để số phần thƣởng nhiều a phải số lớn cho 24 a ; 48 a ;36 a Tức a  ƢCLN  24, 48,36  Ta có 24  23.3 , 48  24.3 , 36  22.32 Từ ƢCLN  24, 48,36   22.3  12  a  12 Vậy chia đƣợc nhiều 12 phần thƣởng Trong có vở, bút bi, gói bánh Bài Một hình chữ nhật có chiều dài 150m chiều rộng 90m đƣợc chia thành hình vng có diện tích Tính độ dài cạnh hình vng lớn cách chia ? (số đo cạnh số tự nhiên với đơn vị m ) Lời giải Để chia hình chữ nhật thành hình vng có diện tích độ dài cạnh hình vng phải ƣớc chung 150 90 Do độ dài cạnh hình vng lớn ƢCLN  90,150   30 Vậy độ dài cạnh hình vng lớn 30m Dạng Chứng minh hai hay nhiều số số nguyên tố I.Phƣơng pháp giải Bƣớc 1: Gọi d ƢCLN số Bƣớc 2: Dựa vào cách tìm ƢCLN tính chất chia hết tổng (hiệu) để chứng minh d  II.Bài toán Bài Chứng minh 22 hai số nguyên tố Lời giải Phân tích số thừa số nguyên tố 22  2.11.1,  1.5 Từ ƢCLN  22,5   Vậy 22 hai số nguyên tố Bài Chứng minh với số tự nhiên n , số sau số nguyên tố a) n  n  b) 2n  2n  c) 2n  n  d) n  3n  Lời giải a) n  n  Gọi d  ƢCLN  n  1, n     n  2 d   n     n  1 d  1 d  d  n  1 d Từ ƢCLN  n  1, n    Vậy n  1và n  số nguyên tố với n   b) 2n  2n  Gọi d  ƢCLN  2n  2, 2n     2n  2 d   2n  3   2n   d  1 d  d  2n  3 d Từ ƢCLN  2n  2, 2n    Vậy 2n  2n  số nguyên tố với n   c) 2n  n  Gọi d  ƢCLN  2n  1, n      n  1 d 2(n  1) d   2n     2n  1 d  1 d  d   2n  1 d 2n  1 d Từ ƢCLN  2n  1, n    d) n  3n  Gọi d  ƢCLN  n  1,3n      n  1 d 3(n  1) d   3n     3n  3 d  1 d  d   3n  4 d 3n  4 d Từ ƢCLN  n  1,3n    C BỘI CHUNG NHỎ NHẤT Dạng Tìm bội chung nhỏ số cho trƣớc I.Phƣơng pháp giải Bƣớc Phân tích số thừa số nguyên tố Bƣớc Chọn thừa số nguyên tố chung thừa số nguyên tố riêng 10 Bƣớc Với thừa số nguyên tố chung riêng, ta chọn lũy thừa với số mũ lớn Bƣớc Lấy tích lũy thừa chọn, ta nhận đƣợc BCNN cần tìm II.Bài tốn Bài Tìm: a) BCNN 15,18 c) BCNN  33, 44,55 b) BCNN  84,108 d) BCNN  8,18,30  Lời giải a) Ta có: 15  3.5 ; 18  2.32 BCNN 15,18  2.32.5  90 c) Ta có: 33  3.11 ; 44  4.11 ; 55  5.11 BCNN  33, 44,55  3.4.5.11  660 b) Ta có: 84  22.3.7 ; 108  22.33 d) Ta có:  23 , 18  2.32 , 30  2.3.5 BCNN  84,108  22.33.7  756 Bài Tìm: BCNN  8,18,30   23.32.5  240 a) BCNN 10,12  c) BCNN  4,14, 26  b) BCNN  24,10  d) BCNN  6,8,10  Lời giải a) Ta có: 10  2.5 ; 12  22.3 c) Ta có:  22 ; 14  2.7 ; 26  2.13 BCNN 10,12   23.3.5  60 BCNN  4,14, 26   22.7.13  364 b) Ta có: 24  23.3 ; 10  2.5 d) Ta có:  2.3 ,  23 , 10  2.5 BCNN  24,10   23.3.5  120 BCNN  6,8,10   23.3.5  120 Dạng Tìm bội chung hai hay nhiều số thỏa mãn điều kiện cho trƣớc I.Phƣơng pháp giải Bƣớc Tìm BCNN số Bƣớc Tìm bội BCNN Bƣớc Chọn số bội thỏa mãn điều kiện cho II.Bài toán Bài Tìm bội chung 10 thơng qua BCNN Lời giải Ta có BCNN  8,10   40 Vậy BC  8,10   0;40;80;120  Bài Tìm bội chung 8; 12 15 thơng qua BCNN Lời giải Ta có BCNN  8,12,15  120 11 Vậy BC  8,12,15  0;120;240;360  Bài Tìm số tự nhiên x thỏa mãn x ; x  x  50 Lời giải Vì x ; x nên x  BC  4,6   0;12;24;36;48;60;  Mà  x  50 nên x  0;12;24;36;48 Bài Tìm số tự nhiên x thỏa mãn x 20 ; x 35 x  500 Lời giải Vì x 20 ; x 35 nên x  BC  20,35   0;140;280;420;560;  Mà x  500 nên x  0;140;280;420 Bài Tìm bội chung 7; thơng qua BCNN Lời giải Ta có BCNN  7,9,6   122 Vậy BC  7,9,6   0;122;244;366  Dạng Tim số tự nhiên thỏa mãn điều kiện cho trƣớc I.Phƣơng pháp giải Sử dụng định nghĩa BCNN Khi tìm hai số biết ƢCLN BCNN tích hai số tích BCNN ƢCLN II.Bài tốn Bài Tìm số tự nhiên a,b biết a) a  b  BCNN  a, b   60 b) ƢCLN  a, b   BCNN  a, b   60 Lời giải a) BCNN  a, b   60  60 a,60b Hay a, b ƣớc tự nhiên 60 Các ƣớc tự nhiên 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 Vì a  b  nên a  b Ta xét bảng sau a b BCNN  a, b  6 Loại Vậy cặp số tự nhiên cần tìm 20 15 10 5 15 10 30 20 15 60 Loại Loại Nhận b) ƢCLN  a, b    a  5a1; b  5b1  a1, b1   Ta có a.b  5.60  300  a1.b1  12 12 Ta có bảng sau: a1 a b1 b Vậy cặp số tự nhiên  a, b  cần tìm là: 12 12 60 15 20 60 20 15  5,60 ;  60,5 ; 15, 20 ;  20,15 Bài Tìm số tự nhiên a, b biết a) a  b  BCNN  a, b   60 b) ƢCLN  a, b   BCNN  a, b   150 Lời giải a) BCNN  a, b   60  60 a,60b Hay a, b ƣớc tự nhiên 60 Các ƣớc tự nhiên 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 Vì a  b  nên a  b Ta xét bảng sau a b BCNN  a, b  5 6 10 30 Loại Loại Vậy khơng tìm đƣợc cặp số tự nhiên thỏa mãn đề Loại b) ƢCLN  a, b    a  5a1; b  5b1  a1, b1   Ta có a.b  5.150  750  a1.b1  30 Ta có bảng sau: a1 a 10 15 25 30 15 10 b1 b 150 75 50 30 Vì vai trị a, b nhƣ nên ta có cặ đảo ngƣợc vị trí Vậy cặp số tự nhiên  a, b  cần tìm là:  5,150  ; 150,5 ; 10,75 ;  75,10  ; 15,50  ;  50,15 ;  25,30 ;  30, 25 Bài Tìm số tự nhiên a, b biết a) ab  180 BCNN  a, b   60 b) Lời giải a) Gọi ƢCLN  a, b   k  a  ka1; b  kb1 với  a1, b1   Ta có: ab  k 2a1b1  180 Mà BCNN  a, b   ka1b1  60 13 a  BCNN  a, b   140 b Suy k  3; a1b1  20 Ta có bảng sau: a1 a b1 b Vậy cặp số tự nhiên  a, b  cần tìm là: b) Gọi ƢCLN  a, b   k Vì 20 20 60 12 15 60 15 12  3;60 ,  60;3 , 12;15 , 15;12 a  mà  4,5  nên a  4k , b  5k b BCNN  a, b   4.5.k  140  k  Vậy a  28, b  35 Bài Tìm số tự nhiên a, b biết a  b  42 BCNN  a, b   72 Lời giải Gọi ƢCLN  a, b   k Nên a  ka1, b  kb1 Ta có a  b  42  k  a1  b1   42 (1) BCNN  a, b   ka1b1  72 (2) Từ (1) (2) suy 42 k ,72 k hay k  ƢC  42, 72  k 1; 2;3;6 Thay k lần lƣợt trƣờng hợp ta thấy k = hoăc k = Khi đó: tìm đƣợc cặp  a, b   6,36  , 18, 24  Dạng 4: Bài tốn có lời văn I.Phƣơng pháp giải Bƣớc Gọi ẩn, đặt đơn vị, điều kiện cho ẩn Bƣớc Dựa vào đề biểu diễn kiện theo ẩn Bƣớc Tìm ẩn, so sánh điều kiện Bƣớc Trả lời kết luận II.Bài toán Bài Một số sách xếp thành bó 10 cuốn, 12 cuốn, 18 vừa đủ Tìm tổng số sách biết số sách khoảng 200 đến 500 Lời giải Gọi số sách cần tìm x quyển, ( x  , 200  x  500 ) Vì xếp thành bó 10 cuốn, 12 cuốn, 18 vừa đủ nên x10 , x12 , x18 suy x  BC 10,12,18 14 BCNN 10,12,18  360 BC 10,12,18   0;360;720;  Suy x 0;360;720;  , mà 200  x  500 nên x  360 (thỏa mãn điều kiện) Vậy số sách cần tìm 360 Bài Hai bạn A B học chung trƣờng nhƣng hai lớ khác A 10 ngày lại trực nhật, B 12 ngày lại trực nhật Lần hai bạn trực nhật vào ngày Hỏi sau ngày hai bạn lại trực nhật Lời giải Do 10 ngày A trực nhật lần nên ngày trực A B 10  Do 12 ngày B trực nhật lần nên ngày trực B B 12  Lần hai bạn trực ngày, để đến lần gần trực BCNN 10,12   60 Vậy sau 60 ngày hai bạn lại trực nhật Bài Số học sinh khối trƣờng khoảng từ 300 đến 400 Biết xếp hàng 5, 8, 12 thiếu em Tính số học sinh khối trƣờng Lời giải Gọi số học sinh khối trƣờng cần tìm x học sinh, ( x  ,300  x  400 ) Vì xếp thành 5, 8, 12 thiếu em nên x  5k  , x  8t  1, x  12m  suy x bôi chung 5, 8, 12 trừ BCNN  5,8,12   120 BC  5,8,12   0;120;240;360;480;600  Suy x  10;120;240;360;480;600  , mà 300  x  400  301  x   401 nên x   360  x  359 (thỏa mãn điều kiện) Vậy số học sinh khối 359 học sinh Bài Tìm số tự nhiên nhỏ cho chia cho dƣ 2, chia cho dƣ chia cho 25 dƣ 24 Lời giải Gọi x số cần tìm Vì x chia dƣ 2, chia cho dƣ 6, chia cho 25 dƣ 24 Nên x  chia hết cho 2, 7, 25 Do x   BCNN  3,7, 25  525 Vậy số cần tìm 525 – = 524 Bài Có ba hộp hình vng: Hộp màu đỏ cao 8cm, hộp màu xanh cao 7cm, hộp màu vàng cao 12cm Ngƣời ta xếp thành ba chồng nhau, chồng màu Hỏi chiều cao nhỏ chồng hộp 15 Lời giải Gọi chiều cao nhỏ chồng hộp x (cm) Ta có: x  BCNN  7,8,12   23.3.7  168 Vậy chiều cao nhỏ chồng hộp 168 (cm) Bài Tìm số tự nhiên x Biết số chia hết cho chia cho 2, cho 3, cho 4, cho 5, cho dƣ x  400 Lời giải Ta có: x   BC  2,3, 4,5,6   x  1 60;120;180; 240;300;360  x  61;121;181; 241;301;361 Do x chia hết x = 301 Bài Một liênđội thiếu niên xếp hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng thừa ngƣời Tính số đội viên liên đội biết số khoảng từ 100 đến 150 Lời giải Gọi số đội viên liên đội x (đội viên) Vì xếp thành hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng thừa ngƣơi nên: x  1 BC  2,3, 4,5  BCNN  2,3, 4,5  22.3.5  60 BC  2,3, 4,5   0;60;120;180;240;  Mà số đội viên khoảng từ 100 đến 150 Nên x 1  120  x  121 đội viên Bài Một phận máy có hai bánh cửa khớp với nhau, bánh có 18 cƣa, bánh xe hai có 12 cƣa Ngƣời ta đánh dấu “x” vào hai cửa khớp với Hỏi bánh xe phải quay cƣa để hai cƣa đánh dấu lại khớp với vị trí giống lần trƣớc? Khi bánh xe quay đƣợc vòng Lời giải Gọi số cƣa phải tìm x (răng) Ta có x12; x8 Vì x nhỏ nên x BCNN  8,12   2232  36 Vậy bánh xe phải quay 36 cƣa để hai cƣa đánh dấu lại khớp với vị trí giống lần trƣớc Khi đó:Bánh xe thứ quay đƣợc 36 : 18 = vòng Bánh xe thứ hai quay đƣợc 36 : 12 = vòng BÀI TẬP TƢƠNG TỰ TỰ GIẢI A ƢỚC VÀ BỘI, ƢỚC CHUNG - BỘI CHUNG CỦA SỐ TỰ NHIÊN Dạng Tìm tất ƣớc (bội) số 16 Bài Tìm số tự nhiên x cho a) x  Ƣ  20  x  b) x  B   18  x  72 c) x8 x  21 d) 20 x x  Bài Tìm tập hợp số tự nhiên vừa ƣớc 220 vừa bội 11 Dạng Tìm số tự nhiên thỏa mãn điều kiện chia hết Bài Tìm số tự nhiên n cho: a) 7 n b) 7 (n  1) c) (2n  6) (2n 1) d) (3n  7) (n  2) Dạng Viết tập hợp ƣớc chung (bội chung) hai hay nhiều số Bài Viết tập hợp sau: a) ƢC 15, 27  b) ƢC 15, 22  c) BC  4,  d) BC  6,15 Bài Viết tập hợp sau: a) Ƣ   , Ƣ 12  , ƢC  8,12  c) B 12  ; B 18  BC 12,18 b) B 16  , B  24  , BC 16, 24  d) Ƣ 16  , Ƣ  24  , ƢC 16, 24  Dạng 5: Bài tốn có lời văn Bài Có 10 bánh trung thu Bạn Ngọc muốn chia số bánh vào hộp Tìm số hộp số bánh hộp, biết số bánh hộp phải nhiều 10 Bài Bạn Ngọc mua cốc trà sữa Số cốc trà sữa cửa hàng bội số số cốc bạn Ngọc mua Tìm số cốc trà sữa cửa hàng, biết số cốc trà sữa lớn 116 nhỏ 123 Bài Tổ I lớp 6A nhận đƣợc phần thƣởng cô giáo chủ nhiệm em nhận đƣợc phần thƣởng nhƣ Cô giáo chủ nhiệm chia hết 54 45 bút bi Hỏi số học sinh tổ I lớp 6A bao nhiêu? Bài Tính số đồng chí đội văn nghệ bội đội, biết lần xếp hàng , hàng , hàng , hàng vừa đủ hàng số học sinh trƣờng khoàng từ 40 đến 45 Bài 10 Một số sách xếp thành bó 10 cuốn, 12 cuốn, 15 cuốn, 18 cuốn, vừa đủ bó Tính số sách đó, biết số sách khoảng 200 đến 500 B ƢỚC CHUNG LỚN NHẤT Dạng Tìm ƣớc chung lớn số cho trƣớc Bài Tìm ƢCLN số a) ƢCLN 14,32  b) ƢCLN  50, 60  c) ƢCLN 14,32, 20  d) ƢCLN  50, 48,60  17 Dạng Tìm ƣớc chung hai hay nhiều số thỏa mãn điều kiện cho trƣớc Bài Tìm ƣớc chung 42 30 thơng qua tìm ƢCLN Bài 3: Tìm ƢCLN tìm ƢC số sau: a) 144 420 c) 60 90 b) 60 132 d) 220 ; 240 ; 300 Bài Tìm số tự nhiên x thõa mãn 144 x ; 420 x  x Bài Tìm số tự nhiên x , y biết ƢCLN  x , y   x y  825 Bài 6: Tìm số tự nhiên , x biết: a) 35  x, 105  x x  b) 612  x, 680  x, x  30 c) 144  x, 192  x, 240  x x số tự nhiên có hai chữ số d) 280  x, 700  x, 420  x 40  x  100 e) 148 chia x dƣ 20 cịn 108 chia cho x dƣ 12 Bài 7: Tìm số tự nhiên x , y biết: a) x  y    b)  x   y  3  26 c)  x  5 y  3  15 d) xy  x  y  Bài Tìm số tự nhiên n để biểu thức saucó giá trị số tự nhiên A 16 n3 B 3n  n3 Dạng Bài tốn có lời văn đƣa tìm ƢCLN Bài Bạn Hà có 42 viên bi màu đỏ 30 viên bi màu vàng Hà chia nhiều vào túi cho số bi đỏ bi vàng đƣợc chia vào túi? Khi túi có viên bi đỏ viên bi vàng? Bài 10 Một hình chữ nhật có chiều dài 112m chiều rộng 36m đƣợc chia thành hình vng có diện tích Tính độ dài cạnh hình vng lớn cách chia ? (số đo cạnh số tự nhiên với đơn vị m ) Bài 11: Ba khối 6;7;8 theo thứ tự có 300 học sinh, 276 học sinh, 252 học sinh xếp thành hàng dọc để điều hành cho số hàng dọc khối nhƣ Có thể xếp nhiều thành hàng dọc để khối khơng có lẻ hàng? Khi khối có hàng ngang? 18 Bài 12: Mỗi công nhân hai đội đƣợc giao nhiệm vụ trồng số nhƣ (nhiều cây) Đội phải trồng 156 cây, đội phải trồng 169 Hỏi đội công nhân phải trồng đội có công nhân? Dạng Chứng minh hai hay nhiều số số nguyên tố Bài 13 Chứng minh 14 hai số nguyên tố Bài 14 Chứng minh với số tự nhiên n , số sau số nguyên tố a) n  n  b) 3n  10 3n  c) 2n  4n  d) n  4n  Bài 15: Chứng minh số sau nguyên tố nhau: a) 14n  21n  b) 2n  3n  C BỘI CHUNG NHỎ NHẤT Dạng Tìm bội chung nhỏ số cho trƣớc Bài Tìm a) BCNN  8,10, 20  f) BCNN  30,105 b) BCNN 16, 24  g) BCNN  28,30, 20  c) BCNN  60,140  h) BCNN  34,32, 20  d) BCNN  7,9,11 k) BCNN  42,70,52  e) BCNN  24, 40,162  l) BCNN  9,10,11 Dạng Tìm bội chung hai hay nhiều số thỏa mãn điều kiện cho trƣớc Bài Tìm số tự nhiên x thỏa mãn: a) x10 ; x15 x  100 b) x14 ; x15 , x 20 400  x  1200 Dạng Tim số tự nhiên thỏa mãn điều kiện cho trƣớc Bài Tìm số tự nhiên a, b biết a) a  b  BCNN  a, b   140 b) ƢCLN  a, b   BCNN  a, b   84 Dạng 4: Bài toán có lời văn Bài Một cơng ty dùng ba ca nô để trở hàng Ca nô thứ ngày cập bến lần, ca nô thứ hai ngày cậ bến lần, ca nô thứ ba ngày cập bến lần Hỏi lần đầu ba ca nơ cập bến lúc sau ngày ba ca nô lại cập bến lần thứ hai? Bài Đội đỏ lớp có ba bạn An, Bình, Mai Ngày đầu tháng đội trực ngày Cứ sau ngày An lại trực lần, sau ngày Bình lại trực lần sau ngày Mai lại trực lần Hỏi sau ngày đội lại trực vào ngày lần tiếp theo? Khi bạn trực lần 19 ĐÁP ÁN BÀI TẬP TƢƠNG TỰ TỰ GIẢI A ƢỚC VÀ BỘI, ƢỚC CHUNG - BỘI CHUNG CỦA SỐ TỰ NHIÊN Bài a) x  10; 20 b) x 24;32;40;48;56;64;72 c) x 0;8;16  d) x 5;10;20  Bài x 11;22;44;55;110;220  Bài a) n   1;3 b) n   2;8 c) n   1;3 d) n    Bài a) ƢC 15, 27   1;3 b) ƢC 15, 22   1  c) BC  4,7   0; 28;  d) BC  6,15  0;30;  Bài a) Ƣ  8  1; 2; 4;8  Ƣ 12  1; 2;3; 4;6; 12  ƢC  8;12  1; 2;  b) B 16   0;16;32;48;64;  B  24   0;24;48;72;  BC 16;24   0;48;  c) B 12   0;12;24;36;48;  B 18  0;18;36;54;  BC 12;18  0;36;  d) Ƣ 16   1;2;4;8;16  Ƣ  24  1; 2;3; 4;6;8;12; 24  ƢC 16;24   1;2;4;8  Bài Số bánh hộp 2;5 tƣơng ứng số hộp 5; Bài Số cốc trà sữa cửa hàng 120 Bài Số học sinh tổ I lớp 6A học sinh Bài Số đồng chí đội văn nghệ 42 đồng chí Bài 10 Số sách 360 B ƢỚC CHUNG LỚN NHẤT Bài a) b) 10 c) d) Bài ƢCLN  42,30   6  ƢC  42,30  1; 2;3 ;6  Bài a) ƢCLN 144, 420   12  ƢC 144, 420  1; 2;3; 4;6;12  b) ƢCLN  60,132   12  ƢC  60,132  1; 2;3; 4;6;12  c) ƢCLN  60,90   30  ƢC  60,90  1; 2;3;5;6;10;30  d) ƢCLN  220, 240,300  60  ƢC  220, 240,300  1; 2;3; 4;5;6;10;12;15; 20;30;60 20 Bài x  3; 4;6;12  Bài TH1: x  165; y  Bài TH2: x  55; y  15 a) x  7;35 b) x  34;68 d) x  70 c) x 12;16;48 Bài a) c) e) x  32  x; y   1;6 ,  2;2 ,  4;0  b)  x; y    4;5   x; y   10;4 ,  0;0   d)  x; y    0;2 ,  2;0  Bài n  0;1;5 n 4;5;6;9 Bài 9.Có thể chia đƣợc nhiều túi Trong có bi đỏ, bi vàng Bài 10 m Bài 11 12 hàng, Mỗi hàng khối 25 em Mỗi hàng khối 23 em Mỗi hàng khối 21 em Bài 12 Mỗi công nhân trồng đƣợc 13 Đội có 12 cơng nhân Đội có 13 cơng nhân Bài 13.14,15 chứng minh tƣơng tự C BỘI CHUNG NHỎ NHẤT Bài a) 40 b) 48 f) 210 g) 420 Bài 2.a) x 0;30;60;90 Bài a) a = 35, b =28 c) 420 h) 2720 d) 693 k) 5460 b) x 420;840 b)  84,3 ;  21,12  Bài 24 ngày Bài lần ngày 21 e) 3240 l) 990