UBND HUYỆN THANH SƠN PHỊNG GD&ĐT THANH SƠN ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI HỌC SINH NĂNG KHIẾU CẤP CỤM NĂM HỌC 2017–2018 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút, khơng kể thời gian phát đề Đề thi có 02 trang I TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm - Mỗi câu 0,5 điểm) Hãy chọn phương án trả lời ghi vào làm Câu Cho x y 7, xy 8 Giá trị x y bằng: A 33 B 65 C 47 D 15 x2 Câu Cho phương trình , giá ( x 2)( x 5) ( x 5)( x 10) ( x 10)( x 17) ( x 2)( x 17) trị x thỏa mãn là: A 15 B Câu Cho a, b, c thỏa mãn A C 1 1 bc ca ab 0 Giá trị biểu thức A là: a b c a b c B Câu Giá trị lớn biểu thức A B D -4 C x 15 là: x2 C D Kết khác D 11 Câu Giá trị m để (x – 1)(x2 + mx + 2) = x3 + 4x2 – 3x – là: A - B C D 2017 2018 Câu Biết đa thức x + 2x + ax + b chia hết cho đa thức x - Kết a + b là: A B C - D Câu Phương trình (2m - 7)x - = mx - vô số nghiệm m bằng: A B C D Câu Kết phép nhân (x2017 – 3x – 5)(x2018 + 2x – 1) đa thức có tổng hệ số là: A -12 B -14 C 10 D 2018 17 16 15 14 Câu Giá trị biểu thức B =x –12x +12x –12x + –12x2 +12x –1 với x=11 là: A 11 B 10 C -12 D 12 Câu 10 Tổng nghiệm phương trình (x – 1) + (x + 2)3 = (2x + 1)3 là: A 3 B -3 C D 5 Câu 11 Tam giác ABC có AB=12cm; AC=18cm Trên cạnh AB lấy điểm M cho AM=4cm, đường thẳng qua M song song với BC cắt AC N Độ dài đoạn thẳng NC A 9cm B 10cm C 14cm D 12cm Câu 12 Cho hình chữ nhật ABCD, AB=10cm, AD=6cm E, F, G, H theo thứ tự thuộc cạnh AB, BC, CD, DA cho AE=AH=CF=CG Tìm giá trị lớn diện tích tứ giác EFGH A B 37 C D 32 Câu 13 Cho hình bình hành ABCD có AC = 12 cm, BD = 9cm Từ C kẻ CE, CF vuông góc với AB, AD Tính giá trị AB.AE + AD.AF Kết là: A 144 cm B 81cm C 108cm D 189cm Câu 14 Cho tam giác ABC có AB = 3cm, AC = 5cm, đường phân giác AD Qua D kẻ song song với AB cắt AC E Độ dài AE là: A 1,8cm B 1,625cm C 1,875cm D 1,5cm Câu 15 Cho tam giác ABC có B 2C AB = 8cm, BC = 10 cm Độ dài cạnh AC bằng: A 10cm B 12cm C 9cm D 13cm Câu 16 Một ca nô xuôi dòng từ A đến B hết 10 phút ngược dòng từ B A hết 30 phút Tìm vận tốc riêng ca nơ biết vận tốc dòng nước 3km/h A 15 km/h B 12 km/h C 24 km/h D 26km/h II TỰ LUẬN (12,0 điểm) Trình bày lời giải đầy đủ cho toán sau: Câu (3,5 điểm) a) Cho hai số phương liên tiếp Chứng minh tổng hai số cộng với tích chúng số phương lẻ 1 b) Cho x, y, z số khác Chứng minh : Nếu x y z x y z 0 x6 y z xyz x3 y z Câu (3,5 điểm) Cho biểu thức P x 1 x2 x x2 : x2 x 1 x x x2 x a) Rút gọn P ; b) Tìm giá trị nhỏ P với x > x Giải phương trình: x 8 x 1 Câu (4,0 điểm) Cho hình vng ABCD có cạnh a Gọi E; F; G; H trung điểm cạnh AB, BC, CD DA; M giao điểm CE DF a) Chứng minh: Tứ giác EFGH hình vng ; b) Chứng minh DF CE tam giác MAD cân; c) Tính diện tích tam giác MDC theo a Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c cạnh tam giác có chu vi Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = a2 b2 c2 9abc Hết -Họ tên thí sinh: ; Số báo danh Thí sinh sử dụng máy tính Cán coi thi khơng giải thích thêm HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH NĂNG KHIẾU CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2017-2018 Mơn: TỐN Hướng dẫn chấm thi gồm 03 trang ( Học sinh làm theo cách khác cho điểm tối đa) Đáp án Điểm I TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm) Mỗi ý 0,5 điểm, học sinh chưa tìm, thiếu thừa kết không điểm Câu A Câu B Câu B, D Câu 10 A Câu C Câu 11 D Câu A Câu 12 D Câu D Câu 13 A Câu C Câu 14 C Câu B Câu 15 B Câu D Câu 16 C II TỰ LUẬN (12 điểm) Câu (3,5 điểm) a) Cho hai số phương liên tiếp Chứng minh tổng hai số cộng với tích chúng số phương lẻ b) Cho x, y, z số khác Chứng minh : 1 x6 y z x y z Nếu 3 xyz x y z x y z a) Gọi hai số a2 (a+1)2 0,25 Theo ta có: a2 + (a + 1)2 + a2( a + 1)2 = a4 +2a3 + 3a2 + 2a + = (a4 + 2a3 + a2) + 2(a2 + a) + = (a2 + a)2 + 2(a + 1) + = ( a2 + a + 1)2 số phương lẻ a2 + a = a(a + 1) số chẵn a2 + a + số lẻ b) Từ x y z 0 x y z 3xyz Ta có: 1 0 xy yz zx 0 x3 y y z z x 3x y z x y z x y z ( x3 y z ) 2( x3 y y z z x3 ) x y3 z3 3xyz x2 y z x2 y z xyz xyz 1,25 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu (3,5 điểm) x 1 x2 x x2 : Cho biểu thức P x x 1 x x x2 x a) Rút gọn P ; b) Tìm giá trị nhỏ P với x > x Giải phương trình: x 8 x 1 a) ĐKXĐ : x 0; x 1 2 x x 1 2 4 (theo bất đẳng thức Cauchy) b) Ta có : P ( x 1) x Min P = x 2 ĐKXĐ: x 1 Rút gọn ta : P x 8 x 1 Ta có : x 0,25 0,75 0.5 0,25 x x 8 x 2x x 1 x x2 x2 0 x x 1 0,5 y 4 x2 2 , ta được: y y 0 ( y 1) 9 x y + Với y 4 x 2 nghiệm + Với y : vơ nghiệm (vì ( x 1) với x ) Đặt y 0,5 0,75 Câu (4,0 điểm) Cho hình vng ABCD có cạnh a Gọi E; F; G; H trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA; M giao điểm CE DF a) Chứng minh: Tứ giác EFGH hình vng ; b) Chứng minh DF CE MAD cân ; c) Tính diện tích MDC theo a A E H B M F N D G C a) Chứng minh: EFGH hình thoi Chứng minh có góc vng 1,25 Kết luận Tứ giác EFGH Hình vng b) BEC CFD(c.g.c) ECB mà CDF vuông C FDC CDF DFC 900 DFC ECB 900 CMF vuông M 1,0 Hay CE DF Gọi N giao điểm AG DF Chứng minh tương tự: AG DF GN//CM mà G trung điểm DC nên N trung điểm DM Trong MAD có AN vừa đường cao vừa trung tuyến MAD cân A 0,75 c) CMDFCD (g.g) 2 S CD CD SCMD Do : CMD SFCD SFCD FD FD Mà : SFCD CF CD CD Vậy : SCMD CD CD FD Trong DCF theo Pytago ta có : 1 DF CD CF CD BC CD CD CD 4 2 Do : SMCD 1,0 CD 1 CD CD a 5 CD 4 Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c cạnh tam giác có chu vi Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = a b c 9abc Dễ dàng chứng minh BĐT: (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) abc (1) Từ (1) kết hợp với giả thiết a + b + c = 1, ta có: abc (1 – 2c)(1 – 2a)(1 – 2b) = – 2(a + b + c) + 4(ab + bc + ca) – 8abc 9abc 1 1 a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) - = (a + b + c)2 =1- = 2 2 Min P = (1) trở thành đẳng thức Suy ra: a = b = c = 9abc 4(ab + bc + ca) – P = a b c - Hết - 1,0