UBND HUYỆN THANH SƠN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN Năm học 2017 - 2018 PHÒNG GD&ĐT Mơn: Tốn Thời gian 150 phút khơng kể thời gian giao đề Đề thi có 03 trang I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) (Gồm 16 câu trắc nghiệm khách quan có nhiều lựa chọn Hãy chọn phương án viết tờ giấy thi.) Câu Giá trị biểu thức x x xác định khi: B x 5 A x 1 C x 5 D x 1 x 5 Câu Giá trị biểu thức A 13 48 bằng: A B C D Câu Giá trị biểu thức 2a 4a với a 2 bằng: A B C 2 D Câu Giá trị nhỏ của biểu thức x 2 x là: A C B 1 D 3 Câu Giá trị x0 = + nghiệm phương trình nào: A x3 - 3x2 + 2x - = B x3 + 3x2 +2x +6 = C x2 + 5x + = D x2 - 2x - = Câu Cho đường thẳng (d): y = -x + điểm M(0; -1) Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (d) là: A 1,4 B D 1,5 C Câu Phương trình đường thẳng (d) qua điểm K(4; ) tạo với trục Ox góc 300 là: 1 x 3 A 1 y x 3 C 1 x 3 B 1 y x 3 D y y Câu Cho đường thẳng (d) có phương trình y m 1 x m (với m tham số) Giá trị m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) lớn là: A B C D Câu Cho tam giác ABC vuông A có đường cao AH, AB = 9cm, HC = 9,6cm Độ dài AH là: A 7,2cm B 7,4cm C 7,6cm D 7,8cm Câu 10 Trong tam giác ABC, điểm D, E, F tương ứng nằm cạnh BC, CA, AB cho: BDF CDE, CED AEF, AFE BFD Biết AB = 5cm, BC = 8cm, CA = 7cm Độ dài đoạn thẳng BD bằng: A 1,5cm B 2cm C 2,5cm D 3cm Câu 11 Cho tam giác MNP vuông M có MH đường cao, cạnh , P 600 Kết luận sau đúng? MP MP 2 B A MNP 600 MNH 300 MN C D Câu 12 Cho tam giác ABC, gọi M trung điểm BC Một góc xMy 600 quay quanh điểm M cho cạnh Mx, My cắt cạnh AB AC D E Tích BD.CE bằng: BC2 BC2 A B 2 AM AM C D Câu 13 Cho tam giác ABC cân A, AH BK đường cao Hệ thức sau đúng? 1 2 2 A AH BC BK S ABC AB sin A C 1 2 2 B BK BC HA D AH HB.HC 30 Trên Câu 14 Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Vẽ dây AC cho CAB tia đối tia BA lấy điểm M cho BM = R Kết luận sau đúng? A MC tiếp tuyến (O) B MC R.2 C MC AC D MC R Câu 15 Cho đường trịn O đường kính AB Gọi d1 d2 tiếp tuyến A B Lấy C thuộc d1, qua C vẽ đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (O) M (M khác A) cắt d2 D Kết luận sau đúng? 1 2 A OC OD AB AB MC.MD C 1 2 B OC OD AB D MC.MD AC.BD Câu 16 Trên đường học về, ba bạn An, Bình, Cơng phát xe máy điện vượt đèn đỏ Các công an muốn ba bạn cung cấp thông tin biển số xe, bạn nhớ chi tiết sau: - Bạn An nói: “Đó số có chữ số” - Bạn Bình nói: “Hai chữ số đầu giống nhau, hai chữ số cuối giống nhau” - Bạn Cơng khẳng định: “Đó số phương” Một thời gian sau cơng an tìm xe vi phạm khen ngợi ba bạn học sinh Hai chữ số biển số xe là: A 33 B 55 C 77 D 99 II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu (3,0 điểm): y a) Tìm số tự nhiên x; y thỏa mãn: x 80 2017 p b) Tìm tất số nguyên tố p để p số nguyên tố Câu (3,5 điểm): a) Giải phương trình: x 5x x 10 x 24 x 3x 18 b) Giải phương trình: x x 3x 0 Câu (4,0 điểm): Cho điểm M di động đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hình vng AMCD, BMEF a) Chứng minh rằng: AE BC; 1 MD2 MF2 ; b) Gọi H giao điểm AE BC Chứng minh rằng: MH c) Gọi I giao điểm AC DF, kẻ IK vng góc với AB Biết MD = cm, MF = cm Tính độ dài đoạn thẳng IK Câu (1,5 điểm): Cho số dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M 2017 a ab abc a b c Hết (Cán coi thi khơng giải thích thêm) Họ tên thí sinh: Số báo danh: UBND HUYỆN THANH SƠN PHÒNG GD&ĐT HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9-THCS CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2017 - 2018 Mơn: Tốn (Học sinh làm theo cách khác tổ chấm thống cho điểm tương đáp án) I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) Câu Đáp án C A C C A;D B C Điểm 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 ứng với A 0,50 Câu 10 11 12 13 14 15 16 Đáp án A C B;D A B;C A;C;D A;C;D C Điểm 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Nội dung cần đạt Điểm Câu (3,0 điểm): y a) Tìm số tự nhiên x; y thỏa mãn: x 80 2017 p b) Tìm tất số nguyên tố p để p số nguyên tố y a) Biến đổi thành: x 1937 (1) Giả sử x; y số tự nhiên thỏa mãn (1) 2 Nếu y = (1) trở thành: x 1937 x 1936 x 44 ( x số tự nhiên) y * mod y N y Nếu Mặt khác x 0 mod 3 x 1 mod 3 ( Học sinh phải cm) y y x mod3 x 1 mod3 (2) Do Mà 1937 2 mod3 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (3) Từ (2) (3) suy không tồn số tự nhiên x, y thỏa mãn (1) Vậy x = 4; y = 0,25 b)Với p = ta có 2p + p2 = khơng số nguyên tố 0,25 Với p = ta có 2p + p2 = 17 số nguyên tố 0,25 Với p > ta có p2 + 2p = (p2 – 1) + (2p + ) > (1) 0,25 p Vì p lẻ p khơng chia hết p 13 13 0,25 p p Do p 3 (2) Từ (1) (2) suy p hợp số Vậy với p = 2p + p2 số nguyên tố 0,25 0,25 Câu (3,5 điểm): a) Giải phương trình: + = + x + x + x +10 x +24 x +3 x−18 b) Giải phương trình: x x 3x 0 a) ĐK: x 6; 4; 1;3 0,25 (*) Biến đổi dạng x 1 x x x x 3 x 1 1 x 1 x x x x x 0,25 0,25 x 1 x 0,25 x 3 x 1 x 3 x 1 x 1 x 3 x 1 x 3 x 1 x 3 0,25 x x 0 x x 0 x = x = (thỏa mãn điều kiện (*)) Vậy tập nghiệm phương trình: S = 0; 2 0,25 x b) ĐKXĐ: 0,25 Ta có (1) x x 3x 0,25 x 3 2x 3 x x 3 x 1 0,25 x 2( x 1) 3( x 1) x 3 2 x 1 0,25 x 1 (Tm) 3 (2) 2x 1 x 0,25 Vì (2) có vế trái nhỏ 1, vế phải lớn nên (2) vô nghiệm 0,5 0,25 Vậy (1) có nghiệm x 1 Câu (4,0 điểm): Cho điểm M di động đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hình vng AMCD, BMEF a) Chứng minh rằng: AE BC b) Gọi H giao điểm AE BC Chứng minh rằng: 1 2 MH MD MF c) Gọi I giao điểm AC DF, kẻ IK vuông góc với AB Biết MD = cm, MF = cm Tính độ dài đoạn thẳng IK C D I H O A E K M F B · · a) Chứng minh được: ∆AME = ∆CMB (c-g-c) EAM = BCM 0,5 · · · · · Mà BCM + MBC = 900 EAM + MBC = 900 AHB = 900 Vậy AE BC b) Gọi O giao điểm AC DM 0,25 0,25 1 HO AC DM 2 ∆AHC vng H có HO đường trung tuyến 0,25 · ∆DHM vuông H DHM = 900 0,25 · Chứng minh tương tự, ta có: MHF = 900 0,25 · · Suy ra: DHM + MHF = 1800 ba điểm D, H, F thẳng hàng Chỉ ∆DMF vuông M, đường cao MH 1 2 MD MF Áp dụng hệ thức lượng vào tg vng ∆DMF, ta có: MH · c) Ta có: DMF = 900 MF DM mà IO DM IO // MF Vì O trung điểm DM nên I trung điểm DF Vì IK AB (KAB) nên IK // AD // BF IK đường trung bình hình thang ABFD IK AD BF AM BM 2 Vậy 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Áp dụng định lý Pitago vào hai tam giác vuông cân AMD BMF, tính được: AM = 6cm ; BM = 3cm IK 0,25 AM BM 4,5cm 2 0,25 0,25 Câu (1,5 điểm): Cho số dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức M 2017 a ab abc a b c 1 a ab abc a a.4b a.4b.16c Ta có a 4b a 4b 16c 4(a b c ) a 2 3 3 M 2017 4( a b c ) a b c Vậy t Đặt t2 M 3 t 1 2014 2014 a bc 4 a 4b 16c M 2014 t 2 a b c Từ 1 a ;b ;c M 2014 21 21 84 Vậy Hết 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25