Hàm phức và phép biến đổi laplace

Ngô Ngọc Hưng (Chủ biên) Nguyễn Đức Phương Lã Ngọc Linh Hàm phức Phép biến đổi Laplace NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC CỊNG NGHIỆP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Ngô Ngọc Hưng (Chủ biên) Nguyễn Đức Phương Lã Ngọc Linh Hàm phức Phép biến đổi Laplace Ị~ - —- r _ _ • ■= H'/C ỪONÙ ĨP.K-Ỵ ■ NHÀ XUẤT BẢN TRƯỜNG ĐẠI HỌC CƠNG NGHIỆP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Lời nói đâu Được đồng ý Ban giám hiệu Ban lãnh đạo Khoa Khoa học Cơ bản, với góp ý thầy giáo mơn Tốn, nhóm tác giả xin giới thiệu đến thầy cô em sinh viên giáo trình Hàm phức phép biến đổi Laplace Nội dung giáo trình chia thành chương: Chương Chương Chương Chương Chương Số phức mặt phẳng phức Hàm biến phức Tích phân hàm phức Chuỗi thặng dư Biến đổi Laplace Các kiến thức trình bày ngắn gọn kèm theo ví dụ minh họa có lời giải chi tiết Để giáo trình khơng q nặng tính lý thuyết, hầu hết chứng minh định lý khơng trình bày, em sinh viên quan tâm xem thêm tài liệu tham khảo nêu cuối giáo trình Sau chương có tập sát với chuẩn đầu mơn học Nhóm tác giả xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Khoa Khoa học tạo điều kiện để nhóm tác giả hồn thành tài liệu này, đồng thời cảm ơn nhận xét, góp ý phản biện đồng nghiệp để giáo trình hồn thiện Nhóm tác giả hy vọng giáo trình người bạn đồng hành giúp ích nhiêu cho sinh viên giảng viên trình dạy học mơn Hàm phức phép biến đổi Laplace Trân trọng! Thành phố Hồ Chí Minh, tháng nãm 2023 Các tác giả Trang thông tin giáo trình https://github.com/khoacoban/hamphuc Nhằm tạo cầu nối tác giả bạn đọc, đả thiết lập trang thông tin hỗ trợ địa Ở trang sẽ: Tiếp nhận phản hồi độc giả: Mặc dù cố gắng trình biên soạn chắn khống thể tránh khỏi thiếu sót Chứng tơi mong muốn tiếp tục nhận ý kiến đóng góp đồng nghiệp em sinh viên để giáo trình hồn thiện lần tái sau Thông tin sai sót: Chúng tơi đăng lỗi, đính trang thơng tin Các tác giả Mục lục Lời nói đầu Trang thông tin giáo trình Số phức mật phẳng phức 1.1 Số phức phép tính 1.2 Mặt phẳng phức 1.3 Đường cong miền mặt phang phức 1.3.1 Đường cong 1.3.2 Miền 1.4 Bài tập chương 1 9 11 12 Hàm biến phức 2.1 Hàm biến phức 2.1.1 Định nghĩa 2.1.2 Phần thực phần ảo hàm biến phức 2.2 Phép biến hình thực hàm biến phức 2.3 Giới hạn liên tục 2.3.1 Giới hạn hàm biến phức 2.3.2 Liên tục 2.4 Đạo hàm 2.4.1 Điều kiện khả vi Cauchy Riemann 2.4.2 Các quy tắc tính đạo hàm 2.4.3 Hàm giải tích 2.4.4 Quy tắc L'Hospital 2.5 Hàm điều hòa 2.6 Bài tập chương 18 18 18 18 19 22 22 24 25 26 29 30 31 31 33 Tích phân hàm phức 3.1 Tích phân đường hàm phức 38 38 Trang ii 3.2 3.3 3.4 3.5 Mục lục 3.1.1 Cách tính 3.1.2 Tính chất Định lý Cauchy Tích phân khôngphụthuộc đường Công thức tích phânCauchy Bài tập chương 39 43 45 48 51 53 Chuỗi thặng dư 59 4.1 Dãy số phức chuỗi số phức 59 4.1.1 Dãy số phức 59 4.1.2 Chuỗi số phức 60 4.2 Chuỗi lũy thừa 63 4.3 Chuỗi Taylor 65 4.3.1 Khai triển Taylor hàm giải tích 65 4.3.2 Phương pháp khai triển 66 4.4 Chuỗi Laurent 69 4.4.1 Khai triển Laurent hàm giải tích 69 4.4.2 Phương pháp khai triển 72 4.5 Điểm bất thường cô lập hàm giải tích 77 4.5.1 Định nghĩa 78 4.5.2 Phân loại 78 4.5.3 Khơng điểm hàm giải tích 81 4.5.4 Điểm bất thường cô lập vô 83 4.6 Thặng dư định lý thặng dư 84 4.6.1 Thặng dư 84 4.6.2 Định lý thặng dư 88 4.7 Úng dụng thặng dư tính tích phân 91 4.7.1 Tích phân dạng , 91 4.7.2 Tích phân dạng 93 4.7.3 Tích phân dạng 96 4.8 Bài tập chương 100 Biến đổi Laplace 109 5.1 Định nghĩa điều kiện tồn 109 5.1.1 Một số ví dụ biến đổi Laplace Ill 5.1.2 Tính chất biến đổi Laplace 114 5.1.3 Biến đổi hàm tuần hoàn 122 5.1.4 Biến đổi tích chập 124 Trạng iii Mục lục 5.2 5.3 5.4 5.5 Phép biến đổi Laplace ngược 125 Các phương pháp tìm biến đổi Laplace ngược 126 5.3.1 Sử dụng tính chất phép biến đổi Laplace 126 5.3.2 Sử dụng định lý Borel 128 5.3.3 Phân tích thành tổng phân thức tối giản 129 5.3.4 Sử dụng thặng dư 132 Úng dụng phép biến đổi Laplace 137 5.4.1 Giải phương trình vi phân tuyến tính 137 5.4.2 Giải hệ phương trình vi phân tuyến tính 140 5.4.3 Giải mạch điện 142 Bài tập chương 150 A Tính chất biến đổi Laplace 157 B Bảng đối chiếu gốc ảnh 158 c Các hàm số sơ cấp 159 Trang iv Mục lục Chương SÔ phức mặt phăng phức Trong tập số thực, phương trình đại số đơn giản X2 4- — nghiệm Để giải phương trình này, người ta đưa vào khái niệm số phức Trong tập số này, phương trình đại số có nghiệm 1.1 Sơ phức phép tính Định nghĩa 1.1 số phức số có dạng z — X 4- z'y, X y số thực i đơn vị ảo (ỉ2 = — 1) Số thực X gọi phần thực z, ký hiệu Re(z) y phần ảo z, ký hiệu Im(z) Nếu X = 0, y z = iy gọi số ảo Tập hợp số phức ký hiệu c Chẳng hạn z = — 9z' Re(z) = 4, Im(z) = —9 Định nghĩa 1.2 Hai số phức Z1 — Xi 4- zyi, Z2 — *2 + z'y2 gọi phần thực phần ảo chiíng tương ứng Ví dụ 1.1 Tìm X y, (x y) 4- i(x — 2y) = 3z Giải Dùng định nghĩa hai số phức nhau, ta thấy X y thỏa hệ phương trình X y = J X = x-2y = 3^\y = -ỉ Định nghĩa 1.3 số phức z — X — iy gọi số phức liên hợp z = X z'y Trang Chương Sô phức va mặt phăng phức Định nghĩa 1.4 Với số phức Z1 = X1 + zyi, Z2 — x2 + Íy2/ = X + iy, ta định nghĩa phép tính sau • Phép cộng Z1 + 22 — (xi + X2) + z'(yi + yz) • Phép nhân - yiỉ/2) + í(X1Ị/2 + *23/1 ) Z1Z2 = (*12 • Phép chia 21 21Z2 / x_ 22 222 , ~ = -^Ế(với Z2 Ỷ 0) » Tính chất 1.1 Phép cộng phép nhân có tính chất sau • Giao hốn 21 + Z2 — 22 + 21 2122 = 2221 • Kết hợp 21 + (22 + 23) — (zi 4- 22) + 23 21(2223) = (2122)23 • Phân phối 21(22 + 23) = Z1Z2 + 21Z3 Ví dụ 1.2 Cho hai số phức Z1 — + 2z, Z2 = — + 3i Ta có • Phép cộng 21 + 22 — (1 — 2) + z(2 + 3) = —1 + 5z • Phép nhân Z1Z2 = (1 + 2z)(—2 + 3z) - l.(—2 + 30 + 2í.(-2 + 30 = —2 + 3/ — 4/ + 6i2 = — — i Chương Biến đổi Laplace Trang 150 Thay RC = 106.10~6 = ta d7+v = u(t)-u(t-2) Đặt V = %{p} biến đổi Laplace hai vế phương trình trên: sV — v(0) + V = e 2s S s Vì v(0) — 0, ta có (s + l)V = s s dẫn đến V e~2s s(s + l) 1 s s +1 s(s + l) e~2s e~2s s ”*-$ + ! Vậy hiểu điện V V = - e-í - u(t - 2) + u(t - 2)e~f+2 5.5 Bài tập chương Bài tập 5.1 Các hàm sau có phải hàm gốc khơng? Nếu khơng sao? a' _ I0 V = I (t-3)”1 b' ^(í) = {e5/ t < t > khí t < t > t < c- t > Trang 151 5.5 Bài tập chương d /(f) = p t3e 2t t > Bài tập 5.2 Chứng minh hàm /(f) = khơng có biên đơi Laplace Bài tập 5.3 Tìm biến đổi Laplace hàm a g(f) = ef + 3e"2í + t3 b g(f) = sin2f — cos c g(f) — e~3í sin2f d g(f) = 3t cos4f e g(f) = sin2f — 2t cos2f f g(f) = cos2 t g- gơ) = t(t -2)ef h g(f) = f3e-f + 2fef — i g(0 = e~3í(f2 - 3t + 5) j g(f) = 2f sinf — 5ef cos2t + Bài tập 5.4 Tun biến đổi Laplace hàm a ,ơ) = e2^ — , ,, sin21 b g(í) = l' c’ sW — ~ ^)-(^ “ 3)2eí-3 đ- g(0 = — l/e'"1 cos3(f - 1) e g(0-n(f-2).(f2-2) í g(t) — u(t — l).3fe-2f Chương Biến đổi Laplace Trang 152 xcos2xdx rí h £Ơ) “ / e~2x sin5xdx 7o i £Ơ) — Ị sin23xí/x j £Ơ) — / X3e2xdx 7o Bài tập 5.5 Tìm biến đổi Laplace hàm 1" e2^ a /(f) = f < [2- f < f < 1° f > ff < f < ^1 t > r2 < f < t2 [° e /(f) = < cos t k0 rl í- /(f) = -1 f > f < 7Ĩ n < f < f > < f < < f < k0 f > rl < f < g- /(f) = < -3 2f < f < f > 5.5 Bài tập chương Trang 153 Bài tập 5.6 Tìm biến đổi Laplace hàm tuần hoàn chu kỳ T a = (ĩ, I b < t < < t < ' /(f) = If ' < t < khi < t < 2' Id c- /(f) = if d /(f)=P, I cos t < t < < t < ' T=3 T=2 T=4 < t < 7T 7Ĩ < t < 2tt' T — 27Ĩ Bài tập 5.7 Tìm biến đổi Laplace ngược hàm a’ F(s) = ? f F~ s2 + 4s + 13 b- f = râ _, S) = f( c F(s) = 11 (s-2)3 L,1 » d- F(s) = 7— v ’ (s + l)2 + e’ F(s) = s2 —4s + s—4 F(s) _, = , 2s -1 h (s + l)(s + 3) i- F(s) = L-7 ỵ ■ s2 - f (s) = (s2 + 4)(s2 + 9) z 'f Chương Biên đôi Laplace Trang 154 P~7TS k F(s) = s 24 v s(s2 + 4) n- F(s) = ỈZĨ I A 1- F(s) = ^2 p-2s »■ F(s> - (S-4)> s0 + sz m' F(s) = (s+2)2(s —1) p F(s) = p-3s c' -s2 - 5s + Bài tập 5.8 Sử dụng tích chập tìm biến đổi Laplace ngược hàm a F(s) — 7-5—-— , 7—-——T (s2 + l)(s2 + 4) c F(s) = b F(s) = , , s2(s2 + 9) d’ f(s) (s-l)2(s2 + l) Bài tập 5.9 Sử dụng thặng dư tìm biến đổi Laplace ngược hàm b' F(s)“ (S-D0 + 2)2 c’ = s3(s — 1) d- f(s) = 77 - - T7 (s-l)(s-2)(s-4) e- = ỉéị f' F= (s2 + 1)2 Bài tập 5.10 Sử dụng biến đổi Laplace giải phương trình vi phân a- y' - 2y = 2e b y' - 3y = e3f; y(0) = y(0) = -3 Trang 155 5.5 Bài tập chương 1/(0) = c y' + 4y = t; y(0) =—2 á.ý-y = t-, y(0) = 0, y'(0) = e ý' - 3y' + 4y = 4f - 3; y(0) = 0, y'(0) = f y" + 4y = sin t; g-y"-y = f; y(0) =-i,y'(0) = h y" - 3y' + ly = 3e-2f; i y" - 4y' + 3y = ef; y(0) = 1, y'(0) = j y" - 6y' + 9y = e3/; y(0) = 0, y'(0) = k y" + 4y' + 4y = fe~2í; y" + 9y = cos3t; y(0) = 1, y'(0) = -1 y(0) = 0, y'(0) = y(0) — 0, y'(0) = m y" - y = 4sinf + 5cos2f; n y" + tư2y — 0; y(0) = A, y'(0) = B, tư số thực khác o y" + ky' — 2/c2y = 0; p y"' + 4y' == 1; y(0) = 2, y'(0) — 2k, k số thực dương y(0) = y'(0) = y"(0) = q ý" - ly" -yr + ly = e~2‘; r y(4) - y = 0; y(0) — 1, y'(0) = y(0) = 0, y'(0) = 0, y"(0) = y(0) = 1, y'(0) = y"(0) = y"'(0) = Bài tập 5.11 Sử dụng biến đổi Laplace giải phương trình vi phân //X (1 a- y - 4y = C I0 < t < Vk; y c ' t > , y(°) = y (0) = // X b-y+4y=r I < t < ; t > y(0)=y'(0) = c-y ,, , I sin t < t < 7T ; kNíìl i,(0) =4 Trang 156 đ y' + 2y = Chương Biến đổi Laplace o < t < e-í < t < ; t > Í 1/(0) = Bài tập 5.12 Sử dụng biến đổi Laplace giải hệ phương trình vi phân x' y' 2x b x' y' 4x 2x 4- 4y c x' y' 3x 2x — 4y = 9e2f — 3y — 3e2í d x' y' 2x — 4y = cos t X 4- 2y = sint ' x' y' X - y X + y ’ x' ý 2x + 4y + e4f X + 2y a x(0)=8,y(0)=3 y 4- 6ị/ = = 0 ' x(0) = 3,1/(0) = 15 x(0) = 2, y(0) = x(0) = y(O) = x(0) = l,y(0)=0 x(0) = l,y(0)=0 Phu luc A Tính chất biến đổi Laplace F(S)=^{/(f)},G(S)=^U(t)} f(t), g(i) + bg(t) aF(s) + bG(s) F(s - à) e~sTF(s) s"F(s) (-l)«F(»)(s) fó f(x')đx F(s) ỉíỉl t Ịs+°° F(u)du f(t)=f(t + T) g(t) * f(t) _ s Jo 1-e-sT F(s) • G(s) /"-’’(O) Phụ lục B Bảng đối chiếu gốc ảnh F(S) /(f) 1 eat t tn sin kt r cos kt shkt chkt * s s—a «2 n\ sn+l k s2 + k2 s s2 4- k2 k s2-k2 s s2-k2 Phụ lục c Các hàm số sớ cấp Hàm hữu tỷ /(z) = ữ.nzn + #n_]Zn + • • • + ữQ bmz™ + bm.ỵzm-ỵ + + fco với ap,bq(p — 0,1, • • • , n; q = 0,1, , m) số phức số an, bm Các trường hợp riêng hàm hữu tỷ (a) Hàm tuyến tính: f(z) = az + b (b) Hàm lũy thừa: f(z) = z”( với n € z) (c) Hàm đa thức: /(z) = anzn + «„_-iz"-1 + • • • + «0/ với an 7^ (d) Hàm phân tuyến tính: /(z) = Các hàm siêu việt (a) Hàm mủ: ez — cx(cosy + ỉ siny) (b) Hàm sin: sinz = 2i(eiz ~ e~iz) (c) Hàm cosin: cosz = I (czz + e~ỉz) (d) Hàm sin hyperbolic: shz = I (ez — e-2) = —i sin(zz) (e) Hàm cosin hyperbolic: chz = (eZ + c~z) = cos(zz) Các hàm siêu việt xác định, liên tục với z có tính chất sau • Nếu z — X ez = ex Trang 160 c Các hàm sô sơ câp |e21 = ex 0, tức ez 7^ với z £>^2 • ~^~^2 — • el(p — cos (ị) -T i sin (p (cơng thức Euler) • ez tuần hồn với chu kỳ 2tĩì pZ+kZ-ni = ez(cos/c27T + i sinÀ:27r) = ez( với k z ) • ez giải tích Vz e c (ezỴ = ez • Với z = X IR, ta có sinz = ^?{(cosx + /sinx) — [cos(—%) + z‘sin(—x)]} — sinx Tương tự, z = X € R cos z = cos X Như vậy, z = X e R, hàm lượng giác biến phức trùng với hàm lượng giác biến thực • • sin z hàm lẻ, cos z hàm chẵn sinz COSZ giải tích Vz G c (sinz)7 — cosz, (cosz/ = — sin z shz chz giải tích Vz e c (shz)7 — chz, (chz/ = shz Tài liêu tham khảo [1] Nguyễn Kim Đính Hàm Phức Và ứng Dụng Nhà xuất Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh, 2012 [2] Võ Đăng Thảo Hàm Phức Toán Tử Laplace Nhà xuất Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh, 2015 [3] Theodore w Gamelin Complex Analysis, springer, 2001 [4] A Wunsch Complex Variables with Applications Pearson Educa­ tion, 2005 [5] Edward B Safi and Arthur David Snider Fundamentals of Com­ plex Analysis with Applications to Engineering, Science, and Mathe­ matics (3rd Edition) Pearson, 2003 [6] Dennis G Zill and Patrick D Shanahan A First Course in, Com­ plex analysis Jones and Bartlett Publishers, UK, 2003 [7] Matthias Beck, Gerald Marchesi, Dennis Pixton, and Lu­ cas Sabalka A First Course in Complex Analysis, Version 1.54 Orthogonal Publishing, New York, 2018 URL http: //orthogonalpublishing.com/ [8] James Ward Brown and Ruel V Churchill Complex variables and applications, 8th edition McGraw-Hill, New York, 2009 [9] Phil Dyke An Introduction to Laplace Transforms and Fourier Series Springer, 2014 [10] Wilbur R LePage Complex Variables and the Laplace Transform for Engineers Dover Publications, 2012 Trang 162 Tài liệu tham khảo [11] Vladimir Eiderman An Introduction to Complex Analysis and the Laplace Transform Chapman and Hall/CRC, 2021 [12] by Naklìlé H Asmar and Loukas Grafakos Complex Analysis with Applications Springer, 2018 [13] Raymond A Decarlo and Pen-Min Lin Linear Circuit Analysis: A Laplace Transform Approach, Vol Pearson College Div, 1995 [14] Noel M Morris and Frank w Senior Electric Circuits Red Globe Press London, 1991 [15] Paul J Nahin Transients for Electrical Engineers: Elementary Switched-Circuit Analysis in the Time and Laplace Transform Do­ mains (with a touch of MATLAB®) 1st ed Springer, 2019 [16] Raymond A DeCarlo and Pen-Min Lin Linear Circuit Analysis: Time Domain, Phasor, and Laplace Transform Approaches (The Oxford Series in Electrical and Computer Engineering) Oxford University Press, 2001 [17] James A Svoboda and Richard c Dorf Introduction to Electric Circuits, 9th Edition Wiley, 2013 HÀM PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐÔI LAPLACE TS NGỒ NGỌC HƯNG (Chủ biên) ThS NGUYỄN ĐỨC PHƯƠNG ThS LÃ NGỌC LINH NHÀ XUẤT BÃN ĐẠI HỌC CỒNG NGHIỆP TP HỒ CHÍ MINH 12 Nguyễn Văn Bảo - p - Q Gò vấp - TPHCM ĐT: (028) 3894 0390 - 816 ; Fax: (028) 3994 0650 Email: nhaxuatban@iuh.edu.vn Chịu trách nhiệm xuât bản: TRƯƠNG NGỌC THƠI Biên tập: LÊ THỊ TIÊU NHI Sửa in: ĐOÀN THANH ĐIỀN Trình bày bìa: VÃN SANG f Đơi tác liên kêt: Khoa Khoa học Cơ - Trường đại học Công nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh A ISBN : 978-604-920-173-8 In 500 khổ 16 X 24 cm theo Quyết định xùất số: 03/QĐNXBĐHCN ngày 09/03/2023 với xác nhận đăng kí xuất số 511 2023/CXBIPH/1 - 03/ĐHCNTPHCM ngày 23/02/2023 In Xưởng in NXB Đại học Công nghiệp TPHCM, nộp lưu chiểu tháng 04/2023 TV ĐHCN TP.HCM 100296827 ISBN: 978-604-920-173-8 Giá: 50.000 VNĐ r