Toán 8 gtln gtnn

CHUYÊN ĐỀ TÌM MIN, MAX CỦA BIỂU THỨC I.LÝ THUYẾT Định nghĩa Cho biểu thức A  x; y; z  Khi hảng số M giá trị lớn (GTLN) A  x; y; z  thỏa mãn hai điều kiện sau: Với x; y; z mà A  x; y; z  xác định mà A  x; y; z  M Tồn số  x; y; z  cho A  x; y; z  M Cho biểu thức A  x; y; z  Khi hảng số N giá trị lớn (GTNN) A  x; y; z  thỏa mãn hai điều kiện sau: Với x; y; z mà A  x; y; z  xác định mà A  x; y; z  N Tồn số  x; y; z  cho A  x; y; z  N II.LUYỆN TẬP Dạng 1: ĐA THỨC BẬC ĐƠN GIẢN Phương pháp giải:Áp dụng đẳng thức số số Bài 1: Tìm GTNN của: A( x)  x  x  24 HD: A( x)  x  x  24 ( x  2)  20 20x  A( x) 20  x 2 Bài 2: Tìm GTNN của: B( x) 2 x  x 1 HD: B( x) 2 x  x  2( x  x  4)  2( x  2)    minB   x 2 Bài 3: Tìm GTNN của: C ( x) 3x  x  HD: 13  13 1 C ( x) 3 x  x  3( x  )    x 12 12 Bài 4: Tìm GTNN của: A( x)  x  x  HD: 9 2 A( x)  x  x   5( x  x  )  5( x  )    x  5 5 5 Bài 5: Tìm GTNN của: B( x)  3x  x  HD: B( x )  3x  x   3( x  13 13 )    x 12 12 Bài 6: Tìm GTNN : A 9 x  x  x   HD: 2 Đặt: 3x  t  t 9 x  x   E t  4t  2 Bài 7: Tìm GTLN của: A  x 1   3x    x  11 HD:  17  569 569 A 4 x  x   x  12 x   x  11  5x  17 x  14   x     10  20 20  2 Bài 8: Tìm của: A  x  3   x  1 2 HD: A  x  x   x  x  2 x  8x  10 2  x    2 2 Bài 9: Tìm của: B 2  x  1   x     x  3 HD: 2 B 2 x  x   x  x   x  x   x  x  22  x    38  38       Bài 10: Tìm Min của: P 5 x  x   HD: TH2: x   P 5x  x  TH1: x   P 5x  x Dạng 2: ĐA THỨC BẬC ĐƠN GIẢN Phương pháp giải: Phân tích thành biểu thức tương đồng để đặt ẩn phụ Sử dụng phương pháp nhóm hợp lý làm xuất nhân tử để đặt ẩn phụ 2 Sử dụng đẳng thức  a b  ,  a  b  c  Dạng 2.1: ax4 + bx3 + cx2 + d Bài 1: Tìm GTNN của: C x  x  x  20 x  22 HD: C  x  x  x    x  x    Bài 2: Tìm của: I x  x3  11x 12 x  20 HD: I  x  x  11x  12 x  20  x x  x   x  12 x  20   2 I  x  x  3  x  x    x  x  3   x  3  2   Bài 3: Tìm GTNN của: A( x)  x  x3  10 x  x  HD: A( x) x  x3  10 x  x  ( x  x3  x )  ( x  x  9) ( x  3x)  ( x  3) 0x  x  3x 0  A( x) 0    x 3  x  0 Bài 4: Tìm GTNN của: B( x) x  10 x3  26 x  10 x  30 HD:  x  x 0 B( x) x  10 x  26 x  10 x  30 ( x  x)  ( x  5)  5    x 5  x  0 Bài 5: Tìm GTNN của: C ( x)  x  x3  3x  x  2017 HD: C ( x)  x ( x  2)  x( x  2)  ( x  2)  2015 ( x  2)( x  1)  2015 2015  x 1 Bài6: Tìm GTNN của: D( x)  x  x  x  HD: D( x) x  x   x  x 1  ( x  1)  ( x  1)  5  x  Bài 7: Tìm GTNN biểu thức: A a  2a  4a  HD: A a  a    2a  a     a    =  a    a  2a  1  3 dấu a=1 Dạng 2.2: (x+a)4 +( x+b)4 + 4 Bài 1: Tìm GTNN của: D  x     x   HD: 4 Đặt: x   y  D  y  1   y  1 2 y  12 y  2 Bài 2: Tìm của: A  x     x   HD: A  x  x   x  x   x  x  16  2 x  8x  x  x  x  16  2 x  x     8x  2 x    24 x  32 2 x   40  40  Bài 3: Tìm max của: F 2   x  1   x   HD:  Đặt x  t  F 2   t  3   t  3   F 3 t  6t   t  6t   6t  324t  484 6 t  54t  484  F   t       27  3890 3890  Bài 4: Tìm của: G  x  3   x   HD: 4 Đặt x  t  G  t  5   t  5  t  10t  25  t  10t  25     2 G 2t  300t  1250 2 t  2.75t  5625  10 2 t  75  10  10     Dạng 2.3: x(x+a)( x+b)(x +c)(x+d)(x+e) + … Bài 1: Tìm GTNN của: A  x  x  3  x    x   HD: A  x  x  7  x  3  x    x  7x x  7x  12 ,    Đặt x  7x  t Khi đó: A  t    t   t  36  36  x 1 2 Dấu “ = ” t 0  x  7x  0    x 6 Vậy Min A= - 36 x=1 x=6 Bài 2: Tìm GTNN của: B  x  1  x  3  x  x   HD: B  x  x  x  x  , Đặt x  x  0 Khi đó:    B  t  1  t  1 t   , Dấu “ = “ t 0  x  x  0  t 2 Bài 3: Tìm của: A x  x    x    x    HD: A  x  x    x    x     x  x x  x   , Đặt x  x  t Khi đó:    A  t    t    t  16  t   , Dấu “ = “ Khi đó:  x   t 0  x  x  0    x   Bài 4: Tìm GTNN của: B  x 1  x    x  3  x   HD: B  x  1  x    x    x  3  x  5x  x  5x  , Đặt x  5x  t , Khi đó:    B  t  1  t  1 t   , Dấu “ = “ t 0  x  5x  0  x    2 Bài 5: Tìm GTNN của: A  x  x    x  x   HD: Đặt x  x  t Khi đó: A  t    t   t  16  16  x 1  x  2 Dấu “ = “ xảy khi: t 0  x  x  0   Bài 6: Tìm GTNN : C  x  1  x    x  3  x   HD: C  x  1  x    x    x  3  x  5x  x  5x  , Đặt x  5x t Khi đó:     x 0  x  C  t    t   t  36  36 , Dấu “ = “ t 0  x  5x 0   Bài 7: Tìm GTNN của: D  x  1  x    x  3  x  1 HD: D  x  1  x  3  x    x  1  x  5x  x  5x  , Đặt x  5x t , Khi đó:      25  25 D  t  3  t   t  t   t     , Dấu “ = “ khi: 4  2 1   29 t   x  5x   x  2 Bài 8: Tìm của: C  x  1  x    x  3  x    2011 HD: C  x  1  x    x    x  3  2011  x  5x  x  5x   2011 , Đặt x  5x  t    Khi đó: C  t  1  t  1  2011  x  5x  0  x   5 Bài 9: Tìm max của: E 5    x   x    x  3  x   HD: E 5   x  1  x    x    x  3  x  5x  x  5x   , đặt x  5x t    2 Khi đó: E   t  6  t     t  36   t  41 41    x 0 2 Dấu “ = “ Khi t 0  x  5x 0    x  Bài 10: Tìm GTNN của: M  x  1  x    x  3  x   HD: M  x  1  x    x    x 3  x  5x  x  5x  , Đặt x  5x t     x 0 2 Khi đó: M  t    t   t  36  36 , Dấu “ = ” t 0  x  5x 0    x  Bài 11: Tìm của: D  x  1  x    x    2014 HD: D  x  1  x    x    x  5  2014  x  x  10 x  3x   2014 , Đặt x  3x  t    Khi đó: D  t    t    2014 t  1978 , Dấu “= “ xảy khi:  x 1 t 0  x  3x  0    x  Bài 12: Tìm GTNN của: G ( x) ( x  1)( x  2)( x  3)( x  6)  2006 HD:  x 0 G ( x) ( x  x  6)( x  x  6)  2006 ( x  x)  2042  2042    x  Bài 12: Tìm số nguyên m lớn cho BĐT với x:  x  1  x    x  3 m HD: VT  x  1  x  3  x    x  x  x  x  , Đặt x  x t , Khi đó:    49 49    VT  t  3  t   t  7t  12 t  2.t   12   t   4   4 2 Bài 13: Tìm số nguyên m lớn cho BĐT với x:  x  1  x    x  3 m HD: VT  x  1  x  3  x    x  x  x  x  ,    Đặt x  x t Khi đó: 49 49    VT  t  3  t   t  7t  12 t  2.t   12   t   4   4 2 Dạng 3: NHĨM ĐƯA VỀ TỔNG BÌNH PHƯƠNG Phương pháp giải: Sử dụng biến dổi đưa đẳng thức  a b  ,  a  b  c  Chú ý biến đổi thành nhiều ngoặc điều kiện dấu “ = ” xảy bị ràng buộc nhiều Dạng 3.1: đưa HĐT  a b  Bài 1: Tìm của: I x  xy  y  y  11 HD: I  x  xy  y  y  y  11   Bài 2: Tìm của: M x  xy  y  y  HD: M  x  xy  y  y  y      Bài 3: Tìm của: R  x  y  xy  y HD: 2 R  x  y  xy  y x  xy  y  y  y    x  y    y  1   Bài 4: Tìm của: A 4 x  y  xy  16 y  32 HD: A 4 x  5y  xy  16 y  32  x  xy  y  y  16 y  32    Bài 5: Tìm của: B x  y  z  xy  yz  z  12 HD: B  x  xy  y  y  yz  4z  z  z      2    x  y    y  2z    z    8 Bài 6: Tìm của: C 5 x  12 xy  y  x    HD: 2 C  x  2.2 x.3y  9y  x  x   x  3y    x   0     Bài 7: Tìm của: E  x  y  xy  y  HD: 2 E x  xy  y  y  y    x  y    y  1   Bài 8: CMR khơng có giá trị x, y, z thỏa mãn: x  y  z  x  y  z  15 0 HD : x  x   y  8y   z  6z   1      Bài 9: Tìm của: A 2 x  y  xy  x  HD : 2 A  x  xy  y  x  x    x  y    x  1  2 Bài 10: Tìm max của: B 2  x  y  xy  x HD: 2  B 5x  y  xy  x   y  2.y.2 x  x  x  x    y  x    x  1   2 B   x  y    x  1  3 Bài 11: Tìm GTNN của: A  x  xy  y  y  HD: 2 Ta có: A  x  xy  y  y  y    x  y    y    2 2 Do:  x  y  0,  y   0 , Nên A  x  y    y    1 Bài 12: Tìm của: B 2 x  y  xy  x  2028 HD: B  x  xy  y  x  8x  16  2012     Bài 13: Tìm GTNN biểu thức : A x  y  xy  y  HD: 2 Ta có A( x)  x  y  xy  y   x  xy  y    y  y     x  y    y     x  y 0  A 1x, y  R  " "    x  y 2  y  0 Vậy A 1  x  y 2 Bài 14: Tìm GTNN biểu thức : B 2 x  y  y  HD: 2 B 2 x  y  y   x  xy  y    x  xy  y   y   x  y    x  y   5  x  y 0  x  y 0   x  y 0 Bài 15: Tìm GTNN biểu thức : A( x) 2 x  y  xy  x  HD: A( x) 2 x  y  xy  x  ( x  xy  y )  ( x  x  1)  ( x  y)  ( x  1)  2  x  y 1 Bài 16: Tìm GTNN biểu thức : D( x) 2 x  y  z  2( x  y  z )  HD: D( x) 2 x  y  z  2( x  y  z )  2( x  x)  (3 y  y )  (4 z  z )  2  1 1 2( x  x  )  3( y  y  )   (2 z )  z        4 2( x  1 11 11 1 )  3( y  )2  (2 z  )    ( x, y, z ) ( ; ; ) 2 2 Bài 17: Tìm GTNN biểu thức : A  x  y 8 xy  10 y  12 HD: A  x  y 8 xy  10 y  12  x  xy  y  y  10 y  25  37  4( x  y )  ( y  5)  37 37  x 5   y 5 Bài 18: Tìm GTLN biểu thức : A  x  y  z  ( x  y  z ) HD: 1 7 7 1 )  2( y  )  (2 z  )    A  x  ; y  ;z  4 16 16 16 2 Bài 19: Tìm của: A x  y  x  32 y  2018  A ( x  HD: 2 A  x  x   y2  32 y  64  1950  x     y    1950 1950     Bài 20: Tìm của: A 3x  y  x  y HD: 2   2  1 2   19  19 A  3x  x  y  y 3  x  2.x    y  2.y  3  x     y     3  2 3   12 12   Bài 21: Tìm của: B 5 x  y  xy  12 x  18 HD:     2 B  x  12 x  x  xy  y  18  x  3   x  y   27  27     Bài 22: Tìm max của: B  3x  16 y  xy  x  HD: 2   41  B  x  8xy  16 y2    x  5x  2  x  y    x    4    41 41  B   x  y    x     4 8  Bài 23: Tìm max : N  x  y  x  y  HD:  N  x  y  x  8y   x  x   y  8y   16     2  N  x  3   y  1  16  N   x  3   y  1  16 16 Bài 24: Tìm max của: P  x  y  x  y  23 HD:  P 3x  5y  x  7y  23  3x  x  5y  7y  23     2     1  1213 1  1213  1213  P 3  x     y   => P   x     y      3 10  60 3 10  60 60     2 Bài 25: Tìm max của: R  x  y  xy  18 x  HD: 2  R 7x  y2  xy  18x   y  xy  x  3x  18 x  2  x  y    x  3  36   R   x  y    x  3  36 36 Dạng 3.2: đưa HĐT  a  b  c  ;  a b c  Bài 1: Tìm GTNN của: A x  xy  y  x  10 y  17 HD: 2 A  x  x  y  1  y  10 y  17  x  x  y  1   y  1   y  10 y  17   y  1     x  y  1  y  8y  16   Bài 2: Tìm của: B x  xy  y  x  y HD:  y  y2  y   y2 B  x  x  y    y  y  x  2.x   y   y  2y  4   B  x  y    y  y  y  y  Bài 3: Tìm của: C  x  xy  y  3x  y HD:  y  y2  y   y2  y  C  x  x  y  3  y  3y  x  2.x    y  3y  4   2 4C  x  y  3   y  12 y  y  y  9 Bài 4: Tìm của: D x  xy  y  12 x  y  45 HD: D  x  x  y    y  y  45  x  x  y     y    y  y  45  y  12 y  36    x  y    5y  10 y  Bài 5: Tìm của: E x  xy  y  x  10 y  20 HD: y  y2  y  y2  4y  E  x  x  y    3y  10 y  20  x  x   3y  10 y  20  4 2 E  x  y    12 y  40 y  80  y  y   x  y    11y  36 y  76       Bài 6: Tìm max của: F  x  xy  y  x  10 y  HD:  F x  xy  y  x  10 y   x  x  y  1  y  10 y   F x  x  y  1   y  1  y  10 y    y  1 2 Bài 7: Tìm của: G  x  ay    x  ay   x  16 y  8ay  x  y  10 HD: G   x  ay    x  ay   9  x  x   16 y  8ay  8y    2 2  G  x  ay  3   x  1  16 y  8y  a  1   a  1   a  1 2 G  x  ay  3   x  1   y  a  1   a  1   a  1 2 Bài 8: Tìm max của: H  x  xy  y  x  y  11 HD:  H  x  xy  y  x  y  11  x  x  y    y  y  11  y  2 y  y2  y   H  x  x   y  y  11  4 2   H  x  y    y  16 y  44  y  y    Bài 9: Tìm của: K x  y  xy  3x  y  20 HD: 2 K 4 x  y  xy  12 x  12 y  80  x  x  y  3   y  3    y  12 y  80   y  3      K  x  y  3  3y  18 y  71 Bài 10: Tìm của: N  x  xy  y  x HD:  y  1 y   y  1 N  x  x  y  1  y  x  x   y2  4 2 2 N  x  y  1  y  y  y    Bài 11: Tìm của: A  x  xy  y  x  1997 HD: A  x  x  y  1  3y  1997  x  x  y  1   y  1  3y  1997  y2  y  2 Bài 12: Tìm của: Q x  y  xy  x  10 y  