Đa thức chia đường tròn và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN THỊ THUỲ NINH ĐA THỨC CHIA ĐƯỜNG TRÒN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2013 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN THỊ THUỲ NINH ĐA THỨC CHIA ĐƯỜNG TRỊN VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành: PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CẤP Mã số: 60460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS LÊ THỊ THANH NHÀN Thái Nguyên - Năm 2013 Môc lôc Môc lôc Lời nói đầu KiÕn thøc chuÈn bÞ 1.1 Sè phức phép toán số phức 1.2 Khái niệm đa thức Mét số tính chất sở đa thức chia đờng tròn 13 2.1 Công thức nghịch chuyển Mobius 13 2.2 Căn nguyên thủy bậc n đơn vị 16 2.3 TÝnh chÊt c¬ sở đa thức chia đờng tròn 19 2.4 Mét sè øng dụng đa thức chia đờng tròn 27 TÝnh bÊt kh¶ quy 31 3.1 Đa thức bất khả quy 31 3.2 Tính bất khả quy đa thức chia đờng tròn 34 KÕt luËn 41 Tài liệu tham khảo 42 Lời cảm ơn Trớc hết, xin gửi lời biết ơn chân thành sâu sắc tới PGS.TS Lê Thị Thanh Nhàn Cô đà dành nhiều thời gian tâm huyết việc hớng dẫn Sau trình nhận đề tài nghiên cứu dới hớng dẫn khoa học Cô, luận văn \Đa thức chia đờng tròn" đà đợc hoàn thành Có đợc kết này, nhờ nhắc nhở, đôn đốc, dạy bảo tận tình nghiêm khắc Cô Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo-Khoa học-Quan hệ quốc tế Khoa Toán-Tin Trờng Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đà tạo điều kiện thuận lợi suốt trình học tập trờng nh thời gian hoàn thành đề tài Sự giúp đỡ nhiệt tình thái độ thân thiện cán thuộc Phòng Đào tạo Khoa Toán-Tin đà để lại lòng ấn tợng tốt đẹp Tôi xin cảm ơn Phòng Giáo dục Đào tạo Quận Lê Chân - thành phố Hải Phòng Trờng trung học sở Nguyễn Bá Ngọc - nơi công tác đà tạo điều kiện cho hoàn thành khóa học Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp thành viên lớp cao học Toán K5B (Khóa 2011-2013) đà quan tâm, tạo điều kiện, động viên cổ vũ để hoàn thành nhiệm vụ Lời nói đầu Ta biết với số nguyên dơng n, có n bậc n đơn vị: k = cos 2k + i sin 2kπ , k = 0, 1, , n − Chó ý r»ng k lµ n n nguyên thủy bậc n đơn vị gcd(k, n) = Vì có (n) nguyên thủy bậc n đơn vị, hàm Euler Gọi k1 , , k(n) nguyên thủy bậc n đơn vị Khi đa thức chia đờng tròn thứ n, kí hiệu n (x), đa thức bậc (n) đợc cho công thức n (x) = (x − k1 ) (x k(n) ) Mục đích luận văn trình bày số kết đa thức chia đờng tròn, ứng dụng đa thức chia đờng tròn số toán sơ cấp, chứng minh tính bất khả quy đa thức chia đờng tròn Luận văn gồm chơng Các kiến thức chuẩn bị số phức đa thức đợc nhắc lại Chơng Phần đầu Chơng dành để trình bày số tính chất quan trọng đa thức chia đờng tròn Chúng chứng Y tỏ xn = d(x) (Định lí 2.3.3), từ ®ã ta suy Φn (x) cã c¸c d|n hƯ số nguyên (Hệ 2.3.5) Hơn nữa, x Z p ớc nguyên tố n (x) p (mod n) p|n (Định lí 2.3.11) Phần cuối Chơng trình bày số ứng dụng đa thức chia đờng tròn để chứng minh lại Định lý Dirichlet giải số toán thi học sinh giỏi toán quốc tế liên quan đến phơng trình nghiệm nguyên đánh giá số ớc số tự nhiên Chơng trình bày số phơng pháp chứng minh tính bất khả quy Q đa thức chia đờng tròn Chú ý đa thức bất khả quy đóng vai trß quan träng gièng nh− vai trß cđa sè nguyên tố tập số nguyên Với n số nguyên dơng, đa thức chia đờng tròn n (x) đa thức bất khả quy đặc biệt, ớc xn nhng không lµ −íc cđa xk − víi mäi k < n Khi p số nguyên tố, tính bất khả quy p (x) đà đợc giải vào đầu Thế kỷ thứ 19, đợc chứng minh lần bëi C F Gauss 1801 [Gau] víi c¸ch chøng minh phức tạp dài dòng Sau chứng minh đợc đơn giản hoá nhiều nhà toán häc L Kronecker 1845 [K] vµ F G Eisenstein 1850 [E] Còn việc chứng minh tính bất khả quy n (x) với n tuỳ ý đợc giải vào khoảng Thế kỷ 19, đợc chứng minh lần Kronecker 1854 [K2] Sau đó, R Dedekind 1857 [D] số nhà toán học khác đà đa chứng minh đơn giản Nội dung luận văn đợc viết dựa theo sách \Lý thuyết Galois" S H Weintraub [W1], báo \Elementary Properties of Cyclotomic Polynomials" Y Ge [Ge] báo \Several proofs of the irreducibility of the cyclotomic polynomial" cña S H Weintraub [W2] Bên cạnh có tham khảo số báo cổ điển C.F Gauss [Gau], F G Eisenstein [E], L Kronecker [K] vµ R Dedekind [D] tính bất khả quy n (x) Chơng Kiến thức chuẩn bị Trớc trình bày kết đa thức chia đờng tròn Chơng 2, nhắc lại kiến thức sở số phức đa thức 1.1 Số phức phép toán số phức 1.1.1 Định nghĩa Số phức biểu thức có dạng z = a + bi a, b R i2 = Ta gọi a phần thực b phần ảo z Số phức i đợc gọi đơn vị ảo Nếu a = z = bi đợc gọi số ảo Nếu b = z = a số thực Tập số phức đợc kí hiệu C Số phức z = a bi đợc gọi số phức liên hỵp cđa z = a + bi 1.1.2 Chó ý (i) Hai sè phøc b»ng nÕu vµ chØ nÕu phần thực phần ảo tơng ứng nhau: a + bi = c + di ⇔ a = c, b = d (ii) NÕu z = a + bi z z = a2 + b2 số thực (iii) Liên hợp tổng (hiệu, tích, thơng) tổng (hiệu, tích, thơng) z z liên hợp: z ± z = z ± z , z z = z z vµ = víi mäi z 6= z z BiĨu diễn số phức z = a + bi đợc gọi biểu diễn đại số z Các phép toán số phức đợc thực nh sau: (a + bi) ± (c + di) = (a + c) ± (b + d)i; (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (bc + ad)i; a + bi (a + bi)(c − di) ac + bd bc − ad = = + i c + di (c + di)(c − di) c + d2 c + d2 TËp C c¸c sè phøc víi phÐp céng phép nhân trờng chứa trờng số thực R, số thực a đợc đồng với số phức a + 0i 1.1.3 Định nghĩa Trong mặt phẳng P với hệ trục tọa độ vuông góc xOy, số phức z = a + bi đợc ®ång nhÊt víi ®iĨm Z(a, b) Khi ®ã tËp sè phức lấp đầy P ta gọi P mặt phẳng phức Xét góc tạo chiều dơng trục hoành với véc tơ OZ gọi r độ dài véc tơ OZ, z = a + bi = r(cos α + i sin α) BiĨu diƠn z = r(cos α + i sin ) đợc gọi biểu diễn lợng giác z Ta gọi r môđun z ký hiệu |z| Góc đợc gọi argument z kí hiệu arg(z) Chú ý môđun số phức xác định argument số phức xác định sai khác bội nguyên lần 2, tức r(cos + i sin α) = r (cos α0 + i sin α0 ) nÕu vµ chØ nÕu r = r vµ α = α0 + 2kπ víi k ∈ Z Với số phức z = a + bi, râ rµng |z| = a2 + b2 = |z| Hơn nữa, với z1 , z2 C ta có |z1 |.|z2 | = |z1 |.|z2| vµ |z1 + z2 | |z1 | + |z2| 1.1.4 Chó ý Cho z = r(cos ϕ + i sin ϕ) vµ z = r (cos ϕ0 + i sin ϕ0 ) hai
số phức Khi zz = rr cos(ϕ + ϕ0 ) + i sin(ϕ + ) z 6=
z r 0 cos(ϕ − ϕ = ) + i sin( ) Từ ta nâng lên lũy thừa z0 r0 công thức sau (gọi công thức Moirve): z n = r n (cos nϕ + i sin nϕ) 1.1.5 Định nghĩa Số phức u bậc n cđa sè phøc z nÕu un = z Chó ý số phức z = r(cos + i sin ) khác có n bậc n, k = n r(cos + k2π ϕ + k2π + i sin ), k = 0, 1, , n − n n Đặc biệt, có n bậc n đơn vị, k = cos 2k 2k + i sin , k = 0, 1, , n − n n 1.2 Kh¸i niƯm đa thức Trong suốt tiết này, giả thiết K trờng C, R, Q 1.2.1 Định nghÜa Mét biĨu thøc d¹ng f (x) = anxn + + a0 ®ã ∈ K với i đợc gọi đa thức Èn x (hay biÕn x) víi hƯ sè K Nếu an 6= an đợc gọi hệ số cao f (x) số tự nhiên n đợc gọi bậc f (x), kí hiệu deg f (x) Nếu an = f (x) đợc gọi đa thức dạng chuẩn (monic polynomial) Chó ý r»ng hai ®a thøc f (x) = P xi vµ g(x) = P bi xi lµ b»ng nÕu vµ chØ nÕu = bi víi mäi i Ta định nghĩa bậc cho đa thức khác 0, ta quy ớc đa thức bậc Kí hiệu K[x] tập P P i ®a thøc Èn x víi hƯ sè K Víi f (x) = xi vµ g(x) = bi x , P P định nghĩa f (x) + g(x) = (ai + bi )xi vµ f (x)g(x) = ck xk , ®ã P ck = i+j=k bj Râ rµng nÕu f (x) 6= vµ f (x)g(x) = f (x)h(x) g(x) = h(x) Hơn n÷a ta cã deg(f (x) + g(x)) max{deg f (x), deg g(x)} deg f (x)g(x) = deg f (x) + deg g(x) 1.2.2 Định nghĩa Cho f (x), g(x) ∈ K[x] NÕu f (x) = q(x)g(x) víi q(x) K[x] ta nói g(x) ớc cđa f (x) hay f (x) lµ béi cđa g(x) ta viết g(x)|f (x) Tập bội g(x) đợc kí hiệu (g) Ta có tính chất đơn giản sau 1.2.3 Bổ đề Các phát biểu sau (i) Với a K k số tự nhiên ta có (x a)|(xk − ak ) (ii) NÕu f (x) ∈ K[x] vµ a K tồn q(x) K[x] cho f (x) = q(x)(x − a) + f (a) Định lí sau đây, gọi Định lí chia với d, đóng vai trò quan trọng lí thuyết đa thức 1.2.4 Định lý Cho f (x), g(x) ∈ K[x], ®ã g(x) 6= Khi ®ã tån cặp đa thức q(x), r(x) K[x] cho f (x) = g(x)q(x) + r(x), víi r(x) = hc deg r(x) < deg g(x) Chøng minh Tr−íc hÕt ta chøng minh tÝnh nhÊt Gi¶ sö f (x) = g(x)q(x) + r(x) = g(x)q1(x) + r1 (x), r(x), r1 (x) có bậc nhỏ bậc g(x) Khi g(x)(q(x) − q1 (x)) = r1 (x) − r(x) NÕu r(x) 6= r1 (x) th×
deg(r − r1 ) = deg g(q − q1 ) = deg g + deg(q q1 ) Điều mâu thuẫn deg(r r1 ) max{deg r, deg r1 } < deg g deg g + deg(q − q1 ) gcd(a,b) a b − gcd x − 1, x = x
Chứng minh Đặt T = gcd xa − 1, xb − vµ t = gcd(a, b) Tõ gi¶ thiÕt xt − 1|xa − vµ xt − 1|xb − ta suy xt − 1|T Râ rµng, gcd(x, T ) = V× thÕ xϕ(T ) ≡ (mod T ), hàm Euler Do tồn số nguyên dơng d bé cho xd (mod T ) Do T |xd Vì xa ≡ xb ≡ (modT ) nªn ta cã d|a d|b Do d|t Vì xd 1|xt − V× thÕ T |xt − Suy T = |xt − 1| , ta cã kÕt 2.3.14 Định lý Cho a b hai số nguyên dơng tồn số nguyên a x cho gcd (Φa (x) , Φb (x)) > Khi luỹ thừa với số mũ nguyên b a k số nguyên tố, nghĩa = p với p số nguyên tố k b số nguyên Chứng minh Vì gcd (a (x) , b (x)) > nên tồn ớc nguyên tố a chung p a (x) b (x) Ta chứng minh phải luỹ thõa b 27 cña p ViÕt a = pα A b = p B với , số nguyên không âm A, B số nguyên dơng không chia hết cho p Ta r»ng A = B ThËt vËy, v× p|Φa (x) a (x)|xa nên p|xa 1, p không ớc x Trớc tiên ta chứng minh p|A (x) Điều hiển nhiên
nếu = α ΦA xp (modp) NÕu α > theo Hệ 2.3.8 ta có Φa (x) = pα−1 ) Φ (x a α
α α V× thÕ ΦA xp ≡ (modp) Nh−ng xp ≡ x.xp −1 vµ tõ pα − chia hÕt cho p nên theo công thức Hàm Euler ta suy đợc xp nên x.xp −1 ≡ (modp) α ≡ x.1 (modp) vµ ®ã xp ≡ x (modp) V× vËy α
≡ ΦA xp ≡ ΦA (x) (modp) V× vËy p|ΦA (x) Tơng tự chứng minh, ta có đợc kết p|B (x) Không tính tổng quát, ta giả thiết A > B Đặt t = gcd(A, B) Khi t < A Vì p|A (x) ΦA (x) |xA −1, p|ΦB (x) vµ ΦB (x) |xB −1 nªn

p| gcd xA − 1, xB − Theo Bỉ ®Ị 2.3.13 ta cã gcd xA − 1, xB − = Q |xt − 1|, v× thÕ p|xt − Suy ≡ xt − = Φd (x) (modp), ®ã tån d|t t¹i mét −íc d cđa t cho p|Φd (x) Vì d|t, t|A, d < A p|A (x), nên theo Hệ 2.3.10 ta có p|A, điều mâu thuẫn với điều giả sử ban a đầu p không ớc A Do A = B, v× vËy = pα−β b 2.4 Mét sè ứng dụng đa thức chia đờng tròn Một ứng dụng phổ biến đa thức chia đờng tròn chứng minh Định lý Dirichlet 2.4.1 Định lý (Dirichlet) Cho n số nguyên dơng Khi tồn vô sè sè nguyªn tè p cho p ≡ (modn) Chøng minh Víi n = 1, kÕt qu¶ hiĨn nhiên Cho n > Giả sử tồn hữu hạn số nguyên tố p cho p (modn) Đặt T1 tích 28 sè nguyªn tè p cã tÝnh chÊt p ≡ 1( mod n) T2 tích tất ớc nguyên tố n Đặt T = T1 T2 Do n > nªn T − >
T > Đặt k số nguyên dơng đủ lớn cho n T k > (với n (X) đa thức dạng chuẩn có bậc (n) nên k tồn tại) Lấy q
ớc nguyên tố n T k Vì q ớc T kn nên q không ớc T , q không ớc T1 q không ớc T2 nên q (modn) q không ớc n Điều mâu thuẫn với Định lý 2.3.11 Một ứng dụng khác hay đa thức chia đờng tròn giải tập đề thi học sinh giỏi Quốc tế 2.4.2 Bài toán (Đề thi học sinh giái Qc tÕ 2002) Gi¶ sư p1 , p2 , , pn số nguyên tố phân biệt lín h¬n Chøng minh r»ng 2p1 p2 pn + có 4n ớc Để giải toán 2.4.2, ta chứng minh toán tổng quát Cụ thể, với giả thiết nh toán 2.4.2 ta chứng minh đợc n1 2p1p2 pn + cã Ýt nhÊt 22 n−1 −íc Râ rµng 22 > 4n (khi n đủ lớn) Do Bài tập 2.4.2 trờng hợp đặc biệt toán sau: 2.4.3 Bài toán Đặt p1 , p2 , , pn số nguyên tố phân biệt lớn n−1 Chøng minh r»ng 2p1 p2 pn + cã Ýt nhÊt 22 −íc Chøng minh Ta chøng minh r»ng 2p1 p2 pn + cã Ýt nhÊt 2n−1 −íc đôi nguyên tố ta suy 2p1 p2 pn + cã Ýt nhÊt 2n1 ớc nguyên tố phân biệt Theo Định lý 2.3.3 ta cã: (2p1p2 pn − 1) (2p1 p2 pn + 1) = 22p1 p2 pn − = Y d|2p1p2 pn d (2) 29 Đặt A = {d | d lµ −íc cđa 2p1 pn } vµ B = {d ∈ A | d lµ −íc cđa p1 pn } C = {2d | d lµ −íc cđa p1 pn } Ta thÊy B ∪ C = A vµ B ∩ C = ∅ Do ®ã   Y Y Y Φd (2) =  Φd (2)  d|2p1p2 pn d|p1p2 pn = Y Φd (2) d∈B = Y k|p1p2 pn Y Φd (2) p1 p2 pn Do vËy 2p1p2 pn + = Φ2k (2) Φd (2) d∈C d|p1 pn = (2 Y  Φ2d0 (2) 2d0|p1 pn  − 1)  Y k|p1p2 pn Y  Φ2k (2) 2k (2) k|p1p2 pn Do có ớc cđa p1 pn th× tÝch ë vÕ bên phải đẳng thức có nhiêu nhân tử Chú ý ớc m p1 pn tích phần tử mét tËp cña tËp {p1 , , pn } Vì thế, số ớc p1 pn chÝnh lµ sè tËp cđa tËp {p1 , , pn } V× tập có 2n tập nên p1 pn có 2n ớc khác nhau, ớc tích hữu hạn số nguyên tố phân biệt tËp {p1 , , pn } Gọi E tập ớc d p1 pn cho d lµ tÝch cđa mét số chẵn thừa số nguyên tố F tập c¸c −íc d cđa p1 pn cho d tích số lẻ thừa số nguyên tố Khi E F có số phần tử nh nhau, tập có 2n1 phần tử Cho a 6= b, a, b ∈ E Gi¶ sư Φa (2) b (2) không a nguyên tố Theo Định lý 2.3.14 ta suy luỹ thừa nguyên b 30 số nguyên tố Nhng a b tích số chẵn thừa số nguyên tố phân biệt nên điều Vì a (2) b (2) hai −íc nguyªn tè cïng cđa 2p1 p2 pn + víi mäi a, b ∈ E víi a 6= b Do E có 2n1 phần tử nên ta có kết 2.4.4 Bài toán (Đề thi học sinh giỏi Quốc tế 2006) Tìm tất cặp số nguyên (x, y) thoả mÃn phơng trình x7 = y x1 Lời giải: Phơng trình ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi + x + + x6 = (y − 1)(1 + y + + y ) Tõ HƯ qu¶ 2.3.12 ta biÕt r»ng mäi −íc nguyªn tè p cđa + x + + x6 thoả mÃn p = p (mod 7) Nếu p nguyên tố p|1 + x + + x6 p = hc p ≡ (mod 7) (Theo HƯ 2.3.12) Lấy d ớc + x + + x6 ViÕt d = pα1 pαk r víi pi lµ sè nguyªn tè, αi ∈ N Do d|1+x+ +x6 nªn pi |1+x+ +x6 Do pi = pi (mod 7) víi mäi i = 1, , k Suy d chia hÕt cho d (mod 7), tức tất ớc 1+x+ +x6 chia hết cho 7, đồng d modulo Nh vậy, (y 1) ≡ (mod 7) hc (y − 1) ≡ (mod 7) Đó y (mod 7) hc y ≡ (mod 7) NÕu y ≡ (mod 7) th× + y + + y (mod 7) + y + + y lµ −íc cđa + x + + x6 nhng không đồng d với (mod 7) không đồng d với (mod 7) Điều mâu thuẫn Nếu y (mod 7) th× +y + +y4 ≡ 31 (mod 7) +y + +y4 không đồng d với theo (mod 7) Điều mâu thuẫn Do vậy, phơng trình nghiệm nguyên Chơng Tính bất khả quy 3.1 Đa thức bất khả quy Cho K trờng trờng số phức C (chẳng hạn Q, R, C) 3.1.1 Định nghĩa Một đa thức f (x) K[x] đợc gọi bất khả quy deg f (x) > f (x) không phân tích đợc thành tích hai đa thức có bậc bé Nếu deg f (x) > f (x) tích hai đa thức có bậc bé ta nói f (x) khả quy 3.1.2 VÝ dơ Cho f (x) ∈ K[x] vµ a ∈ K Khi ®ã (i) NÕu deg f (x) = f (x) bất khả quy (ii) f (x) bất khả quy f (x + a) bất khả quy (iii) Nếu deg f (x) > vµ f (x) cã nghiƯm K f (x) khả quy (iv) Nếu deg f (x) f (x) bất khả quy nghiệm K Tiếp theo, định nghĩa khái niệm đa thức bất khả quy phần tử đại số Trớc hết, ta cần kết sau 3.1.3 Định nghĩa Cho a C Ta nói a phần tử đại số K tồn đa thức 6= f (x) ∈ K[x] nhËn a lµm nghiƯm Nếu a không đại số K ta nói a siêu việt K 31 32 3.1.4 Định lý Cho a C phần tử đại số K Khi tồn đa thức p(x) K[x] bất khả quy dạng chuẩn nhận a làm nghiệm, đa thức g(x) K[x] nhận a làm nghiệm bội p(x) Chứng minh Vì a nghiệm đa thức khác với hệ số K nên chọn đợc đa thøc kh¸c víi hƯ sè K cã bËc bÐ nhÊt nhËn a lµm nghiƯm Gäi p(x) ∈ K[x] dạng chuẩn đa thức Khi a nghiệm p(x) Ta chứng minh p(x) bất khả quy Giả sử p(x) không bất khả quy Khi p(x) phân tích đợc thành tích hai đa thức K[x] với bậc bé hơn, hai đa thức phải nhận a làm nghiệm, điều mâu thuẫn với cách chọn p(x) Giả sư g(x) ∈ K[x] nhËn a lµm nghiƯm NÕu p(x) không ớc g(x) p(x) bất khả quy nên gcd(g(x), p(x)) = 1, = p(x)q(x) + g(x)h(x) víi q(x), h(x) ∈ K[x] Thay x = a vào hai vế ta đợc = 0, điều vô lí Vậy g(x) chia hết cho p(x) Giả sử q(x) K[x] đa thức bất khả quy dạng chuẩn nhận a làm nghiệm Theo chứng minh trên, q(x) bội p(x) Viết q(x) = p(x)k(x) Vì q(x) bất khả quy nên k(x) = b K Do q(x) = bp(x) Đồng nhÊt hƯ sè cao nhÊt cđa hai vÕ víi chó ý q(x) p(x) có dạng chuẩn, ta suy b = V× thÕ p(x) = q(x) 3.1.5 Định nghĩa Đa thức p(x) K[x] bất khả quy dạng chuẩn xác định nh mệnh đề đợc gọi đa thức bất khả quy a 3.1.6 VÝ dơ §a thøc x3 − ∈ Q[x] đa thức bất khả quy R; đa thức x2 + R[x] ®a thøc bÊt kh¶ quy cđa i ∈ C TiÕp theo, Định lí Số học nói số tự nhiên lớn phân tích đợc thành tích thừa số nguyên tố phân tích không kể đến thứ tự thừa số Kết sau tơng tự định lí đa thức 33 3.1.7 Định lý Mỗi đa thức dạng chuẩn bậc dơng phân tích đợc thành tích đa thức bất khả quy dạng chuẩn phân tích không kể đến thứ tự phần tử Chứng minh Trớc hết, chứng minh tồn phân tích quy nạp theo bậc đa thức Giả sử f (x) K[x] đa thức dạng chuẩn bậc d > Nếu d = f (x) bất khả quy nên phân tích bất khả quy cđa f (x) lµ f (x) = f (x), kÕt cho trờng hợp d = Cho d > giả sử kết đà cho đa thức có bậc nhỏ d Nếu f (x) bất khả quy f (x) có phân tích bất khả quy f (x) = f (x) Vì ta giả thiết f (x) không bất khả quy Khi ®ã f (x) = g(x)h(x) víi g(x), h(x) có bậc bé bậc f (x) Đặt g ∗ (x) = g(x)/ak víi ak lµ hƯ sè cao nhÊt cđa g(x) Khi ®ã ta cã f (x) = g ∗ (x)(ak h(x)) §ång nhÊt hƯ sè cao hai vế ta đợc = ak bt , bt hệ số cao h(x) Đặt h(x) = ak h(x) Khi f (x) = g ∗ (x)h∗(x) víi g ∗ (x), h∗(x) lµ đa thức dạng chuẩn có bậc nhỏ d Theo giả thiết quy nạp, g (x) h(x) phân tích đợc thành tích đa thức bất khả quy dạng chuẩn Vì f (x) phân tích đợc thành tích hữu hạn đa thức bất khả quy dạng chuẩn Bây ta chứng minh tính phân tích Giả sử f (x) có hai phân tích thành nhân tử bất khả quy dạng chuẩn f (x) = p1 (x)p2 (x) pn (x) = q1(x)q2 (x) qm (x) Ta chøng minh b»ng quy n¹p theo n n = m sau phép hoán vÞ ta cã pi (x) = qi (x) víi mäi i = 1, , n Cho n = Khi ®ã ta cã p1 (x) = q1 (x)q2 (x) qm (x) Suy p1 (x)|q1(x)q2(x) qm (x) Do p1 (x) bất khả quy nên p1 (x) ớc nhân tử qi (x) Không tính tổng quát ta giả thiết p1 (x)|q1(x) Biểu diƠn q1(x) = p1 (x)t1 (x) V× q1 (x) bÊt khả quy nên t1 (x) = a K Đồng hệ số cao hai vế đẳng thøc q1 (x) = ap1 (x) víi chó ý 34 p1 (x) q1(x) dạng chuẩn, ta có = 1.a Suy a = vµ ®ã p1 (x) = q1 (x) NÕu m > = q2 (x) qm (x), điều vô lí Vậy kết cho n = Cho n > Vì p1 (x)|q1(x)q2(x) qm (x) p1 (x) bất khả quy nên không tính tổng quát ta giả thiết p1 (x)|q1 (x) Lại q1(x) bất khả quy p1 (x), q1 (x) có dạng chuẩn nên tơng tự nh lập luận ta có p1 (x) = q1(x) Giản ớc hai vế cho p1 (x) ta đợc p2 (x)p3 (x) pn (x) = q2(x)q3 (x) qm (x) Theo giả thiết quy nạp ta có n = m việc đánh số lại nh©n tư qi (x) ta suy pi (x) = qi (x) víi mäi i = 2, , n 3.2 Tính bất khả quy đa thức chia đờng tròn Đa thức chia đờng tròn n (x) đa thức bất khả quy với số nguyên dơng n Đây kết sở lí thuyết số Chứng minh tính bất khả quy đa thức chia đờng tròn có lịch sử dài Với n nguyên tố, tính bất khả quy đa thức chia đờng tròn n (x) lần đợc chứng minh C F Gauss [Gau] năm 1801 Hơn 40 năm sau, năm 1845, L Kronecker [K] đà đa chứng minh đơn giản Ngay sau đó, T Schonemann [Sch] năm 1846 F Eidenstein [E] năm 1850 đà đa hai chứng minh đơn giản Cho đến bây giờ, chứng minh Eidenstein [E] lµ chøng minh chn mùc nhÊt Víi n tïy ý (không thiết nguyên tố), tính bất khả quy đa thức chia đờng tròn n (x) lần đợc chứng minh L Kronecker [K2] vào năm 1854 Các chứng minh đơn giản đợc đa bới R Dedekind [D] năm 1857, E Landau năm 1929 I Schur năm 1929 Cho đến nay, chứng minh Dedekind [D] vÉn lµ chøng minh chuÈn mùc nhÊt 35 Mục đích tiết đa số chứng minh cổ điển cho tính bất khả quy đa thức chia đờng tròn n (x) n nguyên tố Do giới hạn khuôn khổ luận văn thạc sĩ nên tác giả luận văn xin phép không trình bày chứng minh tính bất khả quy cho ®a thøc chia ®−êng trßn Φn (x) n bÊt kì Nhắc lại đa thức f (x1 , , xk ) đợc gọi đa thøc ®èi xøng nÕu f (x1 , , xk ) = f (xδ(1) , , x(k) ) với hoán vị tập hợp k phần tử {1, 2, , k} Chẳng hạn, x2 + 3xy + y ®a thøc ®èi xøng, 2x3 + 2y + 2z + xyz + xy + xz + yz lµ ®a thøc ®èi xøng Víi n biÕn x1 , , xn , đa thức sau đối xứng ta gọi đa thức đối xứng = n X xi = x1 + + xn i=1 X δ2 = xi xj = x1 x2 + + x1 xn + x2 x3 + + xn−1 xn 16i