Luận văn đa thức chia đường tròn và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ПǤUƔỄП TҺỊ TҺUỲ ПIПҺ ĐA TҺỨເ ເҺIA ĐƢỜПǤ TГὸП ѴÀ ỨПǤ DỤПǤ ên sỹ c uy c ọ g hạ h i cn sĩt cao tihháọ n ăc hvạ ăn ọđc ậnt n v viăhn n u văl ălunậ nđạ ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu LUẬП ѴĂП TҺẠເ SĨ T0ÁП ҺỌເ TҺái Пǥuɣêп - Пăm 2013 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ПǤUƔỄП TҺỊ TҺUỲ ПIПҺ ĐA TҺỨເ ເҺIA ĐƢỜПǤ TГὸП ѴÀ ỨПǤ DỤПǤ ên sỹ c uy c ọ g h cn ĩth o ọi ns ca ạtihhá c ă vạ n c ΡҺƢƠПǤ ΡҺÁΡ nth vă hnọđ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu ເҺuɣêп пǥàпҺ: T0ÁП SƠ ເẤΡ Mã số: 60460113 LUẬП ѴĂП TҺẠເ SĨ T0ÁП ҺỌເ ПǤƢỜI ҺƢỚПǤ DẪП K̟Һ0A ҺỌເ ΡǤS.TS LÊ TҺỊ TҺAПҺ ПҺÀП TҺái Пǥuɣêп - Пăm 2013 Môເ lôເ Môເ lôເ Lời ói đầu K̟iÕп ƚҺøເ uẩ ị 1.1 Số ứ é 0á ƚгªп sè ρҺøເ 1.2 Kái iệm đa ứ c.sỹ ọ.c guyê n h cn ĩth o ọi ns ca ạtihhá c ă vạ n c nth vă hnọđ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Méƚ sè ƚÝпҺ ເҺÊƚ ເ¬ së đa ứ ia đờ ò 13 2.1 ô ứ ị u M0ius 13 2.2 ă uê ủ ậ ѵÞ 16 2.3 TÝпҺ ấ sở đa ứ ia đờ ò 19 2.4 Méƚ sè øпǥ dơпǥ ເđa ®a ƚҺøເ ເҺia ®−êпǥ ƚгßп 27 TÝпҺ ấ kả qu 31 3.1 Đa ứ ấ kả qu 31 3.2 Tí ấ kả qu đa ứ ia đờ ƚгßп 34 K̟Õƚ luËп 41 Tài liệu am kả0 42 Lời ảm T ế, ôi i ửi lời iế â à sâu sắ i S.TS Lê Tị Ta ô đà dà iu ời ia âm uế iệ dẫ Sau ì ậ đ ài iê ເøu d−ίi sὺ Һ−ίпǥ dÉп k̟Һ0a Һäເ ເđa ເ«, lп ă \Đa ứ ia đờ ò" ôi đà đợ 0à ó đợ kế à, s ắ ở, đô đố, ả0 ế sứ ậ ì iêm kắ ô Tôi i ửi lời ảm â đế a iám iệu, ò Đà0 ạ0-K0a ọ-Qua ệ quố ế K0a T0á-Ti Tờ Đại ọ n yờ s c hc cngu ĩth o ọi ns ca ihhá vạăc ăn ọđcạt h nt v hn unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu K̟Һ0a ọ - Đại ọ Tái uê đà ạ0 điu kiệ uậ lợi ấ suố ì ọ ậ ại ời ia ôi 0à đ ài S i đ iệ ì độ â iệ á ộ uộ ò Đà0 ạ0 K0a T0á-Ti đà đ lại lò ôi ữ ấ ợ ế sứ ố đẹ Tôi i ảm ò iá0 dụ Đà0 ạ0 Quậ Lê â - ố ải ò Tờ u ọ sở uễ ọ - ôi đa ô đà ạ0 điu kiệ ôi 0à kóa ọ Tôi i ảm ia đì, đồ iệ à iê l a0 ọ T0á K5 (Kóa 2011-2013) đà qua âm, ạ0 điu kiệ, độ iê ổ đ ôi ó 0à iệm ụ mì Lời ói đầu Ta iế ằ i số uê dơ , ó đ ă ậ ị: dk = 0sn2k + i siп 2nk̟π, k̟ = 0, , , ý ằ dk ă uê ủ ậ ị ếu ỉ ếu d(k, ) = ì ế ó đ () ă uê ủ ậ ị, ϕ lµ Һµm Euleг Ǥäi dk̟1 , , dk() ă uê ủ ậ ị Ki đa ứ ia đờ ò ứ , kí iệu (), đa ứ ậ () đợ ởi ô ứ () = ( dk1 ) (х − dk̟ϕ(п)) Mơເ ®ÝເҺ ເđa luậ ă ì mộ số kế đa ứ ia đờ ò, ữ ứ dụ n c u0á yờ đa ứ ia đờ ò mộ sốc sài sơ ấ, ứ mi í họ cng ĩth o ọi ns ca ihhá vạăc ăn ọđcạt h nt v hn unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu ấ kả qu đa ứ ia đờ ò Luậ ă ồm kiế ứ uẩ ị số ứ đa ứ đợ ắ lại ầ đầu dà đ ì mộ số í Y ấ qua ọ đa ứ ia đờ ò ôi ứ ỏ ằ = d() (Đị lí 2.3.3), a su a () ó d| ệ số đu uê (ệ 2.3.5) ữa, ếu Z mộ uê ố () ì (m0d ) 0ặ | (Đị lí 2.3.11) ầ uối ì mộ số ứ dụ đa ứ ia đờ ò đ ứ mi lại mộ Đị lý Diile iải quế mộ số ài 0á i ọ si iỏi 0á quố ế liê qua đế ì iệm uê đá iá số mộ số iê ì mộ số ứ mi í ấ kả qu ê Q đa ứ ia đờ ò ý ằ đa ứ ấ kả qu ò qua ọ iố ò số uê ố ậ số uê i số uê dơ, đa ứ ia đờ ò () mộ đa ứ ấ kả qu đặ iệ, ó n yờ sỹ c học cngu ĩth o ọi ns ca ihhá vạăc ăn ọđcạt h nt v hn unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu méƚ −ίເ ເña хп − kô k i k < Ki số uê ố, í ấ kả qu () đà đợ iải quế à0 đầu Tế kỷ ứ 19, đợ ứ mi lầ đầu iê ởi F auss 1801 [au] i ứ mi ká ứ dài dò Sau ứ mi đợ iả 0á iu ởi 0á ọ L K0eke 1845 [K] F Eisesei 1850 [E] ò iệ ứ mi í ấ kả qu () i u ý đợ iải quế à0 k0ả iữa Tế kỷ 19, đợ ứ mi lầ đầu iê ởi K0eke 1854 [K2] Sau đó, Dedekid 1857 [D] mộ số 0á ọ ká đà đa a ứ mi iả ội du luậ ă đợ iế da e0 uố sá \Lý uế Ǥal0is" ên ỹ c uy ເña S Һ Weiпƚгauь [W1], ài á0c s\Elemea 0eies 0f l00mi h cng th o ọi ns ca ihhá vạăc ăn ọđcạt h nt v hn unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Ρ0lɣп0mials" ເña Ɣ e [e] ài á0 \Seeal 00fs 0f e ieduiili 0f ƚҺe ເɣເl0ƚ0miເ ρ0lɣп0mial" ເđa S Һ Weiпƚгauь [W2] Ьªп ó am kả0 mộ số ài á0 ổ ®iόп ເña ເ.F Ǥauss [Ǥau], F Ǥ Eiseпsƚeiп [E], L K0eke [K] Dedekid [D] í ấ kả qu () Kiế ứ uẩ ị T ki ì kế đa ứ ia đờ ò 2, a ắ lại kiế ứ sở số ứ đa ứ 1.1 ờn s c uy Số ứ é th0á c h i cng ê số ứ o ỏ s a h ăcn c ạtih hvạ văn nọđc t n h unậ n iă văl ălunậ nđạv ậ ận v un lu ận n văl lu ậ lu 1.1.1 Đị ĩa Số ứ mộ iu ứ ó z = a + ьi ƚг0пǥ ®ã a, ь ∈ i2 = Ta ọi a ầ ầ ả0 z Số ứ i đợ ọi ị ả0 ếu a = ì z = i đợ ọi số uầ ả0 ếu = ì z = a số Tậ số ứ đợ kí iệu Số ứ z = a i đợ ọi số ứ liê ợ z = a + ьi 1.1.2 ເҺό ý (i) Һai sè ρҺøເ ь»пǥ пҺau ếu ỉ ếu ầ ầ ả0 øпǥ ь»пǥ пҺau: a + ьi = ເ + di ⇔ a = ເ, ь = d (ii) ПÕu z = a + ьi ƚҺ× z z = a2 + mộ số (iii) Liê ợ ổ (ҺiƯu, ƚÝເҺ, ƚҺ−¬пǥ) ь»пǥ ƚỉпǥ (ҺiƯu, ƚÝເҺ, ƚҺ−¬пǥ) z ເđa liê ợ: z z J = z z J , z z J = z z J ѵµ = ѵίi mäi z J ƒ= z ± ± zJ zJ Ьiόu diÔп sè ρҺøເ z = a + ьi đợ ọi iu diễ đại số z n yê sỹ c học cngu ĩth o ọi ns ca ihhá vạăc ăn ọđcạt h nt v hn unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu ρҺÐρ ƚ0¸п ê số ứ đợ iệ sau: (a + ьi) ± (ເ + di) = (a + ເ) ± (ь + d)i; (a + ьi)(ເ + di) = (aເ − ьd)+ (ьເ + ad)i; a + ьi = (a + ьi)(ເ − di) = aເ + ьd + ьເ − ad i ເ + di (ເ + di)(ເ − di) ເ2 + d ເ2 + d TËρ số ứ i é ộ é â mộ ứa số , số a đợ đồ ấ i số ứ a + 0i 1.1.3 Đị ĩa T0 mặ ẳ i ệ ụ ọa độ uô ó 0, số ứ z = a + i đợ đồ ấ i ®iόm Z(a, ь) K̟Һi ®ã ƚËρ sè ρҺøເ lÊρ ®Çɣ a ọi mặ ẳ ứ é ǥãເ α ƚ¹0 ьëi n ເҺiὸu yê sỹ c học cngu −→ nsĩth ao ihháọi ăc c ạt hvạ ăn ọđc ậnt n v viăhn n u văl ălunậ nđạ ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu dơ ụ 0à i é Z ọi độ dài é Z, k̟Һi ®ã z = a + ьi = г(ເ0s α + i siп α) Ьiόu diÔп z = г(ເ0s + i si ) đợ ọi iu diễ lợ iá z Ta ọi môđu z ký iệu |z| ó đợ ọi lµ aгǥumeпƚ ເđa z ѵµ k̟Ý ҺiƯu lµ aгǥ(z) ເҺό ý ằ môđu mộ số ứ đị du ấ aume mộ số ứ đị sai ká mộ ội uê lầ 2, ứ lµ г(ເ0s α + i siп α) = г J (ເ0s αJ + i siп αJ ) пÕu ѵµ ເҺØ пÕu г = г J ѵµ α = αJ + 2k i k Z i số ρҺøເ z = a + ьi, гâ гµпǥ |z| = a2 + = |z| ữa, i z1, z2 ∈ ເ ƚa ເã |z1|.|z2| = |z1|.|z2| ѵµ |z1 + z2| ™ |z1| + |z2| 1.1.4 ເҺό ý ເҺ0 z = г(ເ0s ϕ + i siп ϕ) ѵµ z J = гJ(ເ0s ϕJ + i siп ϕJ) lµ Һai Σ sè phøc Khi ®ã zz J = rr J cos(ϕ + ϕJ ) + i sin(ϕ + ϕJ ) vµ nÕu z J ƒ= Σ z J J = ເ0s(ϕ − ϕ ) + i siп(ϕ − ) Từ đâ a ó â lê l ừa r J zJ ằ ô ứ sau (ọi ô ứ M0ie): 35 Kô mấ í ổ a ó iả iế 1()|q1() iu diễ q1() = 1()1() ì q1() ấ kả qu ê 1() = a ∈ K̟ §åпǥ пҺÊƚ ҺƯ sè ເa0 ấ ế đẳ ứ q1() = a1() ѵίi ເҺό ý n yê sỹ c học cngu ĩth o ọi ns ca ihhá vạăc ăn ọđcạt h nt v hn unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu 36 ằ 1() q1() uẩ, a ó = 1.a Su a a = d0 ρ (х)= q1(х) ПÕu m > ƚҺ× = q2() qm(), điu ô lí ậ kế đ = > ì 1()|q1()q2() qm() 1() ấ kả qu ê kô mấ í ổ a ó iả iế 1()|q1() Lại d0 q1() ấ kả qu 1(), q1() đu ó uẩ ê lậ luậ ê a ó 1() = q1() iả ả ế 1() a đợ 2()3() () = q2()q3() qm() Te0 iả iế qu a ó = m ằ iệ đá số lại â qi() a su a i() = qi(х) ѵίi mäi i = 2, , п n 3.2 yê sỹ c học cngu ĩth o ọi ns ca ihhá vạăc ăn ọđcạt h nt v hn unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v ălunậ пlu luận n v lu Tí ấ kả qu đa ứ ia đờ ò Đa ứ ia đờ ò () luô đa ứ ấ kả qu i số uê dơ Đâ mộ kế së ເđa lÝ ƚҺuɣÕƚ sè ເҺøпǥ miпҺ ƚÝпҺ ьÊƚ k̟Һ¶ qu đa ứ ia đờ ò ó mộ lị sử ká dài i uê ố, í ấ kả qu đa ứ ia đờ ò () lầ đầu iê đợ ứ mi ởi F auss [au] ăm 1801 40 ăm sau, ăm 1845, L K0eke [K] đà đa a mộ ứ mi iả a sau đó, T S0ema [S] ăm 1846 F Eidesei [E] ăm 1850 đà đa a ứ mi iả ữa đế â iờ, ứ mi Eideпsƚeiп [E] ѵÉп lµ ເҺøпǥ miпҺ ເҺuÈп mὺເ пҺÊƚ Ѵίi ù ý (kô ấ iế uê ố), í ấ kả qu đa ứ ia đờ ò () lầ đầu iê đợ ứ mi ởi L K0eke [K2] à0 ăm 1854 ứ mi iả đợ đa a i Dedekid [D] ăm 1857, E Ladau ăm 1929 I Su ăm 1929 đế a, ứ miпҺ ເđa Dedek̟iпd [D] ѵÉп lµ ເҺøпǥ miпҺ ເҺп mὺເ пҺÊƚ n yê sỹ c học cngu ĩth o ọi ns ca ihhá vạăc ăn ọđcạt h nt v hn unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu 37 38 Môເ ®ÝເҺ ເđa ƚiÕƚ пµɣ lµ ®−a гa méƚ sè ເҺøпǥ mi ổ í ấ kả qu đa ứ ia đờ ò () ki uê ố D0 ii kuô kổ mộ luậ ă sĩ ê iả luậ ă i é kô ì ứ mi í ấ kả qu đa ứ ia đờ ò () ki ấ kì ắ lại ằ méƚ ®a ƚҺøເ f (х , , хk̟ ) đợ ọi đa ứ đối ứ ếu f (х , , хk̟ ) = f (х δ (1) , , хδ(k̟ )) ѵίi mäi Һ0¸п ị ậ ợ k ầ {1, , , k} ẳ ạ, + + đa ứ đối ứ, 23 + 23 + 2z3 + хɣz + хɣ + хz + ɣz lµ ®a ƚҺøເ ®èi хøпǥ Ѵίi п ьiÕп х , , , đa ứ sau đối ứ a ọi đa ứ đối ứ ь¶п δ1 = п Σ хi = х1 + + х i=1 Σ δ2 = ên sỹ c uy c ọ g п ĩthạ o h háọi cn s a ăcn c ạtih hvạ văn nọđc t n h unậ n iă văl ălunậ nđạv ậ uận2n v vălun l ậ n lu ậ lu хiхj = х х + + х хп + х2х3 + + хп−1хп 1™i