Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và một số ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TẠ VĂN HOÀN GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Mã số: PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CẤP 60.46.40 TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Ngun – 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn Công trình hồn thành Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Người hướng dẫn khoa học: PGS TS ĐÀM VĂN NHỈ Phản biện 1: PGS.TS LÊ THỊ THANH NHÀN Phản biện 2: TS NGUYỄN MINH KHOA Luận văn bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại: Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên Ngày 22 tháng 11 năm 2011 Có thể tìm hiểu luận văn thư viện Đại học Thái Nguyên Số hóa Trung tâm Học liệu – i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Gía trị lớn nhất, giá trị nhỏ Một số ứng dụng Tạ Văn Hoàn Khoa Toán ĐHKH Thái Nguyên E-mail:tvhoanbs@gmail.com Ngày tháng năm 2011 S húa bi Trung tõm Hc liu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Môc lôc Phần chuẩn bị 1.1 Khái niệm vài tính chất bất đẳng thức 1.2 Một vài phương pháp chứng minh đơn giản 1.3 Hµm låi vµ Bất đẳng thức Jensen 27 Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất-nhỏ 31 2.1 Phương pháp bất đẳng thức 31 2.2 Ph­¬ng pháp đa thức hai biến bậc hai 37 2.3 Phương pháp đạo hàm 40 2.3.1 Hµm mét biÕn 40 2.3.2 Hµm låi 42 2.3.3 Hµm nhiÒu biÕn 45 2.4 Phương pháp hình học 47 2.5 Một số cực trị tam gi¸c 50 2.5.1 Sử dụng hàm lượng giác 50 2.5.2 Sư dơng nghiƯm ®a thøc bËc ba 52 Mét sè øng dơng vµo giải toán liên quan 66 3.1 Xây dựng lại số bất đẳng thức cổ điển 66 3.2 Giải phương trình bất phương trình 71 Số hóa Trung tâm Học liệu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn mở đầu Bài toán tìm giá trị lớn nhỏ hay tìm cực trị biểu thức đà có từ lâu, xuất lĩnh vực toán học Trong chương trình toán phổ thông, toán tìm giá trị lớn nhỏ trải dài hầu hết cấp học, có mặt tất môn Số học, Đại số, Giải tích, Hình học Lượng giác Đặc biệt, kỳ thi Đại häc, Häc sinh giái quèc gia vµ quèc tÕ th­êng có xác định cực trị biểu thức Bởi vậy, toán tìm giá trị lớn nhỏ số toán nhiều người thuộc nhiều lĩnh vực quan tâm đến Các toán tìm giá trị lớn hay nhỏ biểu thức phong phú, đa dạng, đòi hỏi vận dụng nhiều kiến thức vận dụng cho hợp lý, độc đáo Hơn nữa, toán xác định giá trị lớn nhỏ liên quan đến đánh giá, tìm chặn xét xem biểu thức có tính chất đạt cực trị Chính thế, phương pháp xác định giá trị lớn hay nhỏ nhÊt mét biĨu thøc sÏ rÊt thiÕt thùc ®èi víi muốn tìm hiểu sâu toán sơ cấp Để đáp ứng nhu cầu học tập giảng dạy môn toán bậc phổ thông, luận văn đà đặt vấn đề: Trình bày số phương pháp tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức Qua luận văn đưa việc vận dụng kết đạt để giải số toán liên quan Nội dung luận văn chia làm ba chương Chương I dành để giới thiệu khái niệm vài phương pháp chứng minh bất đẳng thức với ví dụ tương thích ChươngII dành để trình bày giá trị lớn nhỏ Đây chương trọng tâm giới thiệu phương pháp tìm giá trị lớn nhỏ Cơ thĨ mơc 2.1 tËp trung giíi thiƯu mét sè toán chọn lọc tìm giá trị lớn nhỏ phương pháp bất đẳng thức Mục 2.2 giới thiệu điều kiện đạt cực trị hàm đa thức hai biến bậc hai ví dụ liên quan Mục 2.3 giới thiệu phương pháp đạo hàm tìm giá trị lớn nhỏ hàm biến, hàm lồi, hàm nhiều biến sáng tác tập tương ứng Mục 2.4 giới thiệu số toán tìm cự trị phương pháp tọa độ điểm, tọa độ véc tơ dựa vào tính đặc biệt hình học Mục 2.5 giới thiệu số toán tìm giá trị lớn nhỏ qua vận dụng hàm lượng giác trình bày phương pháp sáng tác S húa bi Trung tõm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn mét số toán cực trị tam giác qua đa thức bậc ba Chương III tập trung trình bày vài ứng dụng kết đạt Như chứng minh lại bất đẳng thức cổ điển qua việc vận dụng khái niệm cực trị giới thiệu ứng dụng toán cực trị việc giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình hệ bất phương trình Dù đà cố gắng, chắn nội dung trình bày luận văn không tránh khỏi thiếu xót định em mong nhận góp ý thầy cô giáo bạn Luận văn đà hoàn thành hướng dẫn PGS.Ts Đàm Văn Nhỉ Em xin chân thành cám ơn thầy giúp đỡ nhiệt tình từ xây dựng đề cương, viết hoàn thành luận văn Em xin cảm ơn chân thành tới Trường Đại học Khoa Học Thái Nguyên, nơi em đà nhận học vấn sau đại học Tiếp theo, em xin chân thành cảm ơn thầy cô phản biện đà đọc góp ý kiến cho luận văn để em hoàn thiện luận văn Lời cuối xin chúc sức khỏe tất thầy cô, chúc thầy cô hoàn thành tốt nhiệm vụ giao Chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, Ngày tháng 09 năm 2011 Người thực Tạ Văn Hoàn S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Phần chuẩn bị 1.1 Khái niệm vài tính chất bất đẳng thức b a gọi lớn b, ký hiÖu a > b, nÕu hiÖu a − b số dương; a gọi lớn hc b»ng b, ký hiƯu a > b, nÕu hiƯu a b số không âm; a gọi nhỏ b, ký hiệu a < b, hiệu a b số âm; a gọi nhỏ b, ký hiệu a b, nÕu hiƯu( a − b lµ mét số không dương a a > Giá trị tuyệt đối a |a| = a a < Định nghĩa Tính chất 1.1.1 Cho hai số thực 1.1.2 Với số thực a, b, c số tự nhiên n có tính chất: a>b a>b a>b |a| > |b| Víi a ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ a−b>0 a+c>b+c a2n+1 > a2n+1 a2n > a2n a=b ⇐⇒ a>b ⇐⇒ ac > bc ⇐⇒ ac < bc =⇒ a > c ( α>0 |a| α ⇐⇒ −α a α a>b a > b, c > c b, b > c Khi chứng minh bất đẳng thức, đồng thức thường ®­ỵc sư dơng: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn MƯnh ®Ị 1.1.3 Víi c¸c sè thùc a, b, c, x, y, z d 6= có đồng thức sau đây: (i) (ii) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 vµ (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) (iii) (a + b)3 = a3 + 3ab(a + b) + b3 (iv) a2 − b2 = (a − b)(a + b) (v) (vi) (vii) (viii) vµ (a − b)3 = a3 − 3ab(a − b) − b3 a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 ) vµ a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 ) (a2 + b2 )(x2 + y ) = (ax + by)2 + (ay − bx)2 (a2 + b2 + c2 )(x2 + y + z ) = (ax + by + cz)2 + (ay − bx)2 + (bz − cy)2 + (cx − az)2 a |a| |ab| = |a||b|, | | = d |d| vµ |a| = |b| vµ a = b Ba bổ đề trình bày bất đẳng thức thường sử dụng sau Bổ đề (i) (ii) 1.1.4 Với số thùc a, b, c, x, y, z vµ d 6= có kết sau: a2 + b2 > 2ab (a2 + b2 )(x2 + y ) > (ax + by)2 (iii) (a2 + b2 + c2 )(x2 + y + z ) > (ax + by + cz)2 (iv) ||a| − |b|| |a + b| |a| + |b| Bài giải: (i) Bởi (a b)2 > nên a2 + b2 > 2ab DÊu = xÈy vµ chØ a = b (a2 + b2 )(x2 + y ) = (ax + by)2 + (ay − bx)2 > (ax + by)2 nªn b a (a2 + b2 )(x2 + y ) > (ax + by)2 DÊu = xÈy vµ chØ = x y 2 2 2 2 (iii) Do (a +b +c )(x +y +z ) = (ax+by+cz) +(ay−bx) +(bz−cy) + (cx−az)2 > (ax+by+cz)2 nªn (a2 +b2 +c2 )(x2 +y +z ) > (ax+by+cz)2 a b c DÊu = xÈy vµ chØ = = x y z (iv) Ta lu«n cã |a| > ±a, |b| > ±b Khi a+b > |a+b| = a+b |a|+|b|; a+b < th× |a+b| = −a−b |a|+|b| Tãm l¹i |a+b| |a|+|b| Bëi (ii) Do bëi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn |a| = |a + b + (−b)| |a + b| + | − b| = |a + b| + |b| nªn |a| − |b| |a + b| T­¬ng tù |b| = |a + b + (−a)| |a + b| + | − a| = |a + b| + |a| nªn |b| − |a| |a + b| Tãm l¹i ||a| − |b|| |a + b| |a| + |b| v× a, b, c, x, y, z, u, v, t > có bất đẳng thức sau: (i) a + b + c > abc p √ √ (ii) (a + x)(b + y)(c + z) > abc + xyz p √ √ √ (iii) (a + x + u)(b + y + v)(c + z + t) > abc + xyz + uvt p p √ √ √ √ 3 Bài giải: (i) Vì a + b + c + abc > ab + c abc > abc abc nªn √ √ √ 3 a + b + c + abc > abc hay a + b + c > abc (ii) NÕu mét ba sè a + x, b + y, c + z 0, chẳng hạn a + x = 0, a = x = bÊt XÐt a + x, b + y, c + z 6= : đẳng thức hiển nhiên đúng.r a b c abc   + + >33  a+x b+y c+z r (a + x)(b + y)(c + z) vµ Theo (i) ta cã x y z xyz   + + >33  a+x b+y c+z (a + x)(b + y)(c + z) √ √ abc + xyz cộng vế theo vế > p Từ suy (ii) (a + x)(b + y)(c + z) p p 3 (iii) V× (a + x + u)(b + y + v)(c + z + t) > (a + x)(b + y)(c + z)+ p √ √ √ √ 3 uvt nªn (a + x + u)(b + y + v)(c + z + t) > abc+ xyz+ uvt Bỉ ®Ị 1.1.5 Víi Bỉ ®Ị 1.1.6 Cho ba sè thùc (i) (ii) (iii) (iv) (v) a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức sau: 1 + > ab > 1 + a2 + b2 + ab 1 + + > a, b, c > 1 + a2 + b2 + c2 + abc 1 + > (1 + a)2 (1 + b)2 + ab 1 + (1 + a)2 (1 + b)2 + ab ab 1 1 + + (1 + a)2 (1 + b)2 (1 + c)2 + abc Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên a, b, c http://www.lrc-tnu.edu.vn (vi) 1 1 √ + √ > r + + vµ √  a + b 2 + a2 + b2 + a2 + b2 1+ √ >r a, b, c > √  a + b + c 2 + c2 1+ Bài giải: (i) Bất đẳng thức tương đương với bất đẳng thức (ab 1)(a − b)2 > + > ab > 1 + a2 + b2  + ab 1 2  + > >    + b2 + ab + abc 1 + a 1 2 (ii) Vì a, b, c > nên từ ta suy + > >  + b + c2 + bc + abc     + > > + c + a2 + ca + abc 1 + + > + a2 + b2 + c2 + abc 2 (iii) Bất đẳng thức tương đương với bất đẳng thức (ab 1) + ab(a − b) > 1 VËy + > (1 + a)2 (1 + b)2 + ab Vậy (iv) hiển nhiên qua quy đồng hai vÕ  1 2   + 6  2  (1 + b) + ab + abc   (1 +1 a) 2 + 6 (v) V× a, b, c nªn tõ ta 2 (1 + b) (1 + c) + bc + abc    1 2    + 6 (1 + c)2 (1 + a)2 + ca + abc 1 suy + + (1 + a)2 (1 + b)2 (1 + c)2 + abc −3/2 víi x > cã y = −x(1 + x ) < Vậy y đơn (vi) Hàm số y = √ 1+x 2x2 − 2 −5/2 3/2 điệu giảm Ta lại có y = 3x (1 + x ) − (1 + x ) =p > (1 + x2 )5 1 x > √ vµ nh­ vËy y lµ hµm låi VËy √ + √ > + a2 + b2 1 r √ √ r vµ √ + + >  a + b 2  a + b + c 2 + a2 + b2 + c2 1+ 1+ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn 22 VÝ dơ 1.2.41 Víi d·y sè thùc n X i=0 a0 = 1, a1 , , an , an+1 = n + 1, n > 1, cã |ai − ai+1 | 2n q > p 3(n + 2) 2 + ai+1 + a, b, c ta đặt a = tan x, b = tan y, c = tan z Khi ®ã bÊt |b − c| |c − a| |a − b| √ √ √ +√ > √ tương đẳng thức a2 + b2 + b2 + c2 + c + a2 + đương | sin(x y)| + | sin(y − z)| > | sin(x − z)| Tõ | sin(u + v)| = | sin u cos v + sin v cos u| | sin u| + | sin v| ta suy bất đẳng thức sau: | sin(x − z)| = | sin(x − y + y − z)| | sin(x − y)| + | sin(y − z)| Sư dơng |a1 − a2 | |a2 − a3 | |a1 − a3 | p p p p p kết này: p + > a21 + a22 + a22 + a23 + a21 + a23 + n P |ai − ai+1 | |a0 − an+1 | q q Quy n¹p theo n > > p p 2 2 i=0 + ai+1 + a0 + an+1 + n n 2n √ >√ > 2(n + 2) 3(n + 2) 2n2 + 4n + Bài giải: Với ba số 1.2.42 Với số tù nhiªn n ta xÐt d·y a0 = n P = Chøng minh r»ng 1, 2, , n tháa m·n i=1 VÝ dô 16 n X i=1 √ 0, > víi mäi i = π √ < + a0 + · · · + ai−1 + · · à + an Bài giải: Theo Bất đẳng thức Cauchy ta có kết sau đây: p 1 + a0 + · · · + ai−1 + · · · + an (1+a0 +· · ·+ai−1 +ai +· · ·+an ) n a P i > = Đặt ui = 1 + a + · · · + a a + · · · + a i−1 i n i=1 i=1 arcsin(a0 + · · · + ai−1 + ) víi i = 0, 1, , n Khi có hệ thức sau: = VËy n P √ = (a0 + · · · + ai−1 + ) − (a0 + · · · + ai−1 ) = sin ui − sin ui−1 q p cos ui−1 = − sin2 ui−1 = − (a0 + · · · + ai−1 )2 p √ = + a0 + · · · + ai−1 + · · · + an , i = 1, , n Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 23 n sin u − sin u P i i−1 √ = cos ui−1 + a0 + · · · + ai−1 + · · · + an i=1 i=1 ui + ui−1 ui − ui−1 sin n cos n P P ui − ui−1 2 hay S = < sin V× sin x < cos ui−1 i=1 i=1 n P π π x x ∈ (0; ) nªn S < (ui − ui−1 ) = 2 i=1 VËy S = n P √ 1.2.43 Víi sè tù nhiªn n P 1, 2, , n, vµ tháa m·n i=1 VÝ dơ n X i=1 n ta xÐt d·y a0 = 0, > víi mäi sè i= = Chøng minh r»ng π p p < + (a0 + · · · + ai−1 )2 + (a0 + · · · + )2 ui = arctan(a0 + · · · + ai−1 + ) víi i = 0, 1, , n Khi ui [0; ] có hệ thức sau: Bài giải: Đặt góc = (a0 + · · · + ai−1 + ) − (a0 + · · · + ai−1 ) = tan ui − tan ui−1 p p = + tan2 ui = + (a0 + · · · + )2 , i = 1, , n VËy S = cos ui n tan u − tan u P i i−1 p p = 1 + (a0 + · · · + ai−1 )2 + (a0 + · · · + )2 i=1 i=1 cos ui−1 cos ui n n P P π hay S = sin(ui − ui−1 ) < (ui − ui−1 ) = un = i=1 i=1 n P VÝ dơ 1.2.44 Víi mäi tam giác ABC ta có bất đẳng thức sau: 1 + + (1 + sin A)2 (1 + sin B)2 (1 + sin C)2 + sin A sin B sin C Bài giải: Suy tõ VÝ dô 1.1.6 VÝ dô 1.2.45 Cho ∆ABC §Ỉt x = tan B C A , y = tan , z = tan 2 Khi ta có bất đẳng thức sau đây: (i)   4x  4y  4z  27  2 1+ 1+ 1+ > 27x y z + y+z z+x x+y Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 24 (ii)  r  4x  2r 4y  4z   1+ 1+ 1+ > 1+23 y+z z+x x+y R a = x + y + z, b = xy + yz + zx = 1, c = xyz vµ  4y  4z  (a + 3x)(a + 3y)(a + 3z) 4x 1+ 1+ = T = 1+ y+z z+x x+y (a − x)(a − y)(a − z) √ a3 + 3aa2 + 9ba + 27c 4a3 + 9a + 27c VËy T = XÐt T = víi a > 3= a3 − aa2 + ba − c a−c √ > 9c > Ta coi T lµ hµm cđa a vµ a > 9c > Do a > nên ta có 3 Bài giải: (i) Đặt  Ta0 2a3 − 3a2 c − 9c a2 (2a − 3c) − 9c 15a2 c − 9c =4 =4 >4 >0 (a − c)2 (a − c)2 (a − c)2 4.36 c3 + 108c 36 27 = c + có bất đẳng thức T > T (9c) = 8c 2 r  4x  c 3 4y  4z   (ii) L¹i cã T = 1+ 1+ 1+ > 1+4 = y + z z + x x + y a − c r   2r 1+23 R Tc0 > vµ cã T > T (0) = + 4a2 > 21 Tuy bị chặn dưới, dễ thấy T giá trị nhỏ Khi góc tam giác tiến tới hai góc lại tiến tới a + Vậy T giá trị lớn Chú ý r»ng, ta cßn cã thĨ chøng minh T > 25, việc tìm số 25 hoàn toàn không tự nhiên Nếu coi T hàm c>0 Phương pháp hàm số Ví dụ 1.2.46 Chứng minh nÕu x + y = th×: x4 + y ≥ x + y = suy y = − x nªn x4 + y = x4 + (1 − x)4 4 3 XÐt hµm sè f (x) = x + (1 x) , đạo hàm f (x) = 4x − 4(1 − x) , 1 f (x) = x = LËp b¶ng biÕn thiên ta f (x) Dấu xảy x = y = 4 VËy nÕu x + y = x + y Bài giải: Tõ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn 25 VÝ dơ 1.2.47 Víi n số nguyên dương lẻ không nhỏ Chứng minh r»ng víi mäi sè thùc x 6= 0, ta lu«n cã: x2 x3 xn x2 x3 xn (1 + x + + + + )(1 − x + − + − ) < 2! 3! n! 2! 3! n! x2 x3 xn x2 x3 Bµi giải: Đặt f (x) = + x + + + + , g(x) = − x + − + 2! 3! n! 2! 3! xn − , xÐt F (x) = f (x).g(x) Ta ®i chøng minh F (x) < víi mäi x 6= n! 0 Ta cã: F (x) = f (x).g(x) + g (x).f (x) , víi x2 x3 xn−1 xn f (x) = + x + + + + = f (x) − 2! 3! (n − 1)! n! n−1 x x x xn g (x) = −1 + x − + − + ) = −g(x) − 2! 3! (n − 1)!  n!  n n n−1 x x x x Suy F (x) = − [f (x) + g(x)] = −2 1+ + + Nh­ n! n! 2! (n − 1)!   F (x) > 0, x < vËy ta cã dÊu F (x) nh­ sau: F (x) < 0, x >  F (x) = 0, x = Lập bảng biến thiên ta F (x) < 1, víi mäi x 6= VÝ dơ 1.2.48 Chøng minh r»ng víi mäi x > ta có: x3 sin x > x Bài giải: Xét hàm số x3 f (x) = x − − sin x, víi x > ta cã: x2 − cos x; f 00 (x) = −x + sin x; f 000 = −1 + cos x 000 ThÊy f = −1 + cos x < 0, víi x > suy f 00 (x) nghÞch biÕn víi x > 00 00 00 Suy f (x) < f (0) víi x > tương đương f (x) < với x > tương 0 đương f (x) nghịch biến víi x > Suy f (x) < f (0) với x > tương đương f (x) < với x > tương đương f (x) nghÞch biÕn víi x > Suy x3 f (x) < f (0) với x > tương đương x − − sin x < víi x > x3 VËy sin x > x − víi x > f (x) = − Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 26 VÝ dô 1.2.49 Chøng minh r»ng víi xy 6= ta lu«n cã x4 y x2 y x y + − − + + ≥ −2 y x4 y x2 y x Bài giải: Đặt x4 y x2 y x y f (x, y) = + − − + + y x y x y x Ta viết lại hàm số dạng x2 y f (x, y) = ( + )2 − − y x   2 x y x2 y x y + ) + ( + ) y x2 y x  x y x y = ( + ) −2 −2− ( + ) −2 +( + ) y x y x y x x y x