Câu [HH10.C3.1.E03.c] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba điểm phương trình đường trịn T có bán kính nhỏ cho A 1;3 , B 7;0 , C 2;5 Lập A, B, C nằm nằm T Lời giải Mọi đường tròn chứa bên điểm A, B, C có đường kính d khơng thể nhỏ đoạn AB, BC , CA Chỉ tam giác ABC vuông A BC cạnh lớn d max AB, BC , AC 5 d 5 Suy đường tròn đường kính BC có bán kính nhỏ thỏa mãn toán 5 I ; R BC 2 Tâm đường tròn 2 , bán kính 2 25 T : x y 2 2 Vậy pt Câu C1 : x y 13 , [HH10.C3.1.E03.c] Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn (C2 ) : ( x 6) y 25 Gọi giao điểm có tung độ dương C1 C2 A , viết phương trình C đường thẳng qua A cắt (C1 ) theo hai dây cung có độ dài Lời giải C1 có tâm O 0;0 , bán kính Giao điểm (C1 ) R1 13 C2 có tâm I 6;0 , bán kính R2 5 C2 A(2;3) B 2; 3 A 2;3 Vì A có tung độ dương nên a x b y 3 0 Đường thẳng d qua A có pt: hay ax by 2a 3b 0 Gọi d1 d (O, d ); d d ( I , d ) 2 2 2 Yêu cầu toán trở thành: R2 d R1 d1 d d1 12 b 0 (4a 3b) (2a 3b) 12 b 3ab 0 2 2 a b a b b 3a * b 0 ,chọ a 1 ,suy pt d là: x 0 * b 3a , chọ a 1, b , suy pt d là: x y 0 Vậy phương trình đường thẳng cần tìm x 0 x y 0 Câu [HH10.C3.1.E03.c] (HSG10_SỞ GD&ĐT_QUẢNG NAM_2016-2017) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho điểm A(3; 3) đường thẳng d có phương trình x y 0 Viết phương trình đường trịn (C) tiếp xúc với d B (1;1) qua A Lời giải Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho điểm A(3; 3) đường thẳng d có phương trình x y 0 Viết phương trình đường trịn (C) tiếp xúc với d B (1;1) qua A + Tâm I đường trịn (C) nằm đường thẳng d ' vng góc với d B + Viết phương trình đường thẳng d ' x y 0 + I d ' I (a;3 2a) + IA IB a 2 I (2; 1) + Bán kính đường trịn (C) R Câu Suy phương trình đường trịn (C) là: ( x 2) ( y 1) 5 [HH10.C3.1.E03.c] (HSG 11 trường THPT Sông Lô – Vĩnh Phúc 2012-2013) C : x y x y 0 Từ điểm M Cho đường thẳng : x y 19 0 đường tròn C ( A, B là hai tiếp điểm) Viết phương nằm kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến đường trịn trình đường trịn ngoại tiếp tam giác AMB biết AB 10 Lời giải 10 AH AB C có tâm I 2;1 , bán kính R Gọi H MI AB Ta có 2 Đường trịn Trong tam giác vuông MAI (tại A ) với đường cao AH ta có 1 1 2 AM MI 10 2 AH AI AM AM 10 x y : x y 19 0 : M 2m;3 5m Ta có Khi MI 10 2m 5m 10 29m 32m 0 m m 3 29 Chú ý rằng, đường tròn ngoại tiếp tam giác AMB đường trịn đường kính MI M 3; Với m ta có Khi phương trình đường trịn ngoại tiếp AMB 2 5 1 x y 2 2 139 72 3 M ; m 29 29 Khi phương trình đường trịn ngoại tiếp MAB 29 ta có Với Câu 197 101 x y 58 58 [HH10.C3.1.E03.c] (HSG cấp tỉnh lớp 11 –THPT Quỳnh Lưu – Nghệ An – 2017 - 2018) Cho 2 tam giác ABC có đường trịn ngoại tiếp (C ) : x y 2x y 0 Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác AIB với I giao đường cao xuất phát từ B C Lời giải Chứng minh đường tròn ngoại tiếp ABC AIB có bán kính phép tịnh tiến đối xứng trục đối xứng tâm + Suy bán kính cần tìm R 2 Câu [HH10.C3.1.E03.c] (HSG LỚP 12 - SỞ BẮC GIANG- 2016-2017) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình x y 0 hai đường tròn (C1 ) : x y x y 0 ; (C2 ) : x ( y 3) 1 Viết phương trình đường tròn (C ) tiếp xúc với đường thẳng d , tiép xúc ngồi với đường trịn (C1 ) , đồng thời (C ) cắt (C2 ) hai điểm A , B phân biệt mà AB d Lời giải C1 có tâm I1 1; 3 , bán kính R 2 ; C2 có tâm I 0; 3 , bán kính R2 1 C Tâm I đường tròn nằm đường thẳng l qua I song song với d , l có phương trình x y 0 Đường trịn Gọi C có bán kính I t 3; t l Do I 3; Kiểm tra R 3 Sử dụng II1 R R1 5 t 0 t I 2; 1 C cắt C2 hai điểm phan biệt, ta có I 2; 1 C : x 2 2 y 1 9 KL: Đường tròn Câu [HH10.C3.1.E03.c] (HSG11 - THPT Lê Quý Đôn – 2013 – 2014) Cho tam giác ABC vuông cân B , cạnh AB 2 Trong mặt phẳng chứa tam giác ABC lấy điểm M thỏa mãn MA2 MB MC Tìm quỹ tích điểm M Lời giải B 0;0 Chọn hệ trục tọa độ Bxy cho , tia Bx qua A tia By qua C Vì AB 2 , ABC vuông A 2;0 C 0; M x; y cân B , nên ta có: , Giả sử , 2 2 2 2 MA2 MB MC x y x y x y x y x y 0 I 2; R 2 , I 2; Vậy quỹ tích điểm M đường trịn tâm , bán kính R 2 (HSG11 Bắc Giang 2012 - 2013) Trong mặt phẳng, cho ba điểm A , B , C di động cho chúng ln tạo thành tam giác có trọng tâm G cố định trực tâm H chạy đường thẳng cố Đây pt đường trịn tâm Câu định Tìm tập hợp tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Lời giải Gọi A’ , B’ , C’ trung điểm BC , CA , AB Khi O trực tâm tam giác A’B’C’ Phép vị tự VG biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ [HH11.C1.7.EX.c] Do VG : H O Gọi ’ ảnh qua VG Khi tập hợp O đường thẳng ’ Câu [HH10.C3.1.E03.c] Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường trịn (C) tâm I, bán kính Từ điểm M thuộc đường thẳng : x y 0 kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến (C) (với A, B tiếp điểm) Viết d I , 2 phương trình đường trịn (C) biết đường thẳng AB : 3x y 0 Lời giải 3x+y=2 B I x+y=0 E M A K H + Gọi K giao điểm AB, E giao điểm IM AB, H hình chiếu I lên d I , IH 2 | a b |4 (1) ur ur n1 3;1 n1 1;1 AB có véc tơ pháp tuyến , có véc tơ pháp tuyến + I(a;b) ur uu r ·AKM cos ·AKM | cos n , n | 2 Góc AB góc · · · Nhận xét: HIM AKM (cùng phụ với góc IMH ) Suy · cos HIM IH 2 IB IM 10; IB IE.IM IE · IM 10 cos HIM Ta có: | 3a b | d I , AB | 3a b |4 10 10 10 Vậy a b 4 3a b 4 Từ (1) (2) ta có a; b là: 3;7 , 1;3 , 1; 5 , 5; Giải hệ phương trình ta tìm nghiệm Thử lại ta phương trình đường trịn (C) thỏa mãn: x 1 2 y 3 4; x 1 2 y 4 Câu [HH10.C3.1.E03.c] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình 2 2 x y 0 hai đường tròn (C1 ) : x y x y 0;(C2 ) : x ( y 3) 1 Viết phương trình đường tròn (C ) tiếp xúc với đường thẳng d , tiếp xúc ngồi với đường trịn (C1 ) , đồng thời (C ) cắt (C2 ) hai điểm A, B phân biệt mà AB d Lời giải ( C ) I ( 1;3) R 1) Đường trịn có tâm , bán kính 2;(C2 ) có tâm I (0; 3) , bán kính R2 1 Tâm I đường trịn (C ) nằm đường thẳng l qua I song song với d , l có phương trình x y 0 Tính bán kính đường trịn (C ) R 3 Gọi I (t 3; t ) l Sử dụng II1 R R1 5 t 0 t Do I (3 ; 0) I (2 ; 1) Kiểm tra (C ) cắt (C2 ) ại hai điểm phân biệt, ta có I (2 ; 1) 2 Vậy đường tròn (C ) : ( x 2) ( y 1) 9 Câu [HH10.C3.1.E03.c] Trong C : x 1 y 5 mặt điểm phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn M 6; 2 a) Chứng minh điểm M nằm ngồi đường trịn C C hai điểm A, B cho MA2 MB2 50 2) Viết phương trình đường thẳng qua M cắt Lời giải C có tâm I 1; , bán kính R a) Đường trịn IM ; IM 5 C Ta có: Vậy điểm M nằm ngồi đường trịn 2) Gọi H trung điểm AB Ta có IH AB 2 MA MB MH HA MH HB Ta có: 2 MH HA 2 IM IH IA IH 2 2 MH HA HB MH HA HB 2 IM IA IH 50 10 IH 60 IH MA MB2 50 60 IH 50 IH Mặt khác: n a; b Gọi a b2 10 véc-tơ pháp tuyến đường thẳng d cần tìm a x b y 0 Phương trình tổng quát đường thẳng d là: 5a b 3a 10 IH d I ; d b 9a a2 b2 b 3a Ta có d : x y 0 x y 12 0 + Với b 3a phương trình đường thẳng d : x y 0 x y 0 + Với b 3a phương trình đường thẳng Câu [HH10.C3.1.E03.c] (HSG12-Vĩnh Phúc năm học 17-18) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , C : x y x 2my m2 0 có tâm I Tìm cho đường thẳng d : mx y 0 đường tròn m để đường thẳng d cắt đường tròn C hai điểm phân biệt A , B cho diện tích tam giác IAB 12 Lời giải I A B H C có tâm I 1; m , bán kính R 5 Đường tròn Gọi H trung điểm dây cung AB Ta có IH đường cao tam giác IAB m 4m 5m IH d I , d m 16 m 16 AH IA2 IH 25 25m 20 m 16 m 16 m 3 S IAB 12 25 m 3 m 16 m 16 Diện tích tam giác IAB [HH10.C3.1.E03.c] Trong mặt phẳng Oxy , cho hình chữ nhật ABCD , AB 2 AD Điểm N thuộc AN AB cạnh AB cho , M trung điểm DC Gọi I giao điểm MN BD Viết A 2;1 phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác BIN Biết điểm , đường thẳng BD có phương 11 x y trình , điểm B có hồnh độ số nguyên Lời giải Câu Gọi P trung điểm AB , J giao điểm PM BD Ta có P , M trung điểm AB DC nên AP PM MD AD APMD hình vng DM DM MN DI DJM MNP Xét hai tam giác vuông có MNP DJM MNP DJM MN BD AH d A, BD Gọi H hình chiếu vng góc A lên BD , ta có 1 2 AB 5 AB AD Ta có AH 11t B BD B t ; Vì điểm B có toạ độ ngun nên t Gọi t 2 11t t 5 t 3 125tt 50 75 0 Mà AB 5 B 1; 3 t số nguyên 1 5 AN AB N ;0 Ta có 1 3 K ; KB 15 Gọi K trung điểm BN , , 2 1 3 225 x y 8 2 64 Phương trình đường ngoại tiếp tam giác BIN là: Câu [HH10.C3.1.E03.c] (HSG Lớp 11 THPT Minh Châu 2014-2015) Trong mặt phẳng với hệ trục x2 ( E ) : y 1 ( P ) : y x x Oxy tọa độ cho parabol elip Chứng minh ( P) giao ( E ) điểm phân biệt nằm đường tròn Viết phương trình đường trịn qua điểm Lời giải x ( x x ) 1 x 36 x 37 x 0 Xét phương trình (*) Xét hàm số f ( x) 9 x 36 x 37 x liên tục R , có f ( 1) f (0) , f (0) f (1) f (1).( f 2) 0, f (2), f (3) suy (*) có nghiệm phân biệt, (E) cắt (P) điểm phân biệt y x x x y 1 Ta xét hệ 8 x 16 x 8 y x y 16 x y 0 x y 9 (**) 8 4 161 I ; R 9 , bán kính (**) phương trình đường trịn tâm Do giao điểm (E) (P) thuộc đường tròn (**) Câu [HH10.C3.1.E03.c] (HSG 11 TRẦN PHÚ 2012-2013) Trong mặt phẳng tròn C1 : x y 13 , đường tròn C2 : x y 25 Oxy cho đường Gọi giao điểm có tung độ C1 C2 A Viết phương trình đường thẳng qua A cắt C1 C2 dương theo hai dây cung có độ dài Lời giải A 2;3 Vì A có tung độ dương nên Đường thẳng Gọi d qua A có phương trình a x b y 3 0 hay ax by 2a 3b 0 d1 d O, d d d I , d ; Yêu cầu toán trở thành: 4a 3b a b 2a 3b a b 2 R22 d 22 R12 d12 d 22 d12 12 b 0 12 b 3ab 0 b 3a b 0 , chọn a 1 , suy phương trình d x 0 b 3a , chọn a 1 , b suy phương trình d x y 0 Câu A 1; [HH10.C3.1.E03.c] Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vng ABCD có Gọi M , N trung điểm cạnh CD AD , K giao điểm BM với CN Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác BNK , biết đường thẳng BM có phương trình x y 0 điểm B có hồnh độ lớn Lời giải A B I H N K D M C E Gọi E BM AD DM đường trung bình tam giác EAB DA DE H AH d A; BM Dựng AH BM Ta có BMC CND BMC CND BMC DCN 90 BM CN 1 2 2 AB AE AB Trong tam giác vuông ABE : AH AH AB 4 B BM B b;8 2b , ta có 2 b b b b 3 b 3 B 3; Vì điểm B có hồnh độ lớn nên nhận E AE BM E 1;10 Phương trình AE : x 0 Ta có AE D 1; AD N 1; Mà D trung điểm Ta có N trung điểm , suy trung điểm I BN có tọa độ 1;3 Do tứ giác ABKN nội tiếp nên đường tròn ngoại tiếp tam giác BKN đường trịn tâm I bán kính IA 2 BKN : x 1 y 3 5 Chú ý: hs sử dụng hệ thức lượng tam giác vng để tính AB 4 Ta có AB 4