Câu [HH10.C2.1.E04.c] Chứng minh rằng: giác ABC a Sin A b Sin B c Sin C ma2 mb2 mc2 3R với tam ( a BC , b AC , c AB ; ma , mb , mc độ dài đường trung tuyến hạ từ A, B, C ; R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC ) Lời giải Ta có: b2 c2 a a c b2 a b c ma2 mb2 mc2 2 4 4 a2 b2 c2 b c a2 c2 a b2 2 a2 b2 c Do đó: a b c a b2 c a b c a b c 2.3R 2R 2R 2R 2R VP a.Sin A b.Sin B c.Sin C VT Câu 1.[HH10.C2.1.E04.c] (HSG Hà Tĩnh - Khối 10 - Lần 1)Cho tam giác ABC có chu vi 20, góc BAC 600 , bán kính đường tròn nội tiếp tam giác Gọi A1 , B1 , C1 hình chiếu vng góc A, B, C lên BC , AC , AB M điểm tam giác ABC cho ABM BCM CAM Tính cot bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác A1 B1 C1 Lời giải Gọi BC a, CA b, AB c S , p, r diện tích, nửa chu vi bán kính đường trịn nội tiếp tích tam giác ABC ABM BCM CAM Theo đề ta có Vậy M điểm Brocard tam giác ABC Khi ta có tính chất quen thuộc sau cot cot A cot B cot C Lại sử dụng đẳng thức lượng giác sau: b2 c2 a cot 4S cot A Vậy ta cần tìm độ dài cạnh tam giác ABC b2 c a 4S , ta S pr bc sin BAC 10 bc 40 Có: (1) I , D Gọi tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC hình chiếu I lên cạnh AB Theo cơng thức tính bán kính đường trịn nội tiếp ta được: b c a r b c a 6 b c a 20 2 2 Do đó: (b c a)(b c a) 120 (b c) a 120 (a 6) a 120 a 7 thay a 7 vào đẳng thức b c a 20 , ta b c 13 (2) bc 40 Từ (1), (2) ta b c 13 không giảm tổng quát ta giả sử b c giải b 5, c 8 cot b c a 52 82 23 4S 20 4.10 Gọi R0 bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác A1 B1 C1 Ta có B1 A1C1 180 BA1C1 B1 A1C 0 Mà B1 A1C BAC BA1C1 BAC nên BA1C1 B1 A1C 60 B1 A1C1 60 BC AB B1 AC1 BAC 1 sinA B1C1 BC AB 2 tương tự ta có B1C1 R0 A C 2sin 60 2sin B 1 Vậy