Câu [DS12.C2.5.E04.c] Giải phương trình: log x log x log 2018 x 2015 log 2019 x 2016 * Lời giải Điều kiện: x * trở thành: Với điều kiện phương trình log5 x log3 x log 2018 x 2015 log 2019 x 2016 0 Đặt f x log5 x log x log 2018 x 2015 log 2019 x 2016 f x với x 1 1 x ln x ln x 2015 ln 2018 x 2016 ln 2019 1 x ln x 2015 ln 2018 x ln x 2016 ln 2019 Câu (ln 2018 ln 5) x 2015.ln 2018 ln ln 2019 ln 3 x 2016.ln 2019 x x 2015 ln 5.ln 2018 x x 2016 ln 3.ln 2019 f x x 0; f x 0; Suy đồng biến f 3 0 x 3 Ta có: nghiệm S 3 Vậy tập nghiệm phương trình [DS12.C2.5.E04.c] Cho hàm số f ( x ) x 3x hai số thực a , b thỏa mãn điều kiện: a 2018log2019 b 1 ; f (log 2018 a ) f (log 2019 b) Tính log 2019 (a b) Lời giải *) Cách 1: log 2018 a a1 log b b1 Đặt 2019 log2019 b 1 2018log2018 a 2018log2019 b 20180 Ta có a 2018 log 2018 a log 2019 b 0 a1 b1 0 Xét hàm: f ( x ) x x f ( x ) 3x , f ( x ) 0 x 1 BBT: Đặt a1 b1 m,( m 0) Ta có f (log 2018 a ) f (log 2019 b) f (a1 ) f (b1 ) a13 3a1 b13 3b1 (b1 m)3 3(b1 m) b13 3b1 0 3b12 m 3b1m m3 3m 0 3b12 m 3b1m 0, b1 0; m m 3m 0, m Ta có b1 0 m 1 b1 0 a1 b1 1 log 2019 b 0 b 1 a 2018 Vậy log 2019 ( a b) log 2019 2019 1 log 2018 a 1 *) Cách 2: Đặt u log 2018 a , v log 2019 b log2019 b log 2018 a log 2019 b 0 u v 0 Ta có a 2018 f log 2018 a f log 2019 b f u f v f v f u Lại có với u v 0 u 1 f v f u 2 v 0 Do u, v 0;1 Khi đó, từ Suy a 2018 b 1 Vậy Câu [DS12.C2.5.E04.c] log 2019 a b 1 Giải phương log x - x +1 + log ( - x) + x =1 - trình x - x +1 Lời giải Điều kiện x< log3 x - x +1 + log ( - x) + x =1 - x - x +1 log x - x +1 + x - x +1 = log ( 1- x ) +( 1- x ) Xét hàm số f ( t ) = log3 t + t , t > +1 > 0, " t > t ln Ta có ( 0;+¥ ) Suy hàm số đồng biến f '( t ) = Do phương trình f ( ) x - x +1 = f ( 1- x ) Û x - x +1 = 1- x ìï ïï x £ ìï 1- x ³ Û í Û ïí ï 2 ïï x - x = ïï x - x +1 = ( 1- x ) Û x =0 ỵ ỵ x = Vậy phương trình có nghiệm Câu 5 [DS12.C2.5.E04.c] Giải phương trình sin x 5cos x x x Lời giải 5 0 1 sin x Vì 1 2sin Vì 2sin x 1 sin x x sin x 5 5 sin x 1 1 5 5 51 2sin x 6 1 3 Từ x x x x x x x x 6 Ta có sau: sin x 1 2sin x 6 sin x 0 x k , k x x 0 x x 6 3 4 x Từ Thử lại ta có x 0 ; x thỏa mãn phương trình Do phương trình có nghiệm x 0 ; x Câu y y 1 2 ( x y )( x xy y 2) 2ln x x2 1 x y [DS12.C2.5.E04.c] Giải hệ phương trình: 3 x 3 y Lời giải Điều kiện xác định: x, y ¡ x 0 x Phương trình 1 x y 2( x y ) 2 ln( y y 1) ln( x x 1) x x ln( x x 1) y y ln( y y 1) Xét f (t ) t 2t ln(t t 1) , ta có: f (t ) 3t t 1 1 (t 1) 2t 2 t 1 t 1 2t 0 t ¡ Suy Do f t hàm số đồng biến ¡ (1) f x f y x y ta 3x x 1 2 x 1 (3) Thay x y vào phương trình x khơng nghiệm (3) Nhận xét: Do (3) Xét 3x g (x) 3x x 1 0 2x 2x 1 x , ta có: (2 x 1) 1 g ( x) x ( ; ) ( ; ) 2 g ( x) 3x ln 1 ( ; ), ( ; ) 2 Suy g(x) đồng biến khoảng Suy phương trình (3) có khơng q nghiệm Mà g 1 g 1 0 3 có nghiệm Kết luận: Tập nghiệm hệ (1;1);( 1; 1) x 1 Câu [DS12.C2.5.E04.c] (HSG Toán 12 – Cần Thơ năm 1819) Giải phương trình: log x x log (1 x) x 1 x2 x Lời giải x Điều kiện: Ta có log x x log (1 x) x 1 x2 x log x x log (1 x) x 1 x2 x log x x x x log (1 x) x (*) f (tt) log tt , Xét hàm số t Ta có f x x f (1 x) Dễ thấy f (tt) 1 t ln Suy hàm số đồng biến với x x 1 x 1 x 0 x x 1 x 2 x x (1 x) x x 0 x x 0 Vậy nghiệm phương trình x 0 Câu [DS12.C2.5.E04.c](HSG 12 ĐỒNG THÁP 2018-2019) Giải phương trình x 3x 2 x log 3 x x Lời giải x Điều kiện: x x x t x Đặt log 3x t 3x 3 Từ điều kiện suy 3x x 3t t 1 Thay vào phương trình ta 2 f (u ) 3u u , u f (u ) 3u ln 0, u ; có nên đồng biến Hàm 1 x t Từ ta có log3 x x x 3x x 3x 0 Vậy f ( x) 3x x x 2, x D ; x x ta có f ( x) 3 ln ln 3, x D Xét f ( x) 3x ln 3 x ln 0, x D Và nên f ( x) 0 có nhiều nghiệm suy f ( x) 0 có nhiều nghiệm Kiểm tra thấy f (0) 0, f (1) 0 nên phương trình cho có hai nghiệm x 0; x 1 Câu [DS12.C2.5.E04.c] Giải phương trình: log x log x log 2018 x 2015 log 2019 x 2016 Đặt Lời giải f x log x log x log 2018 x 2015 log 2019 x 2016 Tập xác định D 0; f x 1 1 x ln x ln x 2015 ln 2018 x 2016 ln 2019 x 2016 ln 2019 x ln x 2015 ln 2018 x ln f x x ln x ln x 2016 ln 2019 x 2015 ln 2018 f x log x log x log 2018 x 2015 log 2019 x 2016 Mà tăng 0; f 3 0 Vậy x 3 nghiệm phương trình Câu [DS12.C2.5.E04.c] (HSG 12 –Đồng Nai - 2018) Giải phương trình x 3x 11 ln x x 1 x x 12 Lời giải 2 Do x , x x 11 0; x x 12 1 ln x 3x 11 ln x x 12 x x 12 x 3x 11 ln x x 11 x 3x 11 l n x x 12 x x 12 f t ln t t , t f t 1, t t Xét hàm số f t 0; Hàm số liên tục đồng biến f x 3x 11 f x x 12 x 3x 11 2 x x 12 x x 0 x 2 x 2 Câu [DS12.C2.5.E04.c] (HSG 12 tỉnh Thanh Hóa năm 1314) Giải hệ phương trình 5 16.4 x2 y 16 x2 y y x2 2 x 17 x 10 y 17 2 x y 11 x, y R Lời giải 16.4t 16t 2 t 1 t x y Đặt ; phương trình có dạng x x 1 4 t t f x 5 2t t f ( x) hàm số nghịch biến 7 Xét hàm số Phương trình * có dạng Khi phương trình f (t 2) f (2t ) t 2t t 2 x y 2 có dạng x x 17 x 2 x x x x x x x x x f t 0; Xét hàm số f (t ) t t t , hàm số đồng biến khoảng Phương trình có dạng Câu f x 2 f 2x2 x2 x x 1 x 3 1 7 1; , 3; x; y là: Hệ phương trình có cặp nghiệm [DS12.C2.5.E04.c] Tìm tất giá trị tham số m để phương trình 2 9.3x x 2m 11 3 x 2 x 4m 0 có bốn nghiệm phân biệt nhỏ Lời giải Viết lại phương trình x x 2 Đặt t 3 Xét t ' x x 3x x x 2 2m 11 3x x 4m 0 (1) x 2 ln t0 3;9 x x t0 có hai nghiệm phân biệt phương trình Từ bảng biến thiên suy giá trị nhỏ t m t 2m 11 0 + Phương trình (1) trở thành t 2t 11 2m 2t (2) + Phương trình (1) có nghiệm phận biệt nhỏ phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt t1 , t2 thuộc khoảng 3;9 2t 2t 24 t 2t 11 f ' t 0 f t t 3;9 2t 1 t + , t t 4 Bảng biến thiên 3;9 Từ bảng biến thiên suy (2) có hai nghiệm phân biệt t1 , t2 thuộc khoảng 26 13 2m m 5 Câu [DS12.C2.5.E04.c] (HSG toán 12 Đồng Nai năm học 2017-2018) Giải phương trình x 3x 11 ln x x x x 12 Lời giải 2 Do x , x 3x 11 0; x x 12 1 ln x 3x 11 ln x x 12 x x 12 x 3x 11 ln x x 11 x x 11 l n x x 12 x x 12 f t ln t t , t f t 1, t t Xét hàm số f t 0; Hàm số liên tục đồng biến f x 3x 11 f x x 12 x 3x 11 2 x x 12 x x 0 x 2 x 2 Câu [DS12.C2.5.E04.c] (HSG QUẢNG NINH 18-19) Giải hệ phương trình Lời giải Điều kiện x xy 2 Từ phương 100 x x log 1 log100 x log y y x 2 y y y trình 100 x x 1 y log y 1 y xy x y x log x y log y * Xét hàm số f t t log t , t có f ' t 1 0, t t ln10 nên hàm số đồng biến 0; * f x f y Vậy x y2 Thay x y vào phương trình y3 y Thấy nghiệm nên biến đổi thành y 27 y2 y y y 1 y y 3y y 3 y y2 3y y3 Do y3 y y xy x y y2 y liên hợp 1 0 ** y2 y y2 3y y3 y 3 y y y y 18 4y 2 2, y 2 y y y y 10 y y 10 5 Và y 2 1 y y 1 y 3 y 2 Câu y 1 y y 1 y 3, y 2 1 y y2 3y y3 Nên ** 1 0, y 2 y2 y y 3 y 3 x; y 9;3 Vậy hệ só nghiệm [DS12.C2.5.E04.c] Cho x, y số thực dương Giải hệ phương trình sau y 1 log x 1 y 1 16 x 1 y 1 2 x xy x y 99 Lời giải Ta có y 1 log x 1 y 1 16 x 1 y 1 16 x 1 y 1 (vì x, y dương) 16 log x 1 x 1 log y 1 y 1 log x 1 log y 1 log x 1 x 1 log Xét hàm số Ta có f t t log t f ' t 16 16 2 1 y 1 y 1 liên tục 0; 1 t t ln 0; liên tục đồng biến 16 f x 1 f 1 có dạng y 1 Phương trình 16 x 1 x 1 y 1 16 xy x y 15 y 1 Suy hàm số y f t x y x y 1 15 x xy x y 99 x y x y 1 99 Ta có , 3 ta có hệ phương trình Từ x y x y 1 15 2 x y x y 99 x y x y 54 x y x y 1 15 x y 9 x y 2 x y 9 x y x y 15 x y 1 6 (vì x, y dương nên x y ) nên x 1 y 7 x 3 x x 6 y 9 x y 3 (thỏa mãn điều kiện x, y ) S 1;7 ; 3;3 Vậy hệ phương trình cho có tập nghiệm Câu [DS12.C2.5.E04.c] (HSG BÀ RỊA VŨ TÀU 17-18) Tìm tất giá trị tham số m để log mx 2 log x phương trình có nghiệm Lời giải x x 2 m log mx 2 log x Ta có x 2 f x x 2; \ 0 Xét hàm số với x 2 x 2 f x f x 0 x 2 x2 Có m m Lập bảng biến thiên ta có